高中數(shù)學(xué)教師講義;第三章三角函數(shù)文檔資料

第三講外代數(shù)小題之三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識講解:

定義域：R

最大值:當(dāng)x=2kn+(n/2),kWZ時，y(max)=l

最小值:當(dāng)x=2kn+(3n/2),kWZ時,y(min)=-l

零值點(diǎn)：(":Q),keZ

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：在t-(n/2)+2kn,(n/2)+2kn】上是增函數(shù)，在t(n/2)+2kn,(3n/2)+2kn】上是

減函數(shù)

正弦型函數(shù)解析式:y=Asin(3x+c|))+h

各常數(shù)值對函數(shù)圖像的影響：

奴初相位):決定波形與X軸位置關(guān)系或橫向移動距離(左加右減)

3：決定周期(最小正周期T=2A/|3|)

A:決定峰值(即縱向拉伸壓縮的倍數(shù))

h:表示波形在Y軸的位置關(guān)系或縱向移動距離(上加下減)

作圖方法運(yùn)用"五點(diǎn)法"作圖

五點(diǎn)作圖法"即當(dāng)C0X+4)分別取0,n/2,n,3n/2,2兀時y的值.

?函數(shù)y=Asinx（A>0且A#）的圖象可以看作是把

y=sinr的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時）

或縮短（當(dāng)OvAvl時）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）

而得到的。y=Asinx,*￡區(qū)的值域?yàn)椋郯税耍?最

大值為A,最小值為-A.

?函數(shù)y=sina>x（co>0且o#l）的圖象可以看作是

把尸sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐電縮短（當(dāng)co>l

時）或伸長（當(dāng)Ovcovl時）到原來的（聲（縱坐標(biāo)

不變）而得到的。

?函數(shù)y=sin（x+如的圖象可以看作是把y=sinx的

圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)時）或向右（當(dāng)時）

平移取個單位而得到的。

第一部分：正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)

典型例題

【例01］已知函數(shù)/(x)=sin(w.r+力)(3>0,|*|<g)的最小正周期是n,把它圖象向右平

移彳個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)有下列結(jié)論：

①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱；

②函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)哈.0)對稱；

③函數(shù)/(X)在區(qū)間1-會-總上單調(diào)遞減；

④函數(shù)/(外在嚀爭上有3個零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.睡B.@@C.(2X§)D.

答案:P

思路：先由已知的最小正周期得到co,再由平移后得到奇函數(shù)求得(P，此時解析

式已知，然后分別驗(yàn)證各選項(xiàng)。

■因?yàn)楹瘮?shù)f(X)=sih(cox+(a(卬>。,。卜立/2)的最小正周期是兀，所以

2兀/005,得3=2,則f(X)=sM(2x+4)；礴函數(shù)f(X)的圖像向右平移p/3

個單位長度后得到的圖像所對應(yīng)的解析式為g(x)=siM2X-2Tr/3+e)為奇函數(shù)，

則g(O)=sM(-2Tr/3+e)=。,此時-2兀/3+("<幾(k￡z)，解得cf>=krc-i-2.TC

/3(kez),因%同。/2新以4=-1€+21€/3=-兀/為此時g(X)=s/k(2.x-2.it

/3-7t/3)=sih(2x-Tt)=-si八2x,則g(-x)=-sM(-2x)=si八2x=-g(X),因?yàn)楹?/p>

數(shù)g(X)的定義域?yàn)镽,所以當(dāng)E=F/3時，函數(shù)g(X)是奇函數(shù)，則行F/3

滿足題意。所以f(X)=sin(2x-n:/3)

①因?yàn)閒(STT/12)=sW5rt/6-rt/3)=siM/2=1,所以直線X-STC/^2.是函數(shù)

f(X)的圖像的一條對稱軸，即函數(shù)f(X)的圖像關(guān)于直線X=5rc/L2對稱，

所以①正確；

②因?yàn)镕(T€/12)=sM(Tr/6-rt/3)=sW-rt/6)=-1/2心，所以函數(shù)f(X)的圖

像不關(guān)于點(diǎn)(兀/12,。)對稱。故②錯誤；

③令(2XF/3)e［2/cr計(jì)TT/2,2/<兀Sh/2］(/<=),解得*?［/<P+5幾/工2,

kr計(jì)工工P/12J,所以函數(shù)f(X)的單調(diào)減區(qū)間為［kr計(jì)5P/12,kr計(jì)工工力12工

令k=T,得函數(shù)f(X)的一個單調(diào)減區(qū)間為卜7力工2廣兀/12］,因?yàn)椋?

兀/2廠P/12J包含于17兀/工2,F/12J,所以函數(shù)f(X)在區(qū)間［F/2,-

p/32J上單調(diào)遞減，所以③正確。

④令2XF/3=krc(fcez),解得x=k*rt/2+Tr/6(K^z),

當(dāng)/<=。時，x=rc/6<rc/4

當(dāng)k=l時，

X=-rt/2.4-Tr/6=2.-rt/3e［TV/4-JSTC/^］當(dāng)k=2

時，X=-rt+7r/6=7TT/6G［TC/4-^TC/Z］當(dāng)k=3

時，X=3T€/2+T€/6>3TT/2

所以函數(shù)F(X)在0/4,311/2］上有2個零點(diǎn)，故此項(xiàng)錯誤。

【例02】已知f(x)=2sin(cux+叫同時滿足下列三個條件:

①y(xj-/(4)|=4時，ki-x2\的最小值為x.

②),=/(*+勺是偶函數(shù).

③/⑼>熊).

若八x)在[0J)有最小值，則實(shí)數(shù)，的取便范圍可以是()

A.(0.5]B.(0,5]C.(舞]D,傳用

OJ\O□J\JZJ

思路：將已知條件帶入原函數(shù)，分別可得到60=2,。，然后由條件③得到t的

取值范圍。

■■由條件①得，函數(shù)f(X)的最小正周期為Tr/2*2=e所以T=2.TC/(V=

TC,所以co=2,所以f(X)=2sM(2x+4；由條件②得f(x+兀/3)=2SW2X+2T€

/3+4)是偶函數(shù)，所以2幾/：3+d=兀/2+—,kez,所以(p-rt/to+krc,k^z,不

妨設(shè)。G(-re,re),則cf>=-rc/6或由條件③得，f(<9)=2SM

0〉2夕八所以S譏0>si八(兀/3+。)，當(dāng)e=-兀/6,5譏e=-

1/2ji八(Tt/3+e)=1/2,不符合，當(dāng)cp=-5rc/<b時，，si八。=1/2,si八(Tr/3+

。)=-工/2,符合要求，所以，。=-5幾/6,所以2x+5Tt/6W[5Tt/6,2t+5TT

/6),因?yàn)閒(X)=sM(2x+Src/f&)在[。工)上有最小值，所以2加5^/<&>3兀/2,

即力兀/3,所以只要是(P/3,+8)的子集的集合都可以是實(shí)數(shù)亡的取值范圍。

【例03】已知/(x)=sin(sx+0)+cos(3x+?),w>0,|*|<與，/(x)是偶函數(shù)，直線了=近

與函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為會則()

A.f(x)在信為上單調(diào)遞減B./(x)在(0,5)上單調(diào)遞減

C.f(x)在嗚)上單調(diào)遞增D./(x)在上單調(diào)遞增

■:B

思路：先化簡整理F(X),得至Uf(X)=sinV2(cox+e+p/4),再由直線g=V2與

函數(shù)f(X)的圖像的兩個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為立/2,解得co=4,

所以f(X)=V2sW4x+Tr/4+p/4)=V2cos4x,最后求其遞增遞減區(qū)間。

s<k(cox+4>)+cos(cox+4>)=sinY2(COX+4)+P/4)

因?yàn)閒(X)是偶函數(shù)，所以Sp/4=p/2+kTt,kGz,所以

行女/4+%€,(k￡z),因?yàn)橹俨稵T/2,所以。=立/4;因?yàn)橹本€g=V2與

函數(shù)f(X)的圖’

像的兩個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為P/2,且f(X)/x=V2,所以根

據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得丁=P/2=2兀/⑴,解得3=4,所以f(X)=V

2sM(4X+TT/4+7r/4)=V2cos4x,所以f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：F+2k

rc<4x<2.krc,k^z,即f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-rt/4+/crt/2krt

/2),kWN,f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：2kir〈4x〈2k7r+T€,k^z,即f(X)

的單調(diào)遞減區(qū)間為(kTc/2krc+rc/4),kGz.

【例04】i5/(x)=asin2x+bcos2x,其中a,代肢，“厚0,若“對一切x€武恒成立.

則

①/(巖)=0；

②卜制<收”；

③f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

④八x)的單調(diào)遞增區(qū)間是卜花+小版+與卜AW0；

⑤存在經(jīng)過點(diǎn)(a,/?的交線與函數(shù)/(x)的圖象不相交，

以上結(jié)論正確的是(寫出所有正確結(jié)論的編號).

■■■①③

思路：將f(X)化簡整理得到新的f(x)，引入輔助角，然后根據(jù)選項(xiàng)條件帶入發(fā)

f(X)=asin2x+bcos2x得F(X)=V(a2+b2)sM(2x+。),其中8滿足

si八。泌/V(a2+b2);cosB=a/V(a2+b2)

???f(X)4f(p/6)|,即V(a2+b2)=|V(3a+2)+b/2|化簡

得a=V3b

二函數(shù)f(X)=2bsM(2x+Tt/6)

①f(工工Tt/12)=2bsi八(l?l??rt/6+Tt/6)=O,所以①正確

②|f(77€/10)|=|2。5譏(2*7幾/工0+1€/6)|=|2。6譏(2*4/5+兀/(&)卜近(幾/5)],

所以②錯誤

③1-幻,孑B)￡-刈坪廿),所以^郃)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以③正確

④由于b正負(fù)不確定，所以無法確定單調(diào)區(qū)間，故④錯誤

⑤他卜|2N,所以經(jīng)過點(diǎn)(處匕)的直線與函數(shù)f(X)恒有交點(diǎn)，故⑤錯誤

第二部分：正弦函數(shù)⑴的范圍問題典

型例題

【例05】已知函數(shù)/(x)=sin(i)x+cosa)x(w>0),XGR.若函數(shù)/(工)在區(qū)間(一出,M內(nèi)中.調(diào)

遞增，IL函數(shù).V=/(W的圖象大卜H線.1二(”對稱，則。的值為.r/2.

思路：首先化簡整理得到f(X),然后求得f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間，最后解得C0o

(由已知得f(X)=V2sM(CUX+TT/4),當(dāng)xe(-co,co)時，則cox+7t/4e

22°

(-CO+TC/4,oo+TC/4)，因?yàn)閒(x)在x6(-co,co)上單調(diào)遞增，所以-co，

-rr/4>-rc/2.+2.krc；CD^rc/4-^Tc/Z-t-Zkrc(*^乙)，co2<3-n:/4-3k-rt；

22__Jf■c

co<rc/4+2.krc,解得34幾/4。又因?yàn)閳D象關(guān)于直線對稱，所以-co+幾

/4=7Z/2+I<TC(KGZ+)>co2=-n:/44-k-rt,(kez),故0/=兀/4,則

CO=VT€/2.O

【例06】已知函數(shù)/(x)=2sins(?>0)在區(qū)間,去引［：是增函數(shù)，其在區(qū)間1()H上恰

好取得一次最大值2,則3的取值范圍是()

［昌)D.5，3)

!：A

思路：首先寫出f(X)的單調(diào)增區(qū)間，然后給與題目所給增區(qū)間進(jìn)行擬合，最終求

得X的取值范圍，再根據(jù)最值區(qū)間，最后解得O)

函數(shù)f(x)=2sinwx((v>o)的增區(qū)間為-rt/Z+Z/crtWcox4立/2+2/<也

當(dāng)k=C>時，-7€/2604乂4力260,當(dāng)cox=rc/2,即X=TT/2CO時，f(X)取得最大

值，因?yàn)閒(X)在區(qū)間11€/m2幾/習(xí)上是增函數(shù)，且在區(qū)間。mJ上恰好取得一

次最大值2,所以-rr/2.co>2.-n:/3；-TC/2CO《F/3;P/2c04幾，解得工/2

<co<3/4

【例07】已知函數(shù)f[x}=sin2錚+：sinux-：(3>0),x€欣，若f(x)在區(qū)間(n,2n)內(nèi)沒

有零點(diǎn)，則3的取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,j]u[^,1)C.(0,x]D.(0?5]U[j.x]

ooooo

：D

鷺―整理化簡f(X),然后根據(jù)沒有零點(diǎn)得到端點(diǎn)值同號，最后解得co。

函數(shù)f(X)=sih2cox/2+1/2sMa)x-1/2,即f(X)=V2/2sM(cox-rt/4)。

函數(shù)f(X)在區(qū)間(幾，2P)內(nèi)沒有零點(diǎn)，則f(7r)*f(2rr)2；772=幾/822^-兀

=TC,即sih(cox-Tt/4)si八(2nxo-rr/4)2。；co<l；,所以有①sih(cox-Tt/4)

>O；sM(2irco-rt/4)2。或②Silcox-兀/4)WO；siia(2.rtu)-TC/4)<(9；解①

得：2k+1/44co4k+57g,因?yàn)??<co<i,所以k=O,l/4<co<S/8；解②得:

k-3/8<C0<k-+-l/8,因?yàn)?lt;9<CO<1,所以k=o,(9<CO<l/8o所以CO的取值范

圍是(on/8ju[1/4,578]。故本題正確答案為D

【例08］若函數(shù)f(x)=Sinwx+Q(3>0)在區(qū)間m.2m內(nèi)沒有鼓值，則實(shí)數(shù)3的取值范

闈是()

A(。郵局B.［耨C.(咽俁］D.［11］

思路：|由題可知f(X)在區(qū)間(7t,2P)無最值，即具有單調(diào)性，根據(jù)S/X函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間，最后解得⑴。

：若函數(shù)f(X)=sin2(3X+Tt/6)(3>0)在區(qū)間(TC,2Tc)內(nèi)沒有最值,

則函數(shù)⑴在區(qū)間S，2兀)內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

所以-1€/2+2/<?！?)乂+7^/64兀/2+2/<?；騬r/2.+2.krc<tOX+Tt/6<3rc/2.+2.krt,

(k^z);即rc/2.+kTC<cDX+Tc/<^<3Tc/2.+kTC(k6z,co><9);所以rc/2.+krc<

cox+Tr/6〈2kco+p/643Tt/2+kiT(k@z,co>(9)

當(dāng)k=O時,解得

i/3<C0<2./3當(dāng)k=-1時，解

得O<CD<l/6當(dāng)k<T或k>O

時，無解

所以實(shí)數(shù)co的取值范圍是(O,i/6]U[l/3^/3]

所以選C

中間休息話術(shù)：

好啦，鈴聲響起，到了休息時間啦，小猿寶們快讓你們的小腦袋休息一下吧，如

果對剛剛只是有疑惑的同學(xué)也可以在評論區(qū)說出來大家討論一下哦~小休一下讓

我們一起迎接下半節(jié)課的洗禮叭~

【例09]設(shè)函數(shù)fix)=sin(+g)(3>0),已知/(.r)在[0,2n]上有且僅有5個零點(diǎn).有

下列四個結(jié)論：

①f(x)在(0.2兀)上仃LL僅仃3個極大值點(diǎn)；

②/(*)在(0,2加)上有且僅有2個極小值點(diǎn)；

③/(.)在(0.宙)上單調(diào)遞增；

④s的取值范用是

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.B.(2X3)c.dX2X3)D.(D(3)@

■:口

思路：首先大致畫出f(X)的圖像，然后根據(jù)其圖像特點(diǎn)判斷極值點(diǎn)，再根據(jù)f(X)

的本來的單調(diào)區(qū)間來判斷其單增區(qū)間以及co的范圍

■:①因?yàn)閒(X)在02句有5個零點(diǎn)，畫出其大致圖像，則可知f(X)在

(0,2立)上有且僅有3個極大值點(diǎn)；故正確

②由①可知F(X)在(。,2兀)上有且僅有2個或3個極小值點(diǎn)，故錯誤

③函數(shù)f(X)=sM(CD^rc/5)的增區(qū)間為([(2k-7/1。)re)]/(v

00；取k=O,當(dāng)60=12/5時，單調(diào)遞增區(qū)間為-

7/^4Tt<X<rr/8;當(dāng)00=2”工。時，單調(diào)遞增區(qū)間為-7幾/2張林現(xiàn)％名唯緣止

里津底遞增。所以③正確

④當(dāng)函數(shù)f(X)=siMt0X+Tr/5)=O時，ODX+TC/5=I<TC(KCZ),

所以X=[(S'rc-TC/5}]/O)<2.TC；當(dāng)k=6時，[(6rc-Tr/S)]/u)>2.TT,

解得工2/548〈2”工。故④正確

【例10]已知函數(shù)/(x)=sinMX-百cosw.r(w>0),若方程f(x)=-1在(On)上仃旦只

有三個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)3的取值范圍為()

A”37]口Z7251?/25111n/Il371

A-\~6'2B\r~6c(T'TD.I亍石

答案：A

思路:首先化簡整理f(X),得到f(X)=2SWCOXF/3),由f(X)=T在(O,五)

上有且僅有三個實(shí)數(shù)根，解得€0。

^^Hf(X)=sihtox+V3coscox=2sWcox-ir/：5),令f(X)=T,得2sWcox-ir

/3)=-1,所以si八(C0X-rt/3)=-工/2,所以COX-rt/3-2-krc-rr/6晟COX-

rc/3=2-krc+7TC/6,I<GZ。因?yàn)閄G(O,TC),所以C0X-T€/：36(-rt/3^CUX-

■rt/3).因?yàn)榉匠蘤(X)=-l在(O,Tt)上有且僅有三個實(shí)數(shù)根，所以2兀-

Tr/6<a)x-Tr/3

42兀+7P/6,解得工3/6<C047/2.所以實(shí)數(shù)CO的取值范圍為(工3/<&7/2工

第三部分：三角函數(shù)的綜合典

型例題

【例11］關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+」一有如下四個命題:

sinx

①/。)的圖象關(guān)于.丫軸對稱；

②/(幻的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

③/(X)的圖象關(guān)于直線'=5對稱；

④/(x)的最小值為2.

其中所仃真命題的序號是

思路：根據(jù)原函數(shù)，利用f(-x)=-f(X),f(-x)=f(x)來判斷奇偶性；再由f(X)

=f(兀-x)判斷對稱軸；最后根據(jù)原函數(shù)定義域來判斷其最值。

?■函數(shù)定義域?yàn)榘租獍诵小＃?BP(x|x^K-rt),kez.①和②項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的

定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(-x)=sW-x)t/sW-x)=-sMx+：L/(-sihX)=-

⑶認(rèn)x+1/si八x)=-f(X),所以函數(shù)f(X)為即函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱。故①錯誤，②正

確；③項(xiàng)，若函數(shù)f(X)的圖像關(guān)于直線X=p/2對稱，則應(yīng)滿足f(X)

x),-x)=si'n,(7€-x)+l/si八(Tt-x)=si八x+l/si八x=f(X).故③正確；④項(xiàng)，當(dāng)

X滿定(2.k+l)rc<x<2.(k+l)re,k^z時，sinxQ,則f(X)=sihX+1/sMx〈O,

故④錯誤。

【例12］關(guān)于函數(shù)/(x)=sin|.v|+|sin.v|有下述四個結(jié)論:

①/(#是偶函數(shù)；

②〃X)在區(qū)間(打)上單調(diào)遞增;

③〃x)在l-n.n］上有4個零點(diǎn)；

④/(x)的最大值為2.

箕中所有正確結(jié)論的編號是()

A.?(2)@B.C.(D@D.①3

答案”

思路：由題可先判斷f(X)的奇偶性，即是否滿足f(-X)=f(X),其次，根據(jù)sMx

函數(shù)的遞增區(qū)間判斷是否在區(qū)間內(nèi)，然后在給定區(qū)間內(nèi)賦值判斷其零點(diǎn)，最后就

是根據(jù)兩個函數(shù)的最值是否能取到以及何時取到來判斷最值。

①因?yàn)閒(-x)=Sf,n|-x|-x)|=sm|x|4-1-smx|=S(K|X|4-|Smx|=f(X)^故

f(X)是偶函數(shù)，故①正確；②當(dāng)XG(幾/2工)時，x〉oMnx>o,所以

f(X)=sinx+si八x=2si八xf(X)=2cosx,當(dāng)XGCTC/Z.TC)時,P(X)〈O,所以f(X)

在(p/2/rt)單調(diào)遞減，故②錯誤；③當(dāng)xe［G何時，X>O,sMxzO,所以

f(X)=sihX+sihX=2sinx,因?yàn)閒(O)=。/(兀)=。，所以f(X)在［。,何有2個零

點(diǎn)，當(dāng)x^f-Tt,時，x〈OjihX〈O,所以f(X)=sih(-x)+(-sinx)=-2skx,f(-

TC)=O,所以f(X)在［-兀，有1個零點(diǎn)，在卜幾，句上有3個零點(diǎn)，故③錯誤；

④令yl=sm|x|<l,y2.=|s(kx|<l,則g［+g242,且最大值可同時取到,故

④正確。

第四部分：鏈接高考

典型例題

【例13］如圖.網(wǎng)。的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn).P是圓上的動點(diǎn),角x的始邊為射線OA.

終邊為射線OP,過點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為“，將點(diǎn)的到直線OP的距離

表示成”的函數(shù)/(幻，則y=/(x)在［0,K］上的圖象大致為()

答對：C

思路：先表示出OM的距離，在表示點(diǎn)M到直線OP的距離，然后得到解析式

為f(X)=l/2si八2X,即可在給定區(qū)間畫出相應(yīng)圖像。

當(dāng)<9<x<rt/2.時，0M=1*，。6乂=，。5必則點(diǎn)M到直線OP的距離為

f(X)=OM*sinx=C0SX*S譏X=1/2si八2X；當(dāng)rt/2-<X<rc時QM=1*C0S(7T-X)=-

COSX,則點(diǎn)M到直線OP的距離為^^)=。四*61認(rèn)乂=-，。"片'八”-1/2§|'八2乂;綜

上所述，g=f(X)在。，句上的解析式為f(X)=工/2SM2X(O<X<TC/2.);f(X)=

-工/2夕'八2x(TC/2.<X<TC),所以圖像如C所示

【例14］如圖，氏方形A8c。的邊A8=2,fiC=1,。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。沿著邊8C,CD

與OA運(yùn)動，記=將動點(diǎn)P到A,8兩點(diǎn)的距面之和表示為x的函數(shù)/(K),

則y=/(X)的圖象大致為()

■:B

思路：首先由選項(xiàng)圖像的線性來排除，然后由圖上的特殊點(diǎn)帶入判斷其特殊點(diǎn)的

大小。

■HA’C項(xiàng)，函數(shù)f(X)在各個區(qū)間內(nèi)不是線性函數(shù)，所以排除；當(dāng)乂=兀/4時,

PB=l,PA=Vs/(7r/4)=V5"+七當(dāng)KK/2時，PA=PB=V2,f(p/2)=2V2,,

由于f(a/4)〉f(y/2),故D錯誤，所以選B.

【例15】如圖，4,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動點(diǎn)，41P8是銳角，大小為

夕.圖中陰影區(qū)域的面積的股大值為)

A.40+4cos)3B.40+4sinj8C.2fl+2cosj5D.+2sin^

案B

思路：先做輔助線OAQ5AB,算得S扇形。AB,最后得到陰影部分的面積,

由

于要求最大值，S扇形OABSAAOB都已確定，所以討論SAABP最大時，陰影部分面積

曷大且口目\

B設(shè)圓心為點(diǎn)。‘連接〃。吶,貝-AP”,所以S扇形0AB二

*4)/2=4仇所以S陰影二S扇形OAB+SaABP-SaAOB.因?yàn)镾扇形。AB)SaAOB都已確定，所

以當(dāng)

S“BP最大時，陰影部分面積最大。當(dāng)P到AB的距離最大時，AABP的面積最

大。則此時，POLAB交AB于點(diǎn)G又△OAB=1/2OC*AB,S三角形

ABP=，/2PC*AB=[/2(PO+OC)*AB,S陰影=S扇形OAB+SAABP-S三角形AOB=4B

+1/2(PO+OC)*ABT/2OC*AB,因?yàn)镻O=2,AB=2si八6*2=4,則S陰影

=40+4si八0.

【例16】某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示，。為圓孔及輪廓圓

弧AB所在圓的圓心，A是圓弧A8與直線AG的切點(diǎn)，8是圓弧A8與直線8c的切

點(diǎn)，四邊形。"G為矩形，BCLDG.垂足為C,(an"DC=5,BH//DG.EF=12cm,

DE=2cm,A到直線DE和E尸的距離均為7cm,HI孔半徑為Icm,則圖中陰影部分

的面積為____cm2.

H^(STC/2)+4

思路：做輔助線，證明AANG和AOA/是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)解得

OA的長度，再由題得,陰影部分的面積等于扇形。AB的面積加上AOAH的面

積再減去半徑為工的圓孔的一半的面積，即可求得。

■過點(diǎn)A作AM1EF于M,交BH于點(diǎn)],交DG于點(diǎn)M作OK_LDG于K.

因?yàn)锳到直線DE和EF的距離均為7cm,所以DN=AM=7c以因?yàn)?/p>

EF=12C3QE=2CF,四邊形DEFC為矩形，所以NG=12-7=5CM,

AN=NG,所以△ANG是等腰直角三角形，所以NNAG45.。因?yàn)锳是圓弧

AB與直線AG的切點(diǎn)，所以。ALAG。所以/OAN=qo-NNAC=45:

因?yàn)锽C_LDG，所以AMLBH,所以△OA/也是等腰直角三角形。設(shè)。仁XCM,

則A仁KN=XC3,所以DK=DN-KN=(7-X)C3QK=AN-A/=(5-X)CM.在

RtAODK中，ta八NODK=ta八NODC=OK/DK=3/5,所以(5-x)/(7-

X)=3/5"，解得x=2,所以O(shè)A=V2O/=2V2

陰影部分的面積等于扇形OAB的面積加上△OAH的面積再減去半徑為1的圓

孔的一半的面積，

即S陰影部分=$扇形OAB+SAOAH-P/2=[(-rt-Tt/4y2.1t]*p*OA)

*2+1/2*A/*OH-幾/2=(：5f/8)*(2V2)2+*/2*2*2*2-

工/2=(5幾/2)+4

三角函數(shù)典型例題

1.設(shè)銳角A46C的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,a=2bsinA.

(I)求B的大??；

(H)求cosA+sinC的取值范圍.

(解析]：(I)由a=&sinA,根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sin6=」,

2

JT

由AABC為銳角三角形得B=一

6

(II)cosA+sinC=cosA+sin[ji-￡-A

=cosA+sin—+A

(6)

.1人6.人

=cosA+—cosA+——sinA

22

n

=V3sin?1+—.

k3；

2.在A48c中，角A.B.C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB:bcosC.

(I)求角B的大??；

(□)設(shè)加=(s譏A,cos2A),〃=(4A,l)(Z>l),且”〃的最大值是5,求k的值.

【解析】：(1);(2a-c)cosB=bcosC,

(2sin/4-sinC)cosB=sinBcosC.

即2sin>4cosB=sinBcosC+sinCcosB

=sin(B+C)

4+B+C=n,/.2sin4cosB=sinA.

'/0<A<nr'.sin4Ho.

1

cos8二一.

2

7C

B——.

3

(ll)m-n=4ksinA+cos2A.

_27r

=-2sinM+4/csin^+l,4G(0,—)

設(shè)sinA寸貝ij(0,1].

則加?〃=?2t2+4kt+l=-2(t-k?+l+2k2,te(0,1].

,/k>lr\t=l時，機(jī)?"取最大值.

3

依題意得廠2+4k+l=5,「?k=~.

2

A+B

3.在A46C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin+sin—A/2.

22

I.試判斷仆A8C的形狀；

II.若△ABC的周長為16,求面積的最大值.

,5入匕、.?！狢.CC.C

【解析】：l.sin-------+sin—=cos—+sin—V2sin(—+—)

222224

C冗冗TT

,上+二=二即c=—，所以此三角形為直角三角形.

2422

2

11.16=。+〃+Ja=+〃>2y[ab4-yjlabfab<64(2-V2)當(dāng)且僅當(dāng)。=Z?時取等號,

此時面積的最大值為32(6-472).

3

4.在ZVLBC中小、b、c分別是角A.B.C的對邊,C=2AcosA=一，

4

(1)求cosCcosB的值；

27

⑵若BABC=—，求邊AC的長。

2

91

【解析】：(l)cosC=cos2A=2cos29A-1=2x-----1=-

168

由cosC=-,WsinC=由cosA=3,得sinA=—^

8844

/人人?人右V73V7319

/.cos8D=-costA+C)=sinAsrnC-cosA4cosC=——x----------x-=—

v7484816

⑵BA.,BC——,ciccosB——,/.cic—24①

22

ar3

又-----=-----,C—24,c—2。cosA=—a②

sinAsinC2

由①②解得a=4,c=6

g

:.b2=a2+c2-2tzccos5=16+36-48x—=25

16

.,.6=5,即AC邊的長為5.

5.已知在AA6C中,A>B,且tanA與tanB是方程x2-5x+6=0的兩個根.

(I)求tan(A+B)的值；

(II喏AB=5,求BC的長.

【解析】：(I)由所給條件，方程5x+6=0的兩根tanA=3,tan3=2.

,,八、tanA+tanB2+3,

tan(A+B)=-----------------=----------=-1

1-tanAtanB1-2x3

(n)vA+B+C=180°,/.C=180°-(A+B).

由(I)知,tanC=-tan(A+8)=I,

VC為三角形的內(nèi)角,sinC=—

2

3

：tanA=3,A為三角形的內(nèi)角,，sinA=-T=,

V10

fABBC

由正弦定理得:-----=-----

sinCsinA

"BC=—r=-X―=3^5.

V2V10

T

6.在AA8C中，已知內(nèi)角A.B.C所對的邊分別為a.b、c,向量m=(2sin8,-6)，

n=(cos2B,2cos2且〃2//〃。

⑴求銳角B的大?。?/p>

(II)如果力=2,求MBC的面積SMBC的最大值。

【解析】：⑴m!Inn2sinB(2cos21-l)=--\/3cos2B

=>2sinBcosB=-^/3cos2Bntan2B="*\/3

2rC....7T

0<2B<n,.,.2B=W「.銳角B=§

⑵由tan2B=-SnB=］或景

①當(dāng)B=W時，已知b=2,由余弦定理，得：

22

4=a+c-ac>2ac-ac=ac(KiXa=c=2時等號成立)

△ABC的面積SAABC=2acsinB^ac^^3

△ABC的面積最大值為函

②當(dāng)B年時，已知b=2,由余弦定理，得：

4=QZ+d+^QcNZac+SacRZ+Sjoc(當(dāng)且僅當(dāng)。=c=^-鏡時等號成立)

ac<4(2-V3)

「△ABC的面積5AA8c=3。。3/力8二產(chǎn)42術(shù)

：.△ABC的面積最大值為2-小

7.在AA8C中，角A.B.C所對的邊分別是o,b,c,且/+°2一=1_QC.

2

A+r

⑴求sin?-------i-cos2B的值；

2

(2)若6=2,求4ABC面積的最大值.

1

【解析】：(1)由余弦定理:cosB=a

1

sd上￡+cos2B=---

24

=

(2)由cosB=一,得sinB----------------.1.1b—2,

44

18]J]5

I+J=Tac+4>2ac,Wac<一,SABc=^ocs\nB<----(a=c時取等號)

ac23A23

故A8c的最大值為

sin(工+6)

8.已知tana=a,(a>1),求----------tan20的值。

7T

41a

【解析】

\-a

9.已知/(a)=

⑴化簡/(a)

=；，求/(a)的值。

(II)若a是第三象限角，且cos

【解析】

解：⑴

/(g)=sina-sina-(-cosa)=cosa.

cosa(-sina)tana

(II)Vcos(--a)=-sina,

2/Z

乂a為第三象限角，?**cosct=-----,

???〃吁?5

2

10.已知函數(shù)f(x)=siMx+百sinxcosx+2cosx,xGR.

⑴求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(xGR)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得至U?

(解析]：⑴f(x)=-~+~~sin2x+(l+cos2x)

—sin2x+-cos2x+-

222

—sin(2x+—)+—.

c2%

/./(x)的最小正周期TF=兀.

r

J'l7/TT

由題意得2火％---<2XH—<2H—,keZ,即k,7c---<%<女)~1—,kGZ.

26236

JT7T

:?/(x)的單調(diào)增區(qū)間為k?！文?一,keZ.

36

71

⑵先把y=sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移—個單位長度，

JT3

得到y(tǒng)=sin(2x+-)的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移彳個單位長度，

62

JI3

就得到》二sin(2x+工)+三的圖象。

62

已知a=(曰,一[]=(sin?,cos?),/(x)=al。

⑴求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

4

⑵若函數(shù)y=g(x)與y=/(x)關(guān)于直線x=1對稱，求當(dāng)xe[0,時,y=g(x)的最大值。

.37VCrz./7VC7V、

【解析】：1/(x)-——sin----cos--v3sin(--------)

242443

，當(dāng)?一Ae[]+2k兀,y+2br]時,/(x)單調(diào)遞減

1022

解得：xw[§+她7+8Z]時,f(x)單調(diào)遞減。

(2)v函數(shù)y=g(x)與y=/(x)關(guān)于直線x=l對稱

-g*)"(2T)=瓜可丁一1_

行.「萬71X7ll國(7IX

=V3sin---------=5/3cos----1—

243<43；

71X717124(71X4、

xe\—+一Wcos1—

43143J

?.?尤=0時，gmax(X)=^

12.已知cosa=-2sina,求下列各式的值;

2sina-cos?

(D---------1--------；

sina+3cosa

(2)sin2a+2sinacosa

【解析】：Qcosa=-2sin/1.tana=-；

2xi

2sina-cosa2tana—1_4

(1)---------------------=-------------=—[

sina+3cosatana+3」+3~~~5

~2

.2仁.sin2a+2sinacos。

⑵sm-a+2sinacosa=---------------------z-------

sina+cosa

+2x

tan2a+2tana3

tan2a+15

+1

13.設(shè)向量。=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),xeR,函數(shù)/(x)=〃?(〃+/?)

⑴求函數(shù)/(x)的最大值與最小正周期；

3

(II)求使不等式/(x)>-成立的%的取值集合。

【解析】

?**—?―T..—T

解：⑴/(x)=a-(a+A)=df-a4-o>6=smxx4-cos2x+sinxcosix+GOS2r

=I+[sin2x+!(cos2x+l)=24--sin(.2x+-)

22224

；.〃》)的最大值為:+4，最小正周期是空=方.

222

,,、33J^2笈3ir

/(x)之707+丁8m(女+sin(2x+--)20

(2)由(1)知222424，

<=>2k青<2x+-<2k■兀+xOkx--<x<kjr+

488

即/(x)之弓成立的X的取值集合是4一:M+紅焦GZ

2Io8

—*72~-*TT

14.已知向量機(jī)=(cosa--1),n=(sincr,l),m與n為共線向量，且aG[-y,0]

(工)求sin。+cos。的值；

——sin2a

m)求------------的值.。

sina-cosa

--41

【解析】：(I)???加與刀為共線向量??.(cosa--^-)xl-(-l)xsina=0,

即sina+cosa=在

3

27

(□)\T+sin2a=(sina+cosa)2=—sin2a=--

v(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2,

,.、2CA/2216

(sinat-cosa)=2-(Z方-)=—

714

又??,a￡[---,0],sincr-cosa<0,sincr-cosa=——

23

sin2a7

因此

sincif-COS6Z12

15.如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈

塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,

于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.1km。試探究圖中B,D

間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等,然后求B,D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到

0.01km,A/2?1.414,V6?2.449）

【解析】：在AAC￡>中,NDAC=30。,ZADC=60°-ZDAC=30°,

所以CD=AC=0.1

又NBC￡>=180°-60°-60°=60°,

故CB是ACN。底邊AD的中垂線，所以BD=BA

AC

在zVLBC中,

sinZBCAsinZABC

即AB=坐堂=3而后

sinl5020

因此由丁

?0.33km

故B.D的距離約為0.3衣m。

TT

16.已知函數(shù)/（x）=Asin（ox+°）,xeR（其中4>0,0>0,0<q<5）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相

IT