高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修 第三冊-單元測試卷1 公開課教學(xué)設(shè)計課件資料

第六章計數(shù)原理

專項訓(xùn)練

一、單選題（共12題；共60分）

1.已知集合。={1,2,3,4,5},若48是尸的兩個非空子集，則所有滿足/中的最大數(shù)小于8

中的最小數(shù)的集合對（4面的個數(shù)為（）

A.49B.48C.47D.46

2.將33x33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相

鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為（）

A.33B.56C.64D.78

3.在（l+x+擊嚴的展開式中，/項的系數(shù)為（）

A.30B.45C.60D.90

4.空間中不共面的4點4B,C,D,若其中3點到平面a的距離相等且為第四個點到平面a

的g倍，這樣的平面a的個數(shù)為（）

A.8B.16C.32D.48

5.算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大

貢獻.在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：

形式123456789

縱式1IIIII1111HillTITTHTir

橫式—===111

表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空,

如圖：

iir=ur6728

ITTT6708

如果把5根算籌以適當?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的三位?shù)的個數(shù)為

A.46

B.44

C.42

D.40

6.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)

在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則

AC區(qū)域涂色不相同的概率為()

7.某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABC。(邊長為2個

單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果

擲出的點數(shù)為迨=1,2,…,6),則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲

三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有

A.22種B.24種C.25種D.27種

8.若(x—a)(l+2x)s的展開式中V的系數(shù)為20,則。=()

A.--B.-C.--D.—

4422

9.已知(1+or)”=%++…+a“x"(〃eN"),當〃=5時，q+/+%+%+%=242,則

當〃=6時，6+3a3+5%的值為()

A.-1452B.1452C.-726D.726

10.2020年我國進行了第七次全國人口普查，“大國點名，沒你不行”.在此次活動中，某學(xué)

校有2女、4男6名教師報名成為志愿者，現(xiàn)在有3個不同的社區(qū)需要進行普查工作，從這6名

志愿者中選派3名，每人去1個小區(qū)，每個小區(qū)去1名教師，其中至少要有1名女教師，則不同

試卷第2頁，總4頁

的選派方案有多少種（）

A.16種B.2（）種C.96種D.120種

11.在3+勿”的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則〃=（）

A.4B.5C.6D.7

12.由0,1,2,3,4,5共6個不同數(shù)字組成的6位數(shù)，要求0不能在個位數(shù)，奇數(shù)恰好有

2個相鄰，則組成這樣不同的6位數(shù)的個數(shù)是（）

A.144B.216C.288D.432

二、填空題（共4題；共20分）

13.學(xué)校安排5名學(xué)生到3家公司實習(xí)，要求每個公司至少有1名學(xué)生，則有種不

同的排法.

14.在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的

兩塊種不同的植物.現(xiàn)有3種不同的植物可供選擇，則有____種栽種方案.

15.2018年6月份上合峰會在青島召開,面向高校招募志愿者，中國海洋大學(xué)海洋環(huán)境學(xué)院的8

名同學(xué)符合招募條件并審核通過，其中大一、大二、大三、大四每個年級各2名.若將這8名同

學(xué)分成甲乙兩個小組,每組4名同學(xué),其中大一的兩名同學(xué)必須分到同一組,則分到乙組的4名

同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自于同一年級的分組方式共有種.

16.某學(xué)校要安排2位數(shù)學(xué)老師、2位英語老師和1位化學(xué)老師分別擔(dān)任高三年級中5個不同班

級的班主任，每個班級安排1個班主任.由于某種原因，數(shù)學(xué)老師不擔(dān)任A班的班主任，英語

老師不擔(dān)任8班的班主任，化學(xué)老師不擔(dān)C班和。班的班主任，則共有種不同的

安排方法.（用數(shù)字作答）.

三、解答題（共4題；共20分）

n2r

17.+X）=an+atx+a2x+???+arx+?.?+anx",其中.

(1)證明：￡1=端，其中r=0,1,2,…〃;

r+1〃+1

（2）當4=1時，化簡：r=u

Y1

（3）當好〃時，記兒=心等，B,,二H試比較A”與紇的大小.

18.（4+一尸）"的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128,且前三項系數(shù)成等差數(shù)列.

（1）求。的值；

（2）若a<3,展開式有多少有理項？寫出所有有理項.

23n

19.已知（l+2x）”=a0+a,x+a2x+a3x???+allx{neN*）,

⑴求5=-？+空-梟+?一+（-1）”祟的值；

（2）若6〉％且6>/，求"的值；

（3）求證：（1+—5—）2°”>7.

1000

20.某大學(xué)師范學(xué)院的兩名教授帶領(lǐng)四名實習(xí)學(xué)生外出實習(xí)，實習(xí)前在學(xué)院門口合影留念，實

習(xí)結(jié)束后四名實習(xí)生就被安排在三所中學(xué)任教，請回答以下問題.（用數(shù)字作答）

（1）若站成兩排合影，兩名教授站在前排，四名實習(xí)學(xué)生站在后排，則共有多少種不同的排

法？

（2）若站成一排合影，兩名教授必須相鄰，則共有多少種不同的排法？

（3）實習(xí)結(jié)束后，四名實習(xí)生被安排在三所中學(xué)任教，若每個中學(xué)至少一人去，則共有多少

種不同的安排方法？

試卷第4頁，總4頁

參考答案

1.A

【詳解】

集合/={1,2,3,4,5}知:

1、若/中的最大數(shù)為1時，6中只要不含1即可：A的集合為{1}，

而B有24-1=15種集合，集合對（4面的個數(shù)為15；

2、若力中的最大數(shù)為2時，6中只要不含1、2即可：

A的集合為{2},{1,2},而8有合-1=7種,

集合對（4面的個數(shù)為2x7=14；

3、若力中的最大數(shù)為3時、6中只要不含1、2、3即可：

A的集合為⑶,{1,3},{2,3},{1,2,3},而8有22-1=3種，

集合對（46）的個數(shù)為4x3=12；

4、若力中的最大數(shù)為4時，8中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合為⑷,優(yōu)4},⑵4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而6有2-1=1種，集合對（4而的個數(shù)為8x1=8；

一共有15+14+12+8=49個，

故選：A

2.B

【詳解】

記分隔邊的條數(shù)為L,首先將方格表按圖分成三個區(qū)域，如圖：

分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，此時共有56條分隔邊，則L=56,

其次證明：L>56,

答案第1頁，總13頁

將方格表的行從上至下依次記為A，4,43,…,43,列從左至右依次記為旦,B2，&,…,％3，

行占中方格出現(xiàn)的顏色為〃(A),列瓦.中方格出現(xiàn)的顏色為〃(B,),

三種顏色分別記為。，。2，。3,對于一種顏色Cj，設(shè)〃(Cj)為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，

定義當4行含J色方格時，AA，C")=1,否則/(A，c/=o,

類似的定義/(8,，Cj),

33333

所以Z(〃(A)+“(B,))=W；Z(/(4，Cj)+/(g,Cj))

/=]i=lj=\

3333

=ZZ(〃(4，J)+〃(Bi，Cj))=￡n(c),

J=1/=!J=1

由于染J色的格的行有。個，列有b個，則的色的方格一定在這。行和匕列的交叉方格中，從

而ah>363,

所以〃(q)=a+。22而>27363>380"(J)239(/=1,2,3)所以①，

由于在行4中有“(4)種顏色的方格，于是至少有〃(4)-1條分隔邊，

類似地，在列8,中至少有〃(2)-1條分隔邊，

3333

則LNZ(〃(4)-I)+Z(〃(4)T)

I=I/=1

33

=Z(〃(4)+〃(印)-66②

/=!

33

=Z(〃(Cj))-66③，

尸1

下面分兩種情況討論：

1、有一行或一列所有方格同色，不妨設(shè)為。色，則方格表的33列中均含有q色的方格，又q

色的方格有363個，

故至少有11行含有。色的方格，于是1+33=44④，

由①③④得L>)+n(c2)+n(c3)-66>444-39-66=56;

答案第2頁，總13頁

2、沒有一行也沒有一列所有方格同色，對任意1W，W33均有〃（4）22,n（B,）＞2,

33

從而由②可得L之Z（〃（〃（4）+〃（片））一66233X4-66=56；

/=1

綜上所述，分隔邊條數(shù)的最小值為56.

故選：B

3.B

【詳解】

在（1+x+J而尸的展開式中，通項公式為洛=/?小+&[.

對于卜+擊），通項公式為4n=C?/皿，0,八kRN,r^lO.

令r-2021Q2,可得r=2+2021A,

故k=0,r=2,

故/項的系數(shù)為G：?域=45,

故選：B.

4.C

【詳解】

第一種情況，A,B,C,〃點在平面。的同側(cè).

當平面a〃平面順時，力與平面a的距離是a與平面心的距離的2倍.

這種情況下有4個平面.

第二種情況，A,B,C,〃中有3個點在平面a的一側(cè)，第4個點在平面a的另一側(cè)，這時又

有兩種情形：

一種情形是平面a與平面BCD平行，且4與平面a的距離是平面a與平面交9距離的2倍.這

時有4個平面.

答案第3頁，總13頁

DA

ab

另一種情形如圖a所示，圖中￡,月分別是"，〃'的中點，/是初的三等分點中靠近力的分

點，A,B,。到平面跖T(即平面a)的距離是〃到平面的距離的一半.

O可以是48,力。的中點的連線，又可以是48,比的中點的連線，或/C,%的中點的連線，

,這種情形下的平面a有3X4=12(個).

第三種情況，如圖，所示，在兒B,C,〃四點中，平面。兩側(cè)各種有兩點.

容易看出：點4到平面以砌V(平面a)的距離是8,C,〃到該平面距離的2倍.

就4C與B,〃分別位于平面a兩側(cè)的情形來看，就有4離平面a遠，8離平面a遠，C離平

面a遠，〃離平面a遠這四種情況.

又“4C,即異面，則這樣的異面直線共有3對，

平面a有4X3=12(個).

綜上分析，平面a有4+4+12+12=32(個).

故選C.

5.B

【詳解】

按每一位算籌的根數(shù)分類一共有15種情況,如下

(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),

(2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),

2根以上的算籌可以表示兩個數(shù)字，運用分布乘法計數(shù)原理，

則上列情況能表示的三位數(shù)字個數(shù)分別為：

2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根據(jù)分布加法計數(shù)原理，5根算籌能表示的三位數(shù)字個數(shù)為：

答案第4頁，總13頁

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.

故選B.

6.D

【詳解】

提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同,

根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個區(qū)域依次為A,8,分4步進行分析:

①，對于區(qū)域A,有5種顏色可選；

②，對于區(qū)域8與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；

③，對于區(qū)域E,與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；

④，對于區(qū)域2C,若。與8顏色相同，C區(qū)域有3種顏色可選，

若。與8顏色不相同，。區(qū)域有2種顏色可選，C區(qū)域有2種顏色可選,

則區(qū)域。，。有3+2x2=7種選擇，

則不同的涂色方案有5x4x3x7=420種，

其中，AC區(qū)域涂色不相同的情況有：

①，對于區(qū)域A,有5種顏色可選；

②，對于區(qū)域3與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；

③，對于區(qū)域E與A8,C區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；

④，對于區(qū)域。,。，若。與8顏色相同，C區(qū)域有2種顏色可選，

若。與3顏色不相同，O區(qū)域有2種顏色可選，C區(qū)域有1種顏色可選,

則區(qū)域2c有2+2x1=4種選擇，

不同的涂色方案有5x4x3x4=240種，

答案第5頁，總13頁

2404

，A,C區(qū)域涂色不相同的概率為〃=旃=,，故選D.

7.D

【詳解】

分析：拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的表示三次骰子的點數(shù)之和是8,16,列舉出在點

數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為8,16的125;134;116;224;233;466;556,共有7種組合，利用分類計

數(shù)原理能得到結(jié)果.

詳解：由題意知正方形ABC。(邊長為2個單位)的周長是8,

拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的表示三次骰子的點數(shù)之和是&16,

列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為8,16的有125;134;116;224;233;466;556,

共有7種組合，

前2種組合125;134,每種情況可以排列出國=6種結(jié)果，

共有28=2x6=12種結(jié)果;

116;224;233;466;556各有3種結(jié)果，共有5x3=15種結(jié)果，

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有12+15=27種結(jié)果，故選D.

8.B

【詳解】

+2x)5=x(l+2x)s—<a(l+2x)5,

%(1+2呼的展開式通項為r=xC>(2x)r=C；-2r-xr+1,

a(l+2x)s的展開式通項為=。以?(2域,

所以，(x-a)(l+2x)5的展開式通項為&⑼=G，2"?6

由,「可得由題意可得C；?22-q?23?C；=40-80〃=20,解得”;

%=31%=34

故選：B.

9.B

【詳解】

答案第6頁，總13頁

(1+依)〃=%H------

令尤=(),則/=1;

令x=l,n=5,則（l+a）5=%+q+%H-----Fa5?

因為4+4+%+/+%=242,

所以（1+4丫=243=3,,a-2,（l+2x）”=%+。/+%X2+…+d，

當〃=6時，

456

（1+2x>=coX（26。+c：x（2x）+C；x（2x『十魂*但犬丫+域x（2x）+C；x（2x）+C：x（2x）

=1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6,

則q=12,“3=160,4=192,q+3a3+56=1452,

故選：B.

10.C

【詳解】

只有一名女教師：々=C；C：A；=72；

選派兩名女教師：％=C；C：A；=24；

所以共有72+24=96種方法.

故選：C

11.C

【詳解】

在3+卬的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，即中間項聿項的二項式系數(shù)最大，即

rj

—+1=4,解得：n-6

2

故選：C.

12.C

【詳解】

先從3個奇數(shù)中選2個奇數(shù)捆綁看成一個整體，然后將它們分別安置在5個位置上，分別記為

①②③④⑤,其中這個整體與剩下的一個奇數(shù)不相鄰，以及0不在①號位置，也不在⑤號位置.

答案第7頁，總13頁

(1)若奇數(shù)排在①③號位置,則排法總數(shù)為用用C；8=48；

(2)若奇數(shù)排在①④號位置,則排法總數(shù)為8=48；

(3)若奇數(shù)排在①⑤號位置,則排法總數(shù)為其用看=72；

(4)若奇數(shù)排在②④號位置,則排法總數(shù)為&=24；

(5)若奇數(shù)排在②⑤號位置,則排法總數(shù)為&&C；4=48；

(6)若奇數(shù)排在③⑤號位置，則排法總數(shù)為《&C；g=48；

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，排法總數(shù)為48+48+72+24+48+48=288.

故選：C.

13.150

【詳解】

解：根據(jù)題意，分2步進行分析:

①先將5名學(xué)生分成3組，

若分成1、1、3的三組，有與G=io種分組方法,

4

若分成1、2、2的三組，有筌G

=15種分組方法,

則有10+15=25種分組方法;

②再將分好的三組全排列，對應(yīng)三個公司，有禺=6種情況，

則有25x6=150種不同的安排方式.

故答案為：150.

14.66

【詳解】

根據(jù)題意，分3種情況討論：

①當A、C、E種同一種植物，此時共有3X2X2X2=24種方法；

②當A、C、E種二種植物,此時共有C3?XA：><2X1X1=36種方法;

③當A、C、E種三種植物，此時共有人3：*1><1><1=6種方法；

則一共有24+36+6=66種不同的栽種方案；

答案第8頁，總13頁

故答案為66.

15.24

【解析】

分析：首先要明確該題應(yīng)該分類討論，第一類是大一的兩名同學(xué)在乙組，第二類是大一的兩名

同學(xué)不在乙組，利用組合知識，求得相應(yīng)的數(shù)，之后應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，求得結(jié)果，問題

得以解決.

詳解：根據(jù)題意，第一類：大一的兩名同學(xué)在乙組.，乙組剩下的兩個來自不同的年級，從三個

年級中選兩個為仁=3種，然后分別從選擇的年級中再選擇一個學(xué)生為=4種，故有

3x4=12種；

第二類：大一的兩名同學(xué)不在乙組，則從剩下的三個年級中選擇一個年級的兩名同學(xué)在乙組,

為C；=3種，然后再從剩下的兩個年級中分別選擇一人為=4利」，這時共有3x4=12種；

根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有12+12=24種不同的分組方式.

16.32

【解析】

若數(shù)學(xué)老師分到我。兩班，共有可聞用=8種分法，若數(shù)學(xué)老師分到民。兩班，共有用記街=8

種分法，若數(shù)學(xué)老師分到民E兩班，共有用A；=4種分法，若數(shù)學(xué)老師分到兩班，共有

否用=4種分法，若數(shù)學(xué)老師分到CE兩班，共有A；A；=4種分法，若數(shù)學(xué)老師分到。,E兩班，

共有用&=4種分法，共有8+8+4+4+4+4=32種安排方法，故答案為32.

17.(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析

【詳解】

.、C；=1〃！〃！1("+D!1.川ci”.」

r+1r+1r!(n-r)!(r+l)!(n-r)!n+\(r+l)!(?-r)!n+\用'’、***,

(2)當q=l時，由(1)結(jié)論可得4=C；

1

所以原式=(明

(3)【解法一】當4=〃時,%=W，

所以,=〃",《=〃"，所以兒=〃向，令X=l,得用,=(〃+1)",

答案第9頁，總13頁

當〃=1,2時，〃"+1<5+1)"；當"23時，〃向>(〃+1)",即〃>(1+1

1〃

下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當〃23,〃eN*時，n>fl+lj,(☆)

①當”=3時，3>f-+ll=—,(☆)式成立；

(3)27

②假設(shè)〃=人3時，(☆)式成立，即心口■+1,

M)

貝時，(☆)式右邊=(—=f—!—+1Y—+11

U+i)U+iJU+i)

“<［上+1心上+%<%+i

U+1入k)〃+1Jk+1

所以，當〃=Z+1,(☆)式也成立.

綜合①②知，當〃23時，n>\-+1.

1〃7

所以，當”=1,2時，紇；當寸，A,>B”.

【解法二】

當4=〃時,%=C：〃I,所以為=”"=〃"，所以4=〃叫令x=l,得紇=(〃+1)",要比

較4與紇的大小，即可比較則與ln(〃+l)的大小,設(shè)八*)=叱，則/。)=坐,

nn+lxx

由廣(幻>0,得0<x<e,所以/(x)在(O,e)上遞增,

由尸(x)<0,得x>e,所以/(x)在(e,+?))上遞減,

所以當〃=1,2時，—<ln^—A,<B,,,

nn+1

當〃23時，皿〉-5+1),即(〃+i)in〃>〃ln(n+l),即In*>ln(〃+l)",即4>紇,

n〃+1

綜上所述，當〃=1,2時，4〈紇；當〃23時，紇.

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18.(1)2或14；(2)7]=x\7；=C；3x=^x，7；==與”

Zo，ZDO

【詳解】

因為奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128,

所以2”T=128,解得〃=8,

所以二項式為（4

o

第二項:系數(shù)為色,

\)\ayjxJaa

第三項：4=5+1=C：（?）=|1%2,系數(shù)為

Q02

由前三項系數(shù)成等差數(shù)列得：2x-=l+—

aa

解得a=2或a=14.

（2）若a<3,由（1）得二項式為（4+TI7=）8，通項為:

?~?r16—3r

='4其中/■nOJZ…,8

X

16-3r

所以<4,

4

令至0=4即r=0,此時工=。“4=/;

.16-3rc4

令-----=3BJnnr=-,不符題意；

43

A16-3r8

令一:-=2B|Jr=-,不符題意；

43

人16-3r,_Co35

令一--=1即r=4,此時(=—^x=—x；

428

令”押=0即「若，不符題意；

令更言=_1即r=弓，不符題意;

答案第11頁，總13頁

1A_3r「8i

令U-」=—2即r=8,此時％=與1=」-彳

49