高中數(shù)學(xué)選1 第1課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì)

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

1.橢圓3x2+4y2=12的長軸長、短軸長分別為（）

A.2,V3B.V3,2C.4,2A/3D.2同4

2.點A（a,1）在橢4圓Z的內(nèi)部,則a的取值范圍是（）

A.（-°°,-V2）U（V2,+°°）

B.（-V2,V2）

C.[-V2,V2]

D.（-2,2）

22

3.（2020河北唐山一中高二上期中）已知Fi,Fz分別為橢圓3+5=1的左，右焦點,A

169

為上頂點,則△AFE的面積為（）

A.6B.15C.6V7D.3近

4.若中心在原點,焦點在x軸上的橢圓的長軸長為18,且兩個焦點恰好將長軸三等

分，則此橢圓的方程是（）

A.一nBW+匕1

8172819

cW+E=iDW+以1

81458136

5.（2020湖南長沙長郡中學(xué)高二上期中）橢圓三+且=1的短軸長為8,則實數(shù)

36m

題組二求橢圓的離心率或范圍

6.橢圓x2+4y2=l的離心率為（

A32

41D.3-

7.已知a>b>0,則橢圓，+，=1與橢圓，+，=入（入〉0且入=1）有（）

A.相同的焦點B.相同的頂點

C.相同的離心率D.相同的長、短軸

22

8.已知橢圓3+9=l（a>b>0）的左、右焦點分別是R、Fz,P是橢圓上一點，若

a'b乙

IPF」二21PF2,,則橢圓的離心率的取值范圍是（）

c￡，i）D￡，I）

22

9.在平面直角坐標系Oxy中,若橢圓E：^=l（a>b>0）的兩個焦點和短軸的兩個端

由b乙

點恰為正方形的四個頂點,則橢圓E的離心率是.

22

10.已知橢圓3+馬=1（a>b>0）的左焦點為Fl,右頂點為A,點B在橢圓上,且BF」x

Fb乙

軸,直線AB與y軸交于點P,AP=2PB,則橢圓的離心率為.

題組三橢圓幾何性質(zhì)的綜合運用

222

11.若橢圓5+巳=1（a>b〉O）的離心率為兩焦點分別為FF,M為橢圓上一點,且

aLb5b2

△FEM的周長為16,則橢圓C的方程為（）

x2v2

A.土+B,守=1

1625259

c.^2+42=iD.土近1

9252516

22

12.設(shè)e是橢圓骨,1的離心率，且|,1）,則實數(shù)k的取值范圍是（)

A.(0,3)B?(3與

C.(0,3)U(表+°0)D.(0,2)

13.橢圓C:x2+2y2=4的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積等

于.

22

14.比較橢圓①x?+9y2=36與②的形狀,（填序號）更扁.

15.如圖,橢圓a+守1（a>b>0）的離心率e=iF,A分別是橢圓的左焦點和右頂點,P

是橢圓上任意一點,若麗-刀的最大值是12,求橢圓的方程.

能力提升練

題組一橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

1.（2020山東蒲澤高二上期末，姬）中國是世界上最古老的文明中心之一，中國古代

對世界上最重要的貢獻之一就是發(fā)明了瓷器，中國陶瓷是世界上獨一無二的.它的

發(fā)展過程蘊藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù),陶瓷形狀各式各樣,從不同角度詮釋了數(shù)

學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤,經(jīng)測量得到圖中數(shù)據(jù),則該橢圓瓷

盤的焦距為（）

<------8cm-------?

A.8V3B.2V3C.4V3D.4

22

2.（葡）設(shè)A,B是橢圓C:?+?=l長軸的兩個端點,若C上存在點P滿足

4k

NAPB=120。，則k的取值范圍是（）

A.（0,|]u[12,+co）B.（0,|]u[6,+8）

C.（0,|]u[12,+co）D.（0,|]u[6,+e0）

2222

3.（多選）（"）若橢圓Ci:滔（ai>bi>0）和橢圓C2:滔+%=1（a2>b2>0）的禺心率相同,

且5為2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓G和橢圓C2一定沒有公共點

B也二組

?@2b2

c.於-盛〈憂一比

D.a2〈b「b2

22

4.（2020浙南名校聯(lián)盟高二上期中聯(lián)考,"）已知F是橢圓器+=1（a>b>0）的右焦

點，點P在橢圓上,且P到原點0的距離等于半焦距,AP0F的面積為6,則

b=.

題組二求橢圓的離心率或范圍

5.（2020遼寧省實驗中學(xué)高二上期中，站?）美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪

畫、建筑等）和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步,它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描,而

學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步.某同學(xué)在畫切面圓柱體（用與圓柱

底面不平行的平面去截圓柱,底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體,原圓柱的母

線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個

橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截

面圖形是有一個底角為60度的直角梯形,則該橢圓的離心率為（）

22

6.(2019黑龍江大慶實驗中學(xué)高二上期中，姬)已知過橢圓與+與二l(a>b>0)的左焦

於b乙

點R作x軸的垂線交橢圓于點P,Fz為其右焦點,若NFFF2=60°,則橢圓的離心率

為()

A.—B.—C.—D.—

3223

22

7.(2020山東濱州高二期中，妹)已知橢圓C邑+B=l(a>b>0)的左,右頂點分別為

由b

M,N,若在橢圓C上存在點H,使kMHkNHE(-|,0),則橢圓C的離心率的取值范圍為

()

22

(2020山東廣饒一中高二期中，箭)已知Ft,F2分別為橢圓今+4=1(a>b>0)的左,右

點，點P是橢圓上位于第二象限內(nèi)的點,延長PF】交橢圓于點Q,若PF2±PQ,且

|PFz|=1PQ],則橢圓的離心率為()

A.V6-V3B.V2-l

C.V3-V2D.2-V2

9.(*)黃金分割比例等具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊含著豐富的美學(xué)

價值.這一比值能夠引起人們的美感,是建筑和藝術(shù)中最理想的比例.我們把離心

率0=等的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下四種說法：

2222

①橢圓三+磊=1是“黃金橢圓”；②若橢圓a+%=1(a>b>0)的右焦點為F(c,0),且

22

滿足b?=ac,則該橢圓為“黃金橢圓”；③設(shè)橢圓3+9=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂

點為B,右頂點為A,若NABF=90°，則該橢圓為“黃金橢圓”；④設(shè)橢圓

22

彳+馬=1（a>b>0）的左，右頂點分別是A,B,左,右焦點分別是FbF2,若

FE[2=|AF』?|FIB|,則該橢圓為“黃金橢圓”.

其中說法正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

22

10.（2018陜西西安長安一中高二上學(xué)期期末，底）已知橢圓號+4=1（a>b>0）上有一

點A,它關(guān)于原點的對稱點為B,點F為橢圓的右焦點,且滿足AF±BF,設(shè)NABF=a,

且aW求該橢圓的離心率e的取值范圍.

L1Z6」

題組三橢圓幾何性質(zhì)的綜合運用

11.（2020江西南昌二中高二上第一次月考,#?）若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個

焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為（力M）

A.^+y2=lBW+31

545

222

C.2+y2=l或>+2=1D.以上答案都不對

545

12.（戰(zhàn)）已知點P（x,y）（xWO,yWO）是橢圓3+4口上的一個動點,FbF2分別為橢圓

168

的左,右焦點,0是坐標原點,若M是NFFF2的平分線上的一點（不與點P重合），且

耳而?麗=0,則13瓦1的取值范圍為（）

A.[0,3）B.（0,2V2）

C.[2V2,3）D.[0,4]

13.（多選）（讓）設(shè)橢圓C:>y2=l的左,右焦點分別為Fi,Fz,P是C上的動點，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.|PF：|+|PF21=2V2

B.離心率e=y

C.△PFE面積的最大值為企

D.以線段FR為直徑的圓與直線x+y-V2=0相切

14.（多選）（"）如圖所示,某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點P

變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在點P第二

次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道H繞月飛行,最終衛(wèi)星在點P第三次變

軌進入以F為圓心的圓形軌道in繞月飛行.若用25和2c2分別表示橢圓軌道I和

II的焦距,用2a和2a2分別表示橢圓軌道I和H的長軸長,則下列式子正確的是

C）

/\]\

n

A.ai+ci=a2+c2B.a15二C2

C.Cia2>aiC2D.—<—

a2

22

15.(2020遼寧大連高二上期中，如)已知橢圓CJ+與=l(a>b>0)的離心率為

a，bx

y,A(a,0),B(0,b),0(0,0),AOAB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求

證：|AN|?|BM|為定值.

答案全解全析

第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)

基礎(chǔ)過關(guān)練

22

1.C把3x2+4y2=12化成標準形式為土+匕口,得a2=4,b2=3,則長軸長為4,短軸長為

43

2V3.

2.B由題意,得《+々1,即a<2,解得

42

22

3.D由橢圓方程看+：=1得A(0,3),R(-V7,0),F2(V7,0),，|FEI=2?

?—△AF1F2qFEI?Ml弓義21X3=3A/7,故選D.

4.A由已知,得a=9,2c=-X2a,所以c=-a=3,b2=a2-c2=72.又橢圓的焦點在x軸上,

33

22

所以橢圓的方程為L+匕=1.

8172

5.答案16

22,__

解析因為橢圓。匕=1的短軸長為8,所以橢圓的焦點在x軸上,所以標=4,解得

36m

m=16.

6.A將橢圓方程x2+4y2=l化為標準方程為x2+^=l,則a2=l,b2A所以

-4

4

a=l,c=Va2-b2=—,故離心率e=-=—.

2a2

2222

7.C將橢圓方程++?=入（入>0且人=1）化為標準方程,得三+-1（人>0且

a2b2Aa2Ab2

人力1）,其離心率6="比二三,故選C.

“aa

8.C由橢圓的定義得，中笆1+田52|=2/又舊品|=2世展|,

??,IPFil-a,|PF|=-a,

332

又IPFJT,PFZWIFJU即1W2C,

3

所以e'；,故橢圓的離心率e的取值范圍是自1）.故選C.

Q叁金正

J?1=1^1^2

解析依題意得b=c,

所以b2=c2^>a2-c2=c2=>a2=2c2^^-=-,

a22

又e=->0,所以e=—.

a2

10.答案；

解析如圖，易知△ABFy^APO,

貝|絲=坨,即ja,所以a=2c,所以e=-=i

\AB\|*|3a+ca2

11.Dle=M設(shè)JJt(t>0),則a=5t,c=3t.

a53535

又△FRM的周長為2a+2c=16t=16,

/.t=l,

/.a=5,c=3,/.b2=a2-c2=16.

22

???橢圓c的方程為土+匕=1,故選D.

12.Ci|k<4Bt,e=-=—

a2\2/

即:<牛<1=l<4-k<4,解得0<k<3.

當(dāng)k>4時,e=-=^p^f-,lY

a7k\2/

綜上,實數(shù)k的取值范圍為(0,3)ug,+8).

13.答案2

22

解析橢圓方程可化為L+匕口.

42

a2=4,b2=2,從而C2=2,C=V2.

因此,兩焦點為(-V2,0),(V2,0),短軸的一個端點為(0,V2).

.?.構(gòu)成的三角形的面積為』><2魚X魚=2.

2

14.答案①

解析x2+9y2=36化為標準方程為二+上1,故離心率ek拽=些二+匕1的離心率6」.

36463953

因為e1>e2,所以①更扁.

15.解析由題易知A(a,0),設(shè)F(-c,0).

I.a=3c.設(shè)P(x(),y),貝卜3cWx()W3c.

a30

=(-c-xo,-y0),B5=(a-x0,-y0),

APF?(-c-xo,-y0)?(a-x0,-y0)

=-ac+cx0-ax0+%o+羽

=-ac+cxo-axo+%o+b2-^-%Q

az

2

c2

--；XQ-(a-c)x0+b-ac

cr

22

三XQ-(a-c)x0+a-c-ac

2

三%Q-2CX0+5C

=-(X-9C)2-4C2.

90

22

?,?當(dāng)x0=-3c時,PF?同有最大值,且最大值為12c.A12C=12,

.?.c2=1i,.?.a2=c9,[b2=a2-c2=c8,

22

???橢圓的方程為L+匕=L

98

能力提升練

22

1.C由題圖可設(shè)瓷盤所在橢圓的方程為W+勺1(a〉b>0),所以長軸長2a=8,短軸長

ar

2b=4,所以a=4,b=2,可得c=Va2-b2=2V3,因此焦距2C=4A/3,故選C.

2.A設(shè)P(x,y).當(dāng)0<k<4時，不妨令A(yù)(-2,0),B(2,0),則同二(-2-x,-y),PB=(2-

x,-y),

：.PA?P5=x2+y2-4=|E4|X|PB|cosl20°|~PAX|而|.由

SAPAB^IPIXPBXsinl20°=-|ABX|y|二2|y|,得』方|X|而仁日.

22273

故有x?+y2一4=」|同|X|而|=-隼.

2V3

又???點P在橢圓上，；4=4-尤，

k

(4-￡)y24|y|

.?4k

依題意知0〈d—W%，

V3(4-k)

又0<k<4,V3k+4V^-4V3<0,

.?.0<k端.

3

當(dāng)k>4時,不妨令A(yù)(0,-Vfc),B(0,Vfc),貝(-x,-Vfc-y),而=(r,Vfc-y),

：.PA-PB=x2+y2-k=|E4|X|PB|cosl20°=--1PAX\PB\.

2

由SAPAB^I?!x|PB|sinl20°」|AB|X|x|=Vfc|x|,

22

得」市|X|而仁空.

2V3

故有x2+y2-k=-i|PA|X|PB|=-半.

又???點P在橢圓上，，y'k-?

.?.x2+k-，=-理

4V3

(k-4)/2〃|x|

4V3?

8〃

*?*l1xI|,-V5(k-4)'

依題意知0〈W2,

V3(k-4)

又?.?k〉4,...代k-4花4百20,，心12.

U[12,+8),故選A.

3.AB依題意,e=2=&,即1-（町=L_田2,所以工組,所以3=”,因此B正確;又

aaa

a2\\\a2/i22b?

a】>a2,所以橢圓G和橢圓C2一定沒有公共點，因此A正確;設(shè)J”=m,其中0<m<l,則

ala2

有（青-出）-（靖-尻）=（l-n）2）（及-a分>0,即有謚-憂》成-叢,則山-aQ必-母,因此C

^HTM；(a-bi)-(a2-b2)-(1-m)?(ai-a2)>0,即有a「b〉a2-b2,則ai-a2>bi-b&因此D錯

誤.故選AB.

4.答案2V3

仁+^=1①

解析設(shè)P(x,y),則卜十「LU

(%2+y2=C2,(2)

由②得x2=c2-y2,代入①式得

SAPOF=_OFI,|y|=-XcX—=-b~=6,

22c2

.?.b'12,又b>0,

.,.b=2V3.

5.A設(shè)圓柱的底面半徑為r,依題意知,最長母線與最短母線所在截面如圖所示.

C

60:>

0產(chǎn)---4E

A'---------'R

AAB=DE=2r.

從而CD=’一=^r.

sin60°3

因此在橢圓中長軸長2a=^r,

3

短軸長2b=2r,

?22I242212一?

..c=a-b=-r-r=-r=c=—r.

333

/.e=-=-,故選A.

a2

6.D由題意知點P的坐標為或(-c,勺.

VZF1PF2=60°,A-^-=73,即2ac=Wb?=遮(￡七)，

a

/.V3e2+2e-V3=0,

e=漁或e=-V3(舍去).

3

故選D.

2-—==—

7.A設(shè)H(Xo,yo),則y禰=(a%Q),而M(a,0),N(a,0),RMH??—^-^°

2z

a%%o+a%g-a%0-a

9V°)，???e=/fe俘，1)?故選A,

8.A連接F2Q,由已知PF2±PQ,且IPF2|=IPQ|,WAF2PQ是等腰直角三角形,設(shè)

PF2|=m,IQF21=n,由橢圓的定義得|PFi|=2a-m,|QFi|=2a-n,則有2a-m+2a-n=m,且

n=V2m,m=2(2-V2)a.

在Rt^FiPF2中，由勾股定理得,m，(2a-m)2=4c2,即[2(2-魚)a]?+[2a-2(2-

2

V2)a]2=4C2,/.4(6-4V2)a2+(12-8V2)a=4c2,即(9-6V2)a2=c2,從而e=^9-6V2,又

a2

知0<e<l,.-.e=V6-V3,故選A.

9.C①由題意得a2=V5+l,b2=2,故e=口|=4,故橢圓士￡;1是"黃金橢圓”；

②b?=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-l=0,解得e=且或e=6（舍去），故該橢圓是“黃金橢

22

圓”；③由ZABF=90°得（a+c）2=a2+b?+b2+c2,化簡可知e2+e-l=0,解得e=回或

一2

e=^（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”；④由|FE「=|AFJ?|件8|,得（202=玄一

2

c）（a+c）,則e=?（負值舍去），故該橢圓不是“黃金橢圓.故選C.

10.解析如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點為F1，

連接AFbBFb則四邊形AFBFi為矩形，

A|ABHFFI|=2C,|AF|+|BF|=2a.

V|AF|=2csina,|BF|=2ccosa,

/.2csina+2ccosa=2a,

?ii

.?.sin（a+加殍，守，

???岳山,+：）6存，陰

，橢圓的離心率e6⑸耳

11.C直線與坐標軸的交點為（0,1）,（-2,0）.當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的方程為

4+4=1（a>b>0）,

由題意知，c=2,b=l,：.a=5,

???橢圓的標準方程為f+y2=l;

22

當(dāng)焦點在y軸上時,設(shè)橢圓的方程為f=l（a>b>0）,由題意知,b=2,c=l,.-.a2=5,/.

22

橢圓的標準方程為匕+匚1.故選c.

54

易錯警示當(dāng)不能確定橢圓的焦點在哪條坐標軸上時,要分兩種情況討論,解題時

要防止遺漏導(dǎo)致解題錯誤,如本題有兩種情況,得到兩解.

12.B如圖，延長PF2,FM交于點N,則APFiN為等腰三角形,M為FM的中

點，I麗/印|二；|I麗H電U曰?U哂H訊由圖可知，當(dāng)P在短軸端點

時