高中數(shù)學(xué)必修1-5知識點歸納

必修1知識點

第一章、集合與函數(shù)概念

§1.1.K集合

1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做基金。集合三要素：確定性、互異性、無序性。

2、只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。

3、常見集合：正整數(shù)集合:N*或N+,整數(shù)集合:Z,有理數(shù)集合:Q,實數(shù)集合:R.

4、集合的表示方法：列舉法、描述法、圖象法.

§1.1.2,集合間的基本關(guān)系

1、一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的

子集。記作AqB.

2、如果集合6,但存在元素xe8,且x史A,則稱集合A是集合B的真子集.記作:A￡B.

3、把不含任何元素的集合叫做室里.記作：。.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.

4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有豈個子集；有2"-1個非空子集;有2"-1個真子集;有2"-2個

非空真子集

§1.1.3、集合面的基本運算

1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的左基.記作：AUB.

2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作:Afi3.

3、全集、補集?CUA={X\X&U,^LX^U]

§1.2.1、函數(shù)的概念

1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,使對于集合A中的任意一個數(shù)X,在集合B中都

有惟一確定的數(shù)/(x)和它對應(yīng)，那么就稱了:Af8為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=/(x),xeA.

2、一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域為口果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，

則稱這兩個函數(shù)相等.

§1.2.2、函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

§1.3.1、單調(diào)性與最大(小)值注意函數(shù)單調(diào)性證明的一般格式：

解:設(shè)X],無2W以且X1<尤2，則:/&)一/(工2)=…

§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(-x)=/(x),那么就稱函數(shù)為偶函數(shù).

偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

2、一般地，如果對于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有/(—x)=—/(x),那么就稱函數(shù)fG)為奇函數(shù).

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.

第二章、基本初等函數(shù)(I)

§2.1.1、指數(shù)與指數(shù)幕的運算

1、一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根。其中〃>l,〃eN+.

2、當(dāng)〃為奇數(shù)時，府=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時，行=同.

3、我們規(guī)定：⑴a"，=(a>0,，〃,〃e>1)；⑵。-"=丁(”>0)；

4、運算性質(zhì)：

Wa'as=ar+s(a>0,r,se⑵(")'=a"(a>0,r,swQ)；(3)[ab)'=a'br(a>0,b>0,reQ).

§2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、記住圖象：y=a'\a>Q,a^\)通過圖象觀察函數(shù)的性質(zhì)

§2.2.1,對數(shù)與對數(shù)運算

1、a*=N<=>log“N=x；2、a'°s,,N=N.3、log,,1=0,log?a=l.

4、當(dāng)4>0,4。1,/〉0,"〉0時：

(Dlog“(MN)=log“M+log“N；⑵log“[*)=log“"-log“N；(3)log?=/ilogaM.

5、換底公式：=(a>0,aHl,c>0,cwl*>0).

log,a

6、logab——--(a>0,aw1,6>0,"1).

log/,a

§2.22、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、記住圖象：y=log“x(a>0,awl)通過圖象觀察函數(shù)的性質(zhì)

§2.3、幕函數(shù)

第三章、函數(shù)的應(yīng)用

§3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點

1、方程/(x)=0有實根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點o函數(shù)y=/(x)有零點.(零點不是點)

2、性質(zhì)：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,同上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)?/伍)<0,那么，

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,份內(nèi)有零點，即存在ce(a,。，使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

I、掌握二分法

§3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型

§3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.

必修2知識點

第一章空間幾何體

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)

(D常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。

⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面

體叫做棱柱。

⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。

2、空間幾何體的三視圖和直觀圖

把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影,

平行投影的投影線是平行的。

3、空間幾何體的表面積與體積

r

⑴圓柱側(cè)面積；5tM而=2乃⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面=??「?/⑶圓臺側(cè)面積：S側(cè)面=1?r?/+%?R?/

⑷體積公式：V柱體=S?〃：%體=3小V臺體=g(s上+JS上.S下+S。

C4Q

⑸球的表面積和體積：S球=4成V球=］冰3.

第二章：點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。

6、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。

7、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。

8、面面位置關(guān)系：平行、相交。

9、線面平行：

⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

⑵性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

10、面面平行:

⑴判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

⑵性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

11、線面垂直：

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

⑶性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

12、面面垂直：

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。

⑶性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

第三章：直線與方程

1、傾斜角與斜率：k=tana=—~~—

x2—X]

2、直線方程：注意各種方程成立.條件

⑴點斜式：^一>0=%(％—%0)(2)斜截式：y=kx+b

⑶兩點式："弘=*一拓⑷截距式：-+^=1(5)一般式：Ax+By+C=O

y2-y}x2—x}ab

3、對于直線：4:y=AqX+b]/：y=42元+)2有：

"k=k

⑴/J//,12；(2)/1和4相交=女產(chǎn)幺；

也產(chǎn)。2

k=k

2

⑶/]和，2重合?；(4)Z,±Z9<=>k}k2——1.

出二%

/竹吉4乙：A/+gy+G=。，右

4、對于直線：有：

l2:A^x+B2y+C2=0

A.B)=4B,

(1)/J〃20{；(2)/1和4相交04^2W42用；

81c2*B2cl

A=AB.

⑶4和4重合<=><~~2；⑷/]_L乙=AA)+片層=0.

SlC2=B2cl

5、兩點間距離公式：山舄|=J(尤2—召)2+出—y)2

6、點到直線距離公式：d=a+5yo乂

7A2+B2

第四章：圓與方程

1、圓的方程：

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：(%-.)2+()，一少2=/⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

2、兩圓位置關(guān)系：d=\O,O^,(。1,。2是兩圓的圓心，R,，且R>r是兩圓半徑)

⑴外離：d>R+r；⑵外切：d=R+r；⑶相交：R-r<d<R+r；

⑷內(nèi)切：d=R-r；⑸內(nèi)含：d<R-r.

3、直線與圓的位置關(guān)系：(d是圓心到直線的距離，r是圓的半徑)

(1)相離：d>r；(2)相切：d=r；(3)相交：d<r

4、點與圓的位置關(guān)系：(已知點用(與，孔)，圓：(工一。)2+(>-爐=,)

22

(1)點在圓上：(%o-a)?+(y0-b)=r

22

(2)點在圓內(nèi)：(X。一a)?+(y0-Z?)<r

(3)點在圓外：(x。-?)2+(%-b)2>r~

必修3知識點

第一章：算法

1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；

2、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

3、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法;

4、循環(huán)結(jié)構(gòu)中常見的兩種結(jié)構(gòu)：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

5、基本算法語句：

①賦值語句："="（有時也用“一”）②輸入輸出語句：“INPUT”“PRINT”

③條件語句：

If…Then

Else…

EndIf

④循環(huán)語句：“Do”語句

Do

Until…

End

“While”語句

While…

Wend

⑹算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法一同余思想

第二章：統(tǒng)計

］、抽樣方法，

①簡單隨機廟樣（總體個數(shù)較少）②系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）③分層抽樣（總體中差異明顯）

注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為二。

N

2、總體分布的估計：

⑴一表二圖：①頻率分布表一一數(shù)據(jù)詳實②頻率分布直方圖一一分布直觀

③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢

注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。

⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。

②個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的藥重復(fù)寫。

3、總體特征數(shù)的估計：

⑴平均數(shù)：可為+叼+=+…+~；

n

取值為…的頻率分別為P1，P2,…,，則其平均數(shù)為+必〃2+…+；

注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。

⑵方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)西,必，…,工”

In_2F.~~n_2

方差：s~=—V（xz-x）；標(biāo)準(zhǔn)差：S=J—￡區(qū)一X）

注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。

⑶線性回歸方程

①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；

②制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系

'乂一用

1)=旦-------------

③線性回歸方程：y=bx+a(最小二乘法)<72-2

-nx

i=\

a=y-bx

注意：線性回歸直線經(jīng)過定點日5)。

第三章：概率

1、隨機事件及其概率：

⑴事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點：

⑶隨機事件A的概率：P(4)=—,0<P(A)<1；

n

2、古典概型：

⑴基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；

⑵古典概型的特點：

①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。

⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件

A發(fā)生的概率P(A)=—.

n

3、幾何概型：

⑴幾何概型的特點：

①所有的基本事件是無限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。

⑵幾何概型概率計算公式：P(A)="型嗯;

。的測度

其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。

4、互斥事件：

⑴不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；

⑵如果事件4,&,任意兩個都是互斥事件，則稱事件A,&，…，4彼此互斥。

⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A,B發(fā)生的概率的和，

即：P(A+8)=P(A)+P(8)

⑷如果事件4,A2,…,4,彼此互斥，則有：

「(A[+A2H-----(■A”)=P(A|)+P(A2)H-----1-P(A”)

⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。

①事件A吃對立事華己作入

尸(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A)

②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。

必修4知識點

第一章、三角函數(shù)

§I』」、任意角

1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.

2、終邊相同的角的表示：

(1)a終邊與。終邊相同(a的終邊在。終邊所在射線上)0&=夕+2女乃(左eZ),注意：相等的角的終邊

一定相同，終邊相同的角不一定相等.

(2)a終邊與6終邊共線(a的終邊在。終邊所在直線上)oa=e+k兀(kwZ).

(3)a終邊與6終邊關(guān)于x軸對稱oa=一。+2k兀(ksZ).

(4)a終邊與。終邊關(guān)于y軸對稱oa=7T-0+2k/r(kGZ).

(5)a終邊與。終邊關(guān)于原點對稱oa=7i+0+2k7r(keZ).

TT

(6)a終邊在x軸上的角可表示為：a=k7i,keZ；a終邊在y軸上的角可表示為：a=k7r+—,keZ；

「終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：a=^-,keZ.與角。終邊相同的角的集合：煙0=a+2k冬kw八.

§1.1.2、弧度制

1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的雨.7irad=180°

2、\a\=~.3、弧長公式：/=四=同火.4、扇形面積公式：s=@-=LR.

11

11r1803602

§1.2.1、任意角的三角函數(shù)

1、設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點尸(x,y),再，么：sina=y,cosa=x,tana=—.

x

2、設(shè)點AG。，%)為角。終邊上任意一點，那么：(設(shè)-=Jx：+y；)

sin6<=—,cosa=—,tana=—.

3、sina,cosa,tana在四個象限的符號和三角函數(shù)線的畫法.

sin(a+2k兀)=sina,

4、誘導(dǎo)公式一：co〈a+2攵〃)=cosa,(其中：keZ)

tan(6f+2k7i)=tana.

5、特殊角的三角函數(shù)值:

30°45°60°0°90°180°270°15°75°

j_V2V3V6-V2V6+V2

sina010-1

22244

V3V2V6+V2V6-V2

cosa]_10-10

~T244

tana旦1V3002-V32+V3

3//

V3

cota拒1~T/0/02+V32-V3

§1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sinoc

1、平方關(guān)系：sin26Z4-cos2a=1.2、商數(shù)關(guān)系：tan6Z=--------.3、倒數(shù)關(guān)系：tana?cokz=l

cosa

§1.3,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：奇變偶不變(對人而言，指左取奇數(shù)或偶數(shù))，符號看象限(看原函數(shù)，同時可把

a看成是銳角)，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：負(fù)化正，大化小，化成銳角0K了！

sin(乃+a)=-sina,sin(—a)=-sina,

1、誘導(dǎo)公式二：cos(乃+a)=-cos。，2、誘導(dǎo)公式三：cos(-a)=cosa,

tan(^+a)=tana.tan(-a)=-tana.

sin(乃一a)=sin。，

3、誘導(dǎo)公式四：cos(萬一a)=-cosa,4、誘導(dǎo)公式五:

tan(乃一。)=-tana.

.(71、

sinl—4-cifI=cosa,

5^誘導(dǎo)公式六：

(71.

cos—+a=-sint

12)

§1.4.K正弦、余弦函數(shù)的圖象

1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：

2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、

單調(diào)性、周期性.

3、會用五點法作圖.

§1.4.2.正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1、周期函數(shù)定義：對于函數(shù)/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有

/(x+T)=/(%),那么函數(shù)了.)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

y=smx的圖象

y=cosx的國象

2、正弦函數(shù)y=sinx(x￡H)、余弦函數(shù)y=COSX(XG&的性質(zhì)：

(1)定義域：都是R。

jr3冗

(2)值域：都是[一1,1],對丁=5也1,當(dāng)x=2%%+,(ZeZ)時，y取最大值1；當(dāng)x=2女乃+:eZ)

時，y取最小值一1：對丁=<\?X,當(dāng)x=2左乃(ReZ)時，y取最大值1,當(dāng)x=2kr+〃(ZeZ)時，y取最

小值一1。

(3)周期性：?y=sinxy=cosx的最小正周期都是2萬；②/(x)=Asin(0x+0)和/(x)=Acos(0x+0)

2〃

的最小正周期都是T

（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)丁=而%（%€/?）是奇函數(shù)，對稱中心是（Qr,O）（ZeZ）,對稱軸是直線

x=kjT+^keZ）；余弦函數(shù)y=cosx（xeR）是偶函數(shù)，對稱中心是（攵萬+1,0）（上eZ）,對稱軸是直線

x=k兀（kGZ）（正（余）弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸的

交點

（5）單調(diào)性：y=sinx在卜版■—泉2版■+］（々eZ）上單調(diào)遞增，在2版■+泉2碗+芳（AeZ）單調(diào)遞

減；y=cosx在［2%乃,2匕?"+句（％eZ）上單調(diào)遞減，在［2左乃+乃,2左乃+2萬］（左eZ）上單調(diào)遞增。特別提醒，

別忘了k&Z\

§1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)|p個寸II

1、記住正切函數(shù)的圖象：?J；彳1|

I/；/'/IX

y=tanx的黑象

2、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

§1.5、函數(shù)y=Asin（a>x+Q）（A>0,?y>0）的圖象和性質(zhì)：

1、研究函數(shù)^=Asin（（yx+0）性質(zhì)的方法：類比于研究y=sinx的性質(zhì)，只需將y=Asin（（yx+。）中的

0X+8看成y=sinx中的x,但在求y=Asin（3x+e）的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和①的符號，通過誘導(dǎo)

公式先將。化正。

2、對于形如y=Asin（<yx+°）（A>0,<y>0）的函數(shù)有：

（1）幾個物理量：A—振幅；/=,一頻率（周期的倒數(shù)）；3X+。一相位；。一初相；

（2）函數(shù)y=Asin（s+。）表達(dá)式的確定：A由最值確定；。由周期確定；。由圖象上的特殊點確定；

7T3乃

（3）函數(shù)y=Asin（啰x+e）圖象的畫法：①“五點法”一一設(shè)X=iyx+°,令X=0,亍,萬,3,2萬求

出相應(yīng)的x值，計算得出五點的坐標(biāo)，描點后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。

（4）函數(shù)y=Asin（的+0）+%的圖象與丁=4!1》圖象間的關(guān)系：①函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫

坐標(biāo)向左（0>0）或向右（°〈0）平移|°|個單位得曠=$皿工+0）的圖象；②函數(shù)y=sin（x+o）圖象的縱坐

標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函數(shù)曠=5m（5+9）的圖象；③函數(shù)y=sin（&x+e）圖象的橫坐標(biāo)不變,

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)丁=4&11（3：+°）的圖象；④函數(shù)y=Asin（8+°）圖象的橫坐標(biāo)不變，縱

坐標(biāo)向上（2>0）或向下（左<0）,得到y(tǒng)=Asin?x+0）+左的圖象。要特別注意，若由y=sin（ox）得到

y=sin（5+°）的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移|?|個單位，

§1.6、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用要求熟悉課本例題.

第二章、平面向量

§2.1.1、向量的物理背景與概念

1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.

§2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段,有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.

2、向量麗的大小，也就是向量屈的長度（或稱慢），記作而；長度為零的向量叫做零向量;長度等于1

個單位的向量叫做單位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定:零向量與任意向量平行.

§2.1.3、相等向量與共線向量

1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.2.1、向量加法運算及其幾何意義

1、三角形法則和平行四邊形法則.2、|Z|工區(qū)Z±gWZ+%.

§2.2.2、向量減法運算及其幾何意義

與3長度相等方向相反的向量叫做]的相反向量.

§2.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義

1、規(guī)定：實數(shù);I與向量[的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作:Aa,它的長度和方向規(guī)定如下:

（l）bq=M問，⑵當(dāng)4>0時，的方向與〉的方向相同；當(dāng)；1<0時，九2的方向與Z的方向相反.

2、平面向量共線定理：向量與各共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)4,使1=4工

§2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量有且只

有一對實數(shù)4,4，使2=41+4最.

§2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示a=xi+yj=[x,y）.

§2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運算

1、設(shè)0=（王，凹貝I：⑴4+辦=（工1+W，y+%），=（x]-x2,yy-y2）>

⑶彳4=（弱,肛），Wa//b<^>xly2-x2yl.

、設(shè)（和%）,），則：

245&,%AB=（X2-X],y2-yj.

§2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示

1、設(shè)4（陽,月）5（巧,為），。&，丁3），則

⑴線段AB中點坐標(biāo)為七巨，牛），⑵AABC的重心坐標(biāo)為色守,取箏乃）.

§2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、ab=abcosO.2、a在各方向上的投影為：|dcosd=^^

11I回

—2i—?i2i—?|/12———*-?—?—?—?—?—?—?

3、a=a.4、a=4。.5、a1.boa-b=0.6、allb<^>a=AKb0,2GR）

§242、平面模癱

1、設(shè)a=（x，y）1=（尢2，%），貝必

⑴a?5=x/2+yy2（2）4=Jx；+y；（3）a_L^。+y%=°；⑷=12%

2、設(shè)4（為，必）,8（工2，%），則：28=J（》2-占丫+（%一H丫?

§2.5.1、平面幾何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例

第三章、三角恒等變換

§3.1.1、兩角差的余弦公式cos(cu-/7)=cos?cos/7+sinasin/3

§3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1、cos(a+￡)=cosacos戶一sinasin/72、sin(a-/?)=sin?cos/?-cosasinp

3、sin(?+>9)=sinacos/3+cosasinp

4^tan(a士尸)=)器募夕?變形：tana土tan￡=tan(a土尸)(1干tana?tan尸)

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a

1、sin2a=2sinacosa,變形1：sinacosa=^sin2a.變形2：cosa=--------

2sina

2、cos2cr=cos2a-sin2a=2cos2a-\=l-2sin2a,變形1：c°s%=一

變形2：sin2a=1-c；s2a.變形3：l+cosa=2cos2a變形4：l-cosa=2sin2a

類比：1±sina=(sinW±cos0)23、tan2a=?tan/.

221-tan2a

§3.2、簡單的三角恒等變換：三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即

首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的

關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點?；镜募记捎?角變形(加一加、減一減)、函數(shù)名稱變形

(切化弦、弦化切)和常數(shù)變形。注意正切化弦、平方降次;輔助角公式的應(yīng)用。.

必修5知識點

第一章：解三角形

1、正弦定理：—9—=一竺=-^=2/?.(注意其變形情況)

sinAsinBsinC

b2+c2-a2

AcosA=----------

a1=/?2+c2-2力ccosA,2bc

a2+c2-b2

2^余弦定理：b2=a2+c2-2accosB,DcosB=----------

2ac

c2=a2+—2abcosC.

_a2+b2-c2

cosC=----------

2ab

3、三角形面積公式:SMBC=—ahsinC=—hcsinA=—tzcsinB

第二章：數(shù)列

5，當(dāng)”=1時，

1、數(shù)列中3與之間的關(guān)系：a

nS“-S,i，當(dāng)〃>1時.

2、等差數(shù)列:

⑴定義：如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

⑵通項公式：an-a｝+(n-V)d

⑶求和公式：5“=叼+的上以=包上她

3、等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)當(dāng)公差d/0時，等差數(shù)列的通項公式〃，=0+(〃-1)"=血+4-4是關(guān)于"的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

2

前〃和S,、=na｝+幽-1)"=|?+(?,-|)n是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.

(2)若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列，若公差。=0,則為常數(shù)列。

(3)當(dāng)"2+〃=p+q時，則有+?！?%,+%,特別地，當(dāng)帆+/=2〃時，則有冊+?！?24.

(4)若｛4｝、他,｝是等差數(shù)列，則｛履“｝、伙4+油"｝”、，是非零常數(shù))、｛々『/(PMCN*)、

S”,S2”—S”,S3”—S2“，…也成等差數(shù)列，而｛相"｝成等比數(shù)列；若｛4｝是等比數(shù)列，且4>0,則｛1g4｝是

等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列伍,｝中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2〃時，S偶一5奇=〃4；項數(shù)為奇數(shù)2〃一1時，S奇-S偶=。中，

52“-|=(2〃一1>。中(這里/即?！?；S奇：5偶=伏+1):后。

(6)若等差數(shù)列｛%｝、｛"｝的前〃和分別為4、Bn,且今=/(〃)，則2=等條=*2=/(2〃-1).

紇21(2〃-氏.i

(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前”項和的

最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組,，，*°(或1%4°)確定出前多少項為非負(fù)(或非正)；法二：

因等差數(shù)列前〃項是關(guān)于〃的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性〃eN*。

4、等比數(shù)列

⑴定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。

⑵通項公式：an=

C

⑶求和公式：Sn=~~=_L11)；Sn=｛q=1)

1-q1-q

5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

(1)當(dāng)m+〃=p+q