熱力學(xué)與統(tǒng)計物理習(xí)題課

第一章習(xí)題

10.(a)等溫條件下，氣體對外作功為

C1Vp2vzdV

W=Lpciv=/?r￡—RT\n2

Q=—W=—Sn2(At/=O)

p_RT

(b)等壓條件下，由=得〃一三

所以W=P()(2VO-VO)=POVO=RTO

TPVP-2V-

當(dāng)體積為2V時1=----=-------=21

RR

C2T5

Q=CP\TdT=CPT=-RT

5

11.(1)Q=CPn(T2-T.)=2Ax\Qcal

"理=250〕

4

⑵AU=nCv^T=1.5x10^cal

⑶W=Q-AU=6xl04cal

(4)因?yàn)閃=o,所以Q=AU=1.5xio5cal

12.由熱力學(xué)第肯定律

dU=dW+dQ(1)

對于準(zhǔn)靜態(tài)過程有

dW=-PdV

對志向氣體dU=CydT

氣體在過程中汲取的熱量為

x^Q=CndT

由此G-Cv)dT=PdV(2)

由志向氣體物態(tài)方程PV=nRT(3)

且Cp—Cv—"十R

所以(C"-Cv)3~=(Cp-Cv)E~(4)

對志向氣體物態(tài)方程(3)求全微分有

dVdPdT

VPT⑸

dT

(4)與(5)聯(lián)立，消去，有

T

dPdV

C-G)7+(G-。)歹=o(6)

_cn-cP

令"二c〃-g，可將⑹表示為

佇+絲o

VP⑺

若c〃，G，G均為常量，將⑺式積分即得

n

PV=C(8)

式(8)表明，過程是多方過程.

14.(a)以T,P為電阻器的狀態(tài)參量，設(shè)想過程是在大氣壓下進(jìn)

行的，假如電阻器的溫度也保持為27。不變，則電阻器

的炳作為狀態(tài)函數(shù)也保持不變.

(b)若電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的焦耳熱Q將全

部被電阻器汲取而使其溫度由刀升為烏，所以有

2

mCp(Tf-Ti)=iRt

+記=60°K(1卡=4.1868焦耳)

“Up

TmCdTT

AS=C[f-----------In—t=1

丁=mC.39cal?K

PT

15.

依據(jù)熱力學(xué)第肯定律得輸血表達(dá)式

dU=dW+dQ(i)

在絕熱過程中，有出2=°,并考慮到對于志向氣體

dU=C、,dT(2)

外界對氣體所作的功為：=-pdV,則有

CvdT+pdV=O(3)

由物態(tài)方程Pv=HRT,全微分可得

pdV+Vdp=nRdT（4）

考慮到對于志向氣體有〃R=c〃-G=G，。一i）,則

上式變?yōu)?/p>

pdV+Vdp=CJy—l）dT⑸

把（5）和（3）式，有

Vdp+ypdV=0（6）

（）p

dp_=r

所以有[dv）s~v⑺

若加是空氣的摩爾質(zhì)量，加+是空氣的質(zhì)量，則有

mm

夕二伺和〃=——

Vm

MJdp}(dv^

(8)

[dp)s~[dv)s[dp)

將式（7）代入（8）式，有

'型、/v

m(9)

由此可得

m__

有物態(tài)方程pV=腌RT=']R7\代入上式，得

，，6

17.

(1)。。的水與溫度為1。。。的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為

100C,這一過程是不行逆過程.為求水、熱源和整個系統(tǒng)

的病變，可以設(shè)想一個可逆過程，通過設(shè)想的可逆過程來

求不行逆過程前后的病變。

為求水的嫡變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源,

其溫度分布在0。與100C之間，令水依次從這些熱源吸

熱，使水溫由0C升至100C,在這可逆過程中

「mCpdT

小J2731

373

=mCIn

p273

=1304.6人右1

水從。c升至100c汲取的總熱量Q為

Q=mCp?AT

=4.18x105/

為求熱源的燧變，可令熱源向溫度為100℃的另一熱源放

出熱量。，這樣在這可逆過程中，熱源的病變

_4.18X105_-

△S熱源―――—-—1120.6J?K

郃總=以源+的”184九上

⑵

3231

As=fmCPdT=mCln323=703.0J-AT

iJ273T273

A『3些血=6。［61

乙J3231

mCpKT1

AS癡=一9=-=-647.1J.A：-

熱?了(

△S熱2=-'"2T=-560.3J.^-'

T?

AS,.=703.0—647.1+601.6-560.3=97.2人L

(3)為使水溫從。。升至100。而參加過程的整個系統(tǒng)的病保

持不變，應(yīng)令水與溫度分布在。。與10。C之間的一系列

熱源吸熱.水的病變?nèi)詾?1)給出.這一系列熱源的炳變之

和為

=—173"2cp"=—13。4以叱

△s熱源

J273丁

參加過程的整個系統(tǒng)的總炳變?yōu)?/p>

△SM=AS執(zhí)用+45水=0...

忠熱源ZK

18.

L表示桿的長度。桿的初始狀杰是/=。端溫度為5，l=L

T_T

端溫度為Z,溫度梯度為1(設(shè)匯>()。這是一個非平衡狀

態(tài)，通過勻稱桿中的熱傳導(dǎo)過程，最終達(dá)到具有勻稱溫度;上

的平衡狀態(tài)，將桿分為長度為4的很多小段。位于/到/+力的

T{-T2工+(

小段，初溫為1二12+1^/。這小段由初溫T變到終溫下二

后的病增加值為

=pCdl4n------

PT2+U/

2L

其中g(shù)是勻稱桿單位長度的定壓熱容量。依據(jù)炳的可加性，整個

勻稱桿的炳增加值為

AS=JdSl

空一"喑〃/

T\+T?

-l-（7；ln7；-7；ln7；）+l

=pCpLIn

2'1-2

其次章習(xí)題

2.2(3)題

由dU=TdS-PdV

(1)

令。。=0,則

處、_

由Maxwell關(guān)系(2.33-3)方人，則有

即得證。

在上式中用到Maxwell關(guān)系（2.33T）［方［一（和

（

本題⑴關(guān)系式〔防dU廣}一_飛Jd而V力\

若以（。V）為自變量時的內(nèi)能全微分為

將上式和（1）式比較，可得

2.4題

dU=dQ+dW

dW=-pdV

dQ-dU+pdV

CM+/^dV=O(1.30)式

而1

(a\

將。+至(v—))二R7代入上面的方程得

^^+-^-dV=O

TV-b

積分得

R

T(y-b^=c

2.6題

(1)若以(北3為自變量時的內(nèi)能全微分為

(1)

由dU=TdS-PdV

將以（T,n為自變量時的病的全微分代入上式，則有

as(、

dV+dT-PdV

^V)

TJv

皿、0、(2)

-PdV+T

lavXw

比較（1）和（2）式，可得

dUdS

+P=T

~dV

TdVT

空、‘dp'

將Maxwell關(guān)系式(2.33-3)則可證

SVJT

dUdp、

+P=T

~dV

T而1

（2）若以（。夕）為自變量，焙的全微分為

dH(dH、

dHdT+dp

~dTdp(1)

p/T

由dH=TdS+Vdp

將以（T,p）為自變量時的病的全微分代入上式，則有

fdS_、

=Tjdp+0dT+Vdp

SP［而1

、

"dS_dS_(2)

+Vdp+TdT

9P)TdT

比較（1）和（2）式，可得

9則可證

2.12題

對復(fù)合函數(shù)uq\P）=uq\v（j\P））

2.15題

依據(jù)熱力勢G的定義

G=U+PV-TS=H-TS

所以有：H=G+TS

由熱力勢G的微分方程：dG=-SdT+Vdp

\

dGdp

~dTP(劭)T

包、

可以得到：s二-

這樣就有：〔而

''P

GQUH

一間

=-T—f/?lnaP5/2

\"""aP(5A,,2

JR7//21-2尸

dT[[(RT廣

r、

=-T—LinaP

---R\=-R

dT[|_(/?T)5/222

-1

第三章習(xí)題

1.

將(豹。記為(豹「+”

由Maxwell關(guān)系式(2.33-4)

此)更、

、6T)P>T

因此水在過程中的炳增加值為

=一日dP

=-/（a+bP）dP

…（2-幻+渺:一尸:）］

將月=1，〃，E=1000p〃代入后，進(jìn)行單位換算即乘以

101325X10-6

3-6

a{P2—0=4.5xlO-xIOx(1OOO-l)x101325

=0.4555065375=0.456

2(鳥2_[2)=14x106x106(1()6_])x1o1325

22

=0.070927429072=0.071

△S=—a527J?mo『'?K-'

在等溫過程中水從外界汲取的熱量。為

。=八八5=—157人加。尸

2.（|第2.7題）

由題設(shè)，氣體壓強(qiáng)可表為

P=f（V）T（1）

由dF=—SdT—PdV得Maxwell關(guān)系式（2.33-3）

fdSyJ叫

lavVlarX⑵

將（i）代入有

點(diǎn)=偌)")=5

JrJvT

由于P-0,T-0故有(筮］A°,這意味著在溫度保持

不變時，該氣體的炳隨體積而增加。

5.

考慮lmol的范氏氣體，依據(jù)自由能全微分的表達(dá)式，摩爾自由

能的全微分為

df=-SmdT-PdVm(1)

故

I":P=

Iai/Iv內(nèi)-b，v°2⑵

\m/Tmm

積分得.

f(T，V,n)=—RTln(匕一b)—初+0(7)(3)

ym

由Vf00有f(T,VJ=-RT\nVfll+。(7)

可求出。CO：

又由志向氣體的摩爾自由能為

UT8m

、

f=\cVjndT^U,n.-TJ貨dT+Rln囁+S〃7。(4)

將(3)中的極限與式(4)相比較，知

Q

。(丁)=\CvmdT-T\^dT^U,〃0-75,〃。(5)

故范氏氣體的摩爾自由能為((5)式代回到(3)式)

=J金,/7-1\牛〃一火/m-—A)一/+Um0-TSIM

(6)

式(6)的/(?/)是特征函數(shù)。

范氏氣體的摩爾炳為(比較課本第50頁)

S〃一夸H與切+而”叫+S,.°

摩爾內(nèi)能為

小小同=1金〃"一;十人。

m

6題:

dU=TdS-pdV(1)

以（sn為自變量時的內(nèi)能全微分為

(2)

比較（1）和（2）式，則可得到

dU、（乳"，可得

,也即［而1

SS八

（豹尸韻

比較（1）和（2）式，也可得到

（5pyfdS}

CdVJs9又麥?zhǔn)详P(guān)系岳力=［方］

14.題

⑴因?yàn)閐F=-SdT-PdV,

(dFy

所以

dT)v

d2Fd2F

因?yàn)閐TdV~dVdT9即

/V

（2）由題設(shè)知

因?yàn)閐U=TdS-PdV

dT+T-PdV

T—

6U竺、

所以

~dVSTJv

dP_1du

而=

dTv3~dT

TduuT""-A1t

所以也）=了方一§，即丁?方一4〃

積分得u=aT4（a為常數(shù)）

15題:

系統(tǒng)在可逆等溫過程中汲取的熱量Q與其在過程中的酒增

加值滿意:

Q=TAS

在可逆等溫中磁介質(zhì)的炳隨磁場的改變率為(參見汪志誠

92-95頁：磁介質(zhì)熱力學(xué)部分)：PT—即自，V^m

(dS}_(dVy

以及一舊［二［而，可得：

fas)(cm\

若在體積為V磁介質(zhì)遵從居里定律

CV”

m------L

T

(dm}CV/

則有U4-7"

(dSyCV/

所以kri

在可逆等溫過程中磁場由0增至6時，磁介質(zhì)的病變?yōu)?/p>

AC「彳OS)”CV/2

△S=。4，

2「

汲取的熱量為

Q=T、S=F"

16.

在可逆等溫過程中系統(tǒng)汲取的熱量為

Q=TAS

由熱輻射的炳函數(shù)表達(dá)式

S=-aT3V

3

4

所以0=745=4〃尸（％_乂）

17.

對復(fù)合函數(shù)

S=S（P,V）=S（P,T（P,V））

c

求偏導(dǎo)數(shù)，有（考慮到dS=b"T）

^dv）==

PlarJpWXTWjP

因?yàn)镃pA°，TA°,所以（第］的正負(fù)取決于（今■］的正負(fù)。

18.

(HP\

由p=f(y)T,故［k

(dU\(dU\

dU=TdS-PdV=—dT+—dV

<BT)v\SV)T

得

dU=

(dPy

利用Maxwell關(guān)系方人，則有

包］-T(—

<ev>r>v

四、

所以=T./(V)-P=O

則物質(zhì)的內(nèi)能與體積無關(guān)，只是溫度T的函數(shù)

第四章習(xí)題

4.1

證明：

由題意給出

PV=PV(T,V,^,...^

得出

dPVdPVdPV

d(PV)=(亍)"+("MV+…(1)

Cz/CzVU

由G=E>W,，求得

i

dG=Z幾id4+Z4血，

ii

利用熱力勢熱力學(xué)微分方程：dG=-SdT+VdP+24%

i

比較這兩式可得

VdP=SdT+2%d〃,

i

所以，

d(pV)=PdV+VdP=SdT+PdV+Z44(2)

（1）和（2）式比較，可以得到

。—/叫/叫_丁”、

"（?。?'=（/］）7必'〃產(chǎn)4（可）小'勺（3）

依定義，我們可以由PV及其偏導(dǎo)數(shù)得到其他的熱力學(xué)函

數(shù)，

G=Z〃，4?，其中“可由PV的偏導(dǎo)數(shù)求出，

i

H=G+TS,其中G及S可以由PV的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出，

U=G+TS-PVf可由PV及其偏導(dǎo)數(shù)求出，

F=U-TS也可由PV及其偏導(dǎo)數(shù)求出。

由（2）式以下的推倒可以看出，PV是獨(dú)立變量

丁，匕必，…，4的特征函數(shù)。

4.5

證明：

多元系的內(nèi)能。=。(/，匕〃「???％)是變量V,%,…%的

一次齊函數(shù)。依據(jù)Euler定理(式4.38),有

〃F加、dU

U=>71(----)4-Vu-----(1)

Y'西T3V嗎ndVW

由

V==(2)

ii

將(2)代入(1),得出,

V1QU、fdU、

牛"=?！倍?4（而）T,皿

上式對巴的隨意取值都成立，故有

「匕(竺dU

''SV

7題:

由題意知，氣體A和氣體B的摩爾數(shù)分別為4/N,%/N其

中N為阿伏加德羅常數(shù)。對于體積和溫度不變時，單位摩爾志向

氣體的炳有（參見第27頁（1.57）式

s=GInT+7?lnv+S0(1)

“%N

氣體A初始的嫡為（留意口=1〃）

SA=^Cv\nT^R\n^+^S.

NNnxN

氣體B初始的炳為

SB*Cv'nT*R'也味

NNn2N

所以，混合前氣體總的炳為

S=sA+snR

又因?yàn)椋珹,B為同種氣體，所以混合后不構(gòu)成擴(kuò)散過程，所以混

合后的炳為總粒子數(shù)為％+%和體積為V+V=2V,則由（1）

式有

NNn2+n{N

.R

所以病變?yōu)椋紤]到％=?。?/p>

NS=S'-S=kn}In——----Fkn2In—5-----F+%)In2

〃1+&〃]+4(1)

（炳改變的范圍可參見汪志誠第159-163頁：混合志向氣體的性

質(zhì)）

4.10

解

（1）

容器是絕熱的，過程中氣體與外界不發(fā)生熱量交換。抽去隔板后

氣體體積沒有改變，與外界也沒有功的交換。由熱力學(xué)第肯定律

知，過程前后氣體的內(nèi)能沒有發(fā)生改變。志向氣體的內(nèi)能只是溫

度的函數(shù)，故氣體的溫度也不改變，仍為T。

初態(tài)時兩邊氣體滿意

4K=%RT,P2V2=n2RT⑴

式（1）可以確定兩邊氣體初態(tài)的體積。終態(tài)氣體的壓強(qiáng)P由物態(tài)

方程確定：

P(V[+V2)=(n[+n2)RT

即

Vj+匕〃1g+“2[

(2)假如氣體是不同的(汪志誠159T61頁)

混合前兩氣體的嫡分別為

S]=nxCXpInT_/Rin烏+%又皿，

§2="2c2PIn7—%RIn〃2+n2S2fM

由嫡的相加性知混合前氣體的總焙為

S=S[+S?

混合后氣體的嫡

九H

S'=〃G3nT-〃8n點(diǎn)〃+〃吊“。+"￡34-%/^：必+〃25,,,。

兩式相減得抽去隔板后端得改變?yōu)?/p>

△S=姓小)+2In〃式…)]

"iP

(3)

若為同種氣體混合，