重交線代期末試題及答案

重交線代期末試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設(shè)矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(A^T\)是：

A.\(\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}2&3\\1&4\end{bmatrix}\)

2.設(shè)\(\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{v}\)的模長(zhǎng)是：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.設(shè)\(A\)是一個(gè)\(n\)階可逆矩陣，那么\(A^{-1}\)是：

A.\(A\)的逆矩陣

B.\(A\)的伴隨矩陣

C.\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣

D.\(A\)的共軛矩陣

4.矩陣\(A\)與矩陣\(B\)等價(jià)，若\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(p\timesq\)矩陣，那么\(m+n\)的值是：

A.\(p+q\)

B.\(m+p\)

C.\(n+q\)

D.\(m+n\)

5.若\(A\)是\(n\)階對(duì)稱(chēng)矩陣，且\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)，那么\(A\)的行列式為：

A.\(\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_n\)

B.\((\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_n)^2\)

C.\(\lambda_1^2\lambda_2^2\ldots\lambda_n^2\)

D.\((\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_n)^3\)

6.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，若\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=0\)，那么\(A\)必定是：

A.非奇異的

B.奇異的

C.正定矩陣

D.負(fù)定矩陣

7.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，\(A\)的特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)互不相等，那么\(A\)必定是：

A.正定矩陣

B.負(fù)定矩陣

C.非奇異的

D.奇異的

8.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，那么\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是：

A.0

B.\(\mathbf{v}^T\mathbf{v}\)

C.\(\mathbf{v}^TA^{-1}\mathbf{v}\)

D.\(\mathbf{v}^TA^T\mathbf{v}\)

9.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，若\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=0\)，那么\(A\)必定是：

A.非奇異的

B.奇異的

C.正定矩陣

D.負(fù)定矩陣

10.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，若\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是\(\alpha\)，那么\(\mathbf{v}^TA^T\mathbf{v}\)的值是：

A.\(\alpha\)

B.\(\alpha^2\)

C.\(-\alpha\)

D.\(\frac{1}{\alpha}\)

二、填空題（每題3分，共15分）

1.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，則\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)是\(A\)的____特征值。

2.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，若\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=0\)，則\(A\)必定是____矩陣。

3.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，則\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是____。

4.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，若\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是\(\alpha\)，則\(\mathbf{v}^TA^T\mathbf{v}\)的值是____。

5.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\mathbf{v}\)是\(n\)維向量，\(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\)，若\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是\(\alpha\)，則\(\mathbf{v}^TA^{-1}\mathbf{v}\)的值是____。

三、計(jì)算題（每題5分，共10分）

1.計(jì)算矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的行列式。

2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。

四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\)，計(jì)算\(A\cdotB\)。

2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)，計(jì)算\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(A^{-1}\)也是\(n\)階可逆矩陣，并且\((A^{-1})^{-1}=A\)。

2.證明：若\(A\)是\(n\)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)非零特征值，則\(\lambda\)的幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)相等。

六、綜合題（每題15分，共30分）

1.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。

2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，求\(AB\)和\(BA\)，并判斷\(A\)和\(B\)是否可交換。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.A

解析思路：矩陣的轉(zhuǎn)置是將原矩陣的行變成列，列變成行，所以\(A^T=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}\)。

2.B

解析思路：向量的模長(zhǎng)是向量的每個(gè)分量的平方和的平方根，所以\(|\mathbf{v}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)。

3.A

解析思路：矩陣的逆矩陣定義為使得\(A\cdotA^{-1}=I\)的矩陣，其中\(zhòng)(I\)是單位矩陣。

4.A

解析思路：矩陣等價(jià)意味著兩個(gè)矩陣的秩相等，因此它們的階數(shù)之和相等。

5.A

解析思路：矩陣的行列式等于其特征值的乘積。

6.B

解析思路：如果\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=0\)，那么\(A\)的列向量正交，因此\(A\)必定是奇異的。

7.A

解析思路：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性質(zhì)意味著它有正的特征值。

8.B

解析思路：向量的模長(zhǎng)平方等于其與自身的點(diǎn)積。

9.B

解析思路：如果\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=0\)，那么\(A\)必定是奇異的，因?yàn)閈(A\)的列向量正交。

10.A

解析思路：如果\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是\(\alpha\)，那么\(\mathbf{v}^TA^T\mathbf{v}\)的值也是\(\alpha\)，因?yàn)閈(A\)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。

二、填空題（每題3分，共15分）

1.最大

解析思路：\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是\(A\)的最大特征值，因?yàn)閈(\mathbf{v}\)是對(duì)應(yīng)的特征向量。

2.奇異

解析思路：如果\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=0\)，那么\(A\)必定是奇異的，因?yàn)閈(\mathbf{v}\)是非零向量。

3.\(\mathbf{v}^T\mathbf{v}\)

解析思路：向量的模長(zhǎng)平方等于其與自身的點(diǎn)積。

4.\(\alpha\)

解析思路：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)。

5.\(\alpha^2\)

解析思路：如果\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}\)的值是\(\alpha\)，那么\(\mathbf{v}^TA^T\mathbf{v}\)的值也是\(\alpha\)。

三、計(jì)算題（每題5分，共10分）

1.解：\(A\cdotB=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2&1\\3&2\\7&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20&23\\54&61\\90&103\end{bmatrix}\)。

2.解：\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}^T\cdot\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=1\cdot1+2\cdot4+3\cdot7=1+8+21=30\)。

四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.解：\(A\cdotB=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2&1\\3&2\\7&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20&23\\54&61\\90&103\end{bmatrix}\)。

2.解：\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}^T\cdot\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=1\cdot1+2\cdot4+3\cdot7=1+8+21=30\)。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.解：因?yàn)閈(A\)是可逆矩陣，所以\(A\cdotA^{-1}=I\)。兩邊取轉(zhuǎn)置得\((A^{-1})^TA^T=I\)，所以\(A^{-1}\)也是可逆矩陣，且\((A^{-1})^{-1}=A\)。

2.解：因?yàn)閈(A\)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以\(A=A^T\)。設(shè)\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)非零特征值，\(\mathbf{v}\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，那么\(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\)。取轉(zhuǎn)置得\(\mathbf{v}^TA^T=\mathbf{v}^T\lambda\mathbf{v}\)，因?yàn)閈(A=A^T\)，所以\(\mathbf{v}^TA\mathbf{v}=\mathbf{v}^T\lambda\mathbf{v}\)，所以\(\lambda\)的幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)相等。