2025屆上海崇明區(qū)高考二模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)上海市崇明區(qū)2025屆高三二模數(shù)學(xué)試卷2025.03一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1．不等式的解為．2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則．3．已知全集，集合，則．4．求直線與直線的夾角為.5．已知，則．6．函數(shù)的最小正周期是，則．7．某次數(shù)學(xué)考試后，隨機(jī)選取14位學(xué)生的成績(jī)，得到如下莖葉圖，其中個(gè)數(shù)部分作為“葉”，百位數(shù)和十位數(shù)作為“莖”，若該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是87，則x的值為．8．在中，若，其面積為，則．9．若，則.10．已知，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，以O(shè)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)作拋物線交雙曲線于P，且，則．12．已知集合M中的任一個(gè)元素都是整數(shù)，當(dāng)存在整數(shù)且時(shí)，稱M為“間斷整數(shù)集”．集合的所有子集中，是“間斷整數(shù)集”的個(gè)數(shù)為．二、選擇題13．若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．14．已知一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．15．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)），設(shè)事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A與事件B是獨(dú)立的，則n的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．216．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，周期數(shù)列滿足，若集合，n是正整數(shù)中恰有三個(gè)元素，則數(shù)列的周期T的取值不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.18．已知．(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)是偶函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若且，解關(guān)于x的不等式．19．某區(qū)2025年3月31日至4月13日的天氣預(yù)報(bào)如圖所示．(1)從3月31日至4月13日某天開(kāi)始，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天，求這三天中至少有兩天是陣雨的概率；(2)根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，該區(qū)4月14日的最低氣溫是9，溫差是指一段時(shí)間內(nèi)最高溫度與最低溫度之間的差值，例如3月31日的最高溫度為17，最低溫度為9，當(dāng)天的溫差為8記4月1日至4日這4天溫差的方差為，4月11日至14日這4天溫差的方差為，若，求4月14日天氣預(yù)報(bào)的最高氣溫；(3)從3月31日至4月13日中隨機(jī)抽取兩天，用X表示一天溫差不高于9的天數(shù)，求X的分布列及期望．20．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)位于第一象限，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)坐標(biāo)為，且點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，求原點(diǎn)到直線的距離；(3)若拋物線上存在定點(diǎn)使得滿足題意的點(diǎn)、都有，求、滿足的關(guān)系式．21．已知函數(shù)，P為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)．若函數(shù)的圖像上存在與P不同的一點(diǎn)Q，使得直線PQ是函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線，則稱點(diǎn)P具有性質(zhì)．(1)若，判斷點(diǎn)是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若，證明：線段上的所有點(diǎn)均具有性質(zhì)；(3)若，證明：“點(diǎn)具有性質(zhì)”的充要條件是“”．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．【分析】結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法，以及區(qū)間的定義，即可求解．【詳解】解：，即，解得，故所求解集為．故答案為：．2．#【分析】由復(fù)數(shù)的乘法即可求得答案.【詳解】故答案為：3．【分析】由集合運(yùn)算求出，然后得到.【詳解】，∴，故答案為：4．【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【詳解】解：直線的斜率不存在，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故直線與直線的夾角為，故答案為：．5．【分析】寫出坐標(biāo)，由坐標(biāo)得到.【詳解】，∴.故答案為：6．【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，則.故答案為：.7．7【分析】根據(jù)題意結(jié)合百分位數(shù)的概念運(yùn)算求解.【詳解】，則該組數(shù)據(jù)從小到大排列后的第四位數(shù)是87，即，故答案為：7.8．【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出的值，再結(jié)合余弦定理求出的值，進(jìn)而求出的值.【詳解】已知，，代入面積公式可得：則，可得：.根據(jù)余弦定理為，可得則.即，把代入可得：，即.由于為邊長(zhǎng)，可得.故答案為：.9．##【分析】令求解即可.【詳解】令，則，即.故答案為：10．【分析】分析分段函數(shù)的單調(diào)性，由題意得到對(duì)應(yīng)結(jié)論，然后建立不等式組，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】∵二次函數(shù)開(kāi)口向下，是極大值，一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)時(shí)單調(diào)函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)，要想函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則這兩個(gè)極值點(diǎn)為和，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴在上遞增.∴，∴.故答案為：11．【分析】由拋物線得定義過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，可構(gòu)造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接著利用雙曲線的定義可求，最后利用共焦點(diǎn)求得.【詳解】由題意可知，，如圖，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，

則，得，在中由余弦定理可得，，即，則由雙曲線的定義可得，得，則故答案為：12．968【分析】根據(jù)子集中元素的個(gè)數(shù)分類，每一類都利用組合數(shù)計(jì)數(shù)，再剔除不滿足定義的子集，最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求值即可.【詳解】由題意，滿足“間斷整數(shù)集”定義的子集至少有2個(gè)元素，至多有9個(gè)元素，按子集中元素的個(gè)數(shù)分類，①當(dāng)元素個(gè)數(shù)為2時(shí)，不滿足定義的子集有：，共9個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，②當(dāng)元素個(gè)數(shù)為3時(shí)，不滿足定義的子集有：，共8個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，③當(dāng)元素個(gè)數(shù)為4時(shí)，不滿足定義的子集有：，共7個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，④當(dāng)元素個(gè)數(shù)為5時(shí)，不滿足定義的子集有：，共6個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，⑤當(dāng)元素個(gè)數(shù)為6時(shí)，不滿足定義的子集有：，共5個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，⑥當(dāng)元素個(gè)數(shù)為7時(shí)，不滿足定義的子集有：，共4個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，⑦當(dāng)元素個(gè)數(shù)為8時(shí)，不滿足定義的子集有：，共3個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，⑧當(dāng)元素個(gè)數(shù)為9時(shí)，不滿足定義的子集有：，共2個(gè)；此時(shí)滿足定義的子集有個(gè)，綜上所述，滿足題意的子集共有個(gè).故答案為：968.13．D【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷AD選項(xiàng)，利用特殊值法可判斷BC選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨取，，，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知，，由不等式的基本性質(zhì)可得，D對(duì).故選：D.14．A【分析】先求出母線長(zhǎng)和底面圓的半徑，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】由題意可知，圓錐的母線長(zhǎng)和底面圓的直徑均為，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A.15．C【分析】先分別求出事件、事件以及事件發(fā)生的概率，再根據(jù)事件與事件獨(dú)立的性質(zhì)來(lái)求解的值.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，所有可能的結(jié)果有種.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其對(duì)立事件為“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情況有種，所以.根據(jù)對(duì)立事件概率之和為，可得.事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中沒(méi)有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”.“次中沒(méi)有正面朝上”的情況有種；“次中有一次正面朝上”，從次中選次為正面朝上，有種情況.所以事件包含的情況共有種，則.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有種情況，所以.因?yàn)槭录c事件是獨(dú)立的，所以，即.可得：.展開(kāi)得：.即.當(dāng)時(shí)，，，等式不成立；當(dāng)時(shí)，，，等式成立；當(dāng)時(shí)，，，等式不成立.所以.故選：C.16．D【分析】現(xiàn)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和周期數(shù)列的定義，得到，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】,取，則公差，當(dāng)，是，此時(shí)角度序列為：，取，則對(duì)應(yīng)的余弦值為，此時(shí)，三個(gè)元素合題意；當(dāng)，是，此時(shí)角度序列為：，取，則對(duì)應(yīng)的余弦值為，又，此時(shí)也是三個(gè)元素，合題意；當(dāng)，是，此時(shí)角度序列為：，取，則對(duì)應(yīng)的余弦值為，此時(shí)也是三個(gè)元素，合題意；當(dāng)，是，此時(shí)角度序列為：，由于是質(zhì)數(shù)，角度間隔無(wú)法分解為更小的對(duì)稱單元，余弦值的對(duì)稱性不足以將個(gè)不同角度映射為個(gè)不同值，故選：D.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）由底面為正方形，得，又平面，于是平面，而平面，則，同理，又平面，所以平面.（2）由（1）得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，同理，在中，，因此，在直角中，，由（1）知平面，則平面，于是點(diǎn)到平面的距離為設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．(1)存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是偶函數(shù)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可求解.（2）先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域列出不等式組；再結(jié)合且，分類討論即可求解.【詳解】（1）存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是偶函數(shù).要使函數(shù)有意義，須滿足，即，顯然，即，函數(shù)的定義域.當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)必然存在且，此時(shí)函數(shù)不是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于任意的，都有，并且因此函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是偶函數(shù)（2）由，得所以且①．由①得，.因?yàn)榍遥援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19．(1)(2)18(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式，用事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)除以總樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算概率；（2）根據(jù)方差公式列出關(guān)于的方程，然后求解；（3）根據(jù)隨機(jī)變量的分布列，利用期望公式計(jì)算期望.【詳解】（1）設(shè)“從3月31日至4月13日某天開(kāi)始，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天，這三天中至少有兩天是陣雨”為事件A，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天共有12個(gè)樣本點(diǎn)，事件A共有4個(gè)樣本點(diǎn)，所以（2）4月1日至4日這4天溫差分別為9、8、9、9，因此，設(shè)4月14日的溫差為x，則4月11日至14日這4天溫差分別為8、9°C、8、x，因此，解得，因此，4月11日這天最高氣溫是18．（3）從3月31日至4月13日，一天溫差不超過(guò)9的共有11天，高于9的共有3天X可能取值為0，1，2.，，隨機(jī)變量X的分布列為：X012P隨機(jī)變量X的期望.20．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，利用拋物線的定義可求出點(diǎn)的值，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，根據(jù)點(diǎn)在軸上，可求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果；（3）分析可知，直線斜率必然存在，設(shè)其方程為，設(shè)點(diǎn)、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，消去即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于它到拋物線的準(zhǔn)線的距離，所以，則，所以，故點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）設(shè)，則，由題意，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，直線的方程為，即直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離為.（3）設(shè)，若直線的斜率不存在時(shí)，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線斜率必然存在，設(shè)其方程為，代入中，得，設(shè)、，則，，因?yàn)?，且，所以，顯然，，則，所以故，即．由題意，得，因此.21．(1)點(diǎn)具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，然后寫出經(jīng)過(guò)的切線方程，將代入求解，即可判斷；（2）設(shè)，然后寫出經(jīng)過(guò)的切線方程，按是否在分類討論，代入切線方程，得到關(guān)于的方程，證明其有解即可；（3）設(shè)，然后寫出經(jīng)過(guò)的切線方程，然后按照充分必要性的推出關(guān)系，分別證明即可.【詳解】（1）點(diǎn)具有性質(zhì)，理由如下：設(shè)，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)Q處的切線方程為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：，所以或2即函數(shù)的圖像上存在與P不同的一點(diǎn)，使得直線PQ是函數(shù)圖像在點(diǎn)Q處的切線，故點(diǎn)具有性質(zhì)；（2）證明：設(shè)函數(shù)的圖像在Q處的切線方程為：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，將代入①式，得：②令，則所以關(guān)于q的方程②必有實(shí)數(shù)解，且故函數(shù)的圖像上存在與P不同的一點(diǎn)Q，使得直線PQ是函數(shù)圖像在點(diǎn)Q處的切線，即點(diǎn)具有性質(zhì)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P不在函數(shù)的圖