2025版數(shù)學(xué)中考《二輪總復(fù)習(xí)微專(zhuān)題學(xué)案》二輪講義15 二次函數(shù)綜合題含答案或解析

微專(zhuān)題15二次函數(shù)綜合題類(lèi)型一二次函數(shù)與線(xiàn)段有關(guān)問(wèn)題一階設(shè)問(wèn)突破 方法解讀1.求線(xiàn)段長(zhǎng)(1)與x軸垂直的線(xiàn)段的長(zhǎng)：縱坐標(biāo)相減(上減下)；(2)與y軸垂直的線(xiàn)段的長(zhǎng)：橫坐標(biāo)相減(右減左).2.線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系問(wèn)題若兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)均可計(jì)算或表示出來(lái)，直接根據(jù)線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系列方程即可求解，若兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)無(wú)法直接計(jì)算或表示出來(lái)，可通過(guò)x軸或y軸的平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，將線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系列方程求解.3.利用二次函數(shù)性質(zhì)求線(xiàn)段最值(1)求豎直線(xiàn)段的最值第一步：設(shè)M(t，at2＋bt＋c)，則N(t，mt＋n)；第二步：表示線(xiàn)段MN的長(zhǎng)，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；第三步：化簡(jiǎn)MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值；(2)求斜線(xiàn)段的最值利用銳角三角函數(shù)化斜為直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根據(jù)(1)的步驟解題即可.4.利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求線(xiàn)段和最值及點(diǎn)坐標(biāo)，即“將軍飲馬”問(wèn)題(求PA＋PB的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo))；(1)求點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)連接AC交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P滿(mǎn)足要求，從而可求出PA＋PB的最小值；(3)用待定系數(shù)法求直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；(4)將l對(duì)應(yīng)的x的值代入AC的函數(shù)表達(dá)式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).例1如圖①，已知二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.例1題圖①一、表示點(diǎn)坐標(biāo)(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；二、表示線(xiàn)段長(zhǎng)(2)PD的長(zhǎng)為，QD的長(zhǎng)為，PQ的長(zhǎng)為；(3)點(diǎn)P到對(duì)稱(chēng)軸的距離為，CQ的長(zhǎng)為；三、與線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的計(jì)算(4)如圖②，若PQ＝DQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；例1題圖②(5)如圖③，若AQ＝2CQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；[2020廣東25(2)題考查]例1題圖③四、線(xiàn)段最值(6)如圖④，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)AC于M點(diǎn)，求MQ的最大值；例1題圖④(7)如圖⑤，點(diǎn)G是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△GBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求GCGB例1題圖⑤二階綜合訓(xùn)練 1.(2024佛山二模)如圖，拋物線(xiàn)y＝x2＋bx＋c與直線(xiàn)y＝kx＋m(k≠0)相交于點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)，直線(xiàn)AB與x軸相交于點(diǎn)C.(1)求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是拋物線(xiàn)在直線(xiàn)AB下方部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥x軸交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥y軸交AB于點(diǎn)F，求DF－DE的最大值.第1題圖類(lèi)型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問(wèn)題一階設(shè)問(wèn)突破 方法解讀求幾何圖形面積方法一：直接公式法一邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)，S△ABC＝12AB·h方法二：分割法三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12BD·(AE＋CF)＝12BD·(yC－y方法三：補(bǔ)全法三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCC.注：對(duì)于四邊形面積計(jì)算，可連接一條對(duì)角線(xiàn)將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積之和求解.例2如圖，拋物線(xiàn)y＝－x2＋3x＋4與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是第一象限拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t.一、求三角形、四邊形面積(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D位于拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)處時(shí)，連接OD，CD，求△OCD的面積；例2題圖①(2)如圖②，若t＝2，連接AC，CD，BD，求四邊形ABDC的面積；例2題圖②二、面積定值及最值(3)如圖③，連接AD，BD，若△ABD的面積為15，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；例2題圖③方法解讀利用二次函數(shù)性質(zhì)求面積最值：用同一未知數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所求圖形的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.(4)核心設(shè)問(wèn)如圖④，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CP∥BD交x軸于點(diǎn)P，連接PD，求△BPD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；[2022廣東23(2)題考查]例2題圖④三、面積等值、倍分關(guān)系(5)如圖⑤，連接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求點(diǎn)D的坐標(biāo).例2題圖⑤二階綜合訓(xùn)練 1.(2024福建)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A(－2，0)，C(0，－2).(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線(xiàn)段PC交x軸于點(diǎn)D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).第1題圖

類(lèi)型一二次函數(shù)與線(xiàn)段有關(guān)問(wèn)題一階設(shè)問(wèn)突破例1解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)；【解法提示】令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴點(diǎn)A(－3，0)，點(diǎn)B(1，0)；令x＝0，得y＝3，∴點(diǎn)C(0，3)；設(shè)直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)A(－3，0)，點(diǎn)C(0，3)代入y＝kx＋b中，得－3k＋b=0b=3，解得k=1b=3，∴直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y＝x＋3.∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為－m2－2m＋3，∵PQ⊥x軸，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為m＋3，∵PD⊥x(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；(3)｜m＋1｜，－2m；(4)由(2)可知QD的長(zhǎng)為m＋3，PQ的長(zhǎng)為－m2－3m，∵PQ＝DQ，∴－m2－3m＝m＋3，解得m＝－1或m＝－3，∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，∴m的值為－1，∴P(－1，4)；(5)∵PD∥y軸，∴AQAC＝AD∵AQ＝2CQ，∴AQAC＝2∴ADAO＝2∵A(－3，0)，∴AO＝3，∴AD＝2，OD＝1，∴m＝－1，此時(shí)－m2－2m＋3＝4，∴P(－1，4)，(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x軸，∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，∵PD⊥x軸，∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，∴△PMQ為等腰直角三角形，∴MQ＝2PQ，∵PQ＝－m2－3m＝－(m＋32)2＋94，－1＜0，－3＜∴PQ的最大值為94∴MQ的最大值為92(7)∵y＝－x2－2x＋3，∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－－2如解圖，連接AC，交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸l于點(diǎn)G，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得GA＝GB，∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即當(dāng)A，G，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，GB＋GC取得最小值，此時(shí)△GBC周長(zhǎng)最小.由(1)得直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y＝x＋3，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝2，∴G(－1，2).∵B(1，0)，C(0，3)，∴GCGB＝12＋例1題解圖二階綜合訓(xùn)練1.解：(1)由題意，將點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，得c＝－425+5∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝x2－3x－4.將點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，得m＝－45k∴直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y＝2x－4；(2)由題意，設(shè)D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，令2x－4＝a2－3a－4，得x＝12(a2－3a∴E(12a2－32a，a2－3令x＝a，則y＝2a－4，∴F(a，2a－4).∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－(12a2－32＝－12a2＋5＝－12(a－52)2＋∵－12＜0，0＜a∴當(dāng)a＝52時(shí)，DF－DE取得最大值，最大值為25類(lèi)型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問(wèn)題一階設(shè)問(wèn)突破例2解：(1)令x＝0，得y＝4，∴C(0，4)，∴OC＝4，∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－32)2＋25∴D(32，25∴S△OCD＝12OC·｜xD｜＝12×4×(2)如解圖①，連接BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，由(1)可知，C(0，4)，∴AB＝5，OB＝OC＝4，設(shè)BC所在直線(xiàn)的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，將B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，得4k＋b=0b=4∴BC所在直線(xiàn)的表達(dá)式為y＝－x＋4，∴當(dāng)t＝2時(shí)，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，∴D(2，6)，E(2，2)，∴DE＝4，∴S四邊形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝12×5×4＋1例2題解圖①(3)由(2)可知，AB＝5，∴S△ABD＝12AB·yD＝12×5×(－t2＋3解得t＝1或t＝2.當(dāng)t＝1時(shí)，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；當(dāng)t＝2時(shí)，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，6)或(2，6)；(4)如解圖②，連接BC，CD，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，∵CP∥BD，∴S△BPD＝S△BCD＝S△BDQ＋S△CDQ＝12DQ·OB由(2)可知，BC所在直線(xiàn)的解析式為y＝－x＋4，∴Q(t，－t＋4)，∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，∴S△BPD＝12(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2∵－2＜0，0＜t＜4，∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△BPD有最大值，最大值為8，此時(shí)－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，6)；例2題解圖②(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，∵S△BOD＝12OB·yD＝12×4×(－t2＋3S△COD＝12OC·xD＝12×4∵S△BOD＝S△COD，∴12×4×(－t2＋3t＋4)＝12×4∴－t2＋3t＋4＝t，解得t＝1＋5或t＝1－5，∵0＜t＜4，∴t＝1＋5，此時(shí)－t2＋3t＋4＝t＝1＋5，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1＋