《備考指南一輪 數(shù)學 》課件-第8章 第2講

第八章第2講[A級基礎達標]1．l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則()A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A2．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行【答案】C3．(2019年銀川一中模擬)已知P是△ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB，PC的中點，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】A4．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c【答案】C5．如圖所示是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個是()

ABCD【答案】D6．如果兩條直線a和b沒有公共點，那么a與b的位置關系是________．【答案】平行或異面7．(2019年西安模擬)如圖，四邊形ABCD和四邊形ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．eq\f(π,3)【解析】如圖，將原圖補成正方體ABCD－QGHP，連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).8．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點P是平面AA1D1D的中心，點Q是上底面A1B1C1D1上一點，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ【答案】1【解析】由PQ∥平面AA1B1B知Q在過點P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知點Q在A1D1，B1C1中點的連線MN上，故PQ的最小值為PM＝eq\f(1,2)AA1＝1．9．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).10．已知正方體ABCD－A1B1C1D(1)求直線AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求直線A1C1與EF所成角的大小解：(1)如圖，連接B1C，AB1，則B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角．因為AB1＝AC＝B1C，所以∠B1所以直線A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD－A1B1C1D1AC⊥BD，AC∥A1C1因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以EF⊥AC．所以EF⊥A1C所以直線A1C1與EF[B級能力提升]11．以下四個命題中，①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確；②從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結論不正確；③不正確；④因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形，④不正確．12．(多選)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結論中正確的是()A．AC⊥AFB．AC⊥平面BEFC．AB與平面BEF所成角是45°D．△AEF面積與△BEF的面積相等【答案】BC【解析】連接BD，則AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1．對于A項，AC與AF不垂直，假設AC⊥AF，又AC⊥EF，且AF∩EF＝F，則AC⊥平面AEF，又AC⊥平面BB1D1D，所以平面AEF∥平面BB1D1D，這顯然不成立，即假設不成立，故A錯誤；對于B項，由AC⊥平面BB1D1D，判斷AC⊥平面BEF，故B正確；對于C項，由AC⊥平面BB1D1D，則垂足O為AC與BD的交點，所以∠ABD是直線AB與平面BEF所成的角，且∠ABD＝45°，故C正確；對于D項，點A、B到直線B1D1的距離不相等，所以△AEF的面積與△BEF的面積不相等，故D錯誤．故選BC．13．已知異面直線a與b所成的角為＝70°，P為空間一點，則過P點與a和b所成的角都是45°的直線有________條．【答案】2【解析】平移a，b過點P，過P點作直線a，b夾角的平分線c，這時c與a，b所成的角均為35°，過點P作直線d垂直a和b，這時d與a，b所成的角均為90°，直線從c向兩邊轉到d時與a，b所成的角單調(diào)遞增，必經(jīng)過45°，因為可向兩邊旋轉，所以有2條．14．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為________．【答案】90°【解析】如圖，延長DA至E，使AE＝DA，連接PE，BE.因為∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，所以DE＝BC，DE∥BC．所以四邊形CBED為平行四邊形，故CD∥BE，則∠PBE為異面直線CD與PB所成的角．在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，得PE＝eq\r(PA2＋AE2－2PA·AEcos∠PAE)＝eq\r(3)AE.在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，所以BE＝eq\r(2)AE.因為△PAB是等邊三角形，所以PB＝AB＝AE，所以PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，所以∠PBE＝90°.15．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側棱A1A⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB(1)當點M在何位置時，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關系，說明理由；并求BM與EF所成角的余弦值．解：(1)如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.因為側棱A1A⊥底面ABC，所以C1C⊥底面ABC，所以C1C又因為EC＝2FB＝2，所以OM∥EC∥FB，且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB．所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF.因為OF?平面AEF，BM?平面AEF，故BM∥平面AEF，此時點M為AC的中點．(2)由(1)知，BM與EF異面，∠OFE就是異面直線BM與EF所成的角或其補角．易求得AF＝EF＝eq\r(5)，OF＝eq\r(3)，EO＝eq\r(2)，又O為AE的中點，所以OF⊥AE.所以cos∠OFE＝eq\f(OF,EF)＝eq\f(\r(3),\r(5))＝eq\f(\r(15),5).所以BM與EF所成的角的余弦值為eq\f(\r(15),5).16．如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．(1)求四棱錐O－ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA中點，所以ME∥OC，則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角．由已知可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，所以DE2＋EM2＝MD2，所以△DEM為直角三角形，且∠DEM＝90°.所以tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).所以異面直線OC與MD所成角的正切值為eq\f(\r(6),3).[C級創(chuàng)新突破]17．(2020年山東模擬)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱(直三棱柱為側棱垂直于底面的三棱柱)．如圖，棱柱ABC－A1B1C1為一個“塹堵”，底面ABC的三邊中的最長邊與最短邊分別為AB，AC，且AB＝5，AC＝3，點P在棱BB1上，且PC⊥PC1，則當△APC1的面積取最小值時，異面直線AA1與PC1所成角的余弦值為________【答案】eq\f(2,3)【解析】設BB1＝x，BP＝y(tǒng)，則B1P＝x－y.由題意可得BC＝4，所以PC2＝BC2＋BP2＝16＋y2，PCeq\o\al(2,1)＝B1Ceq\o\al(2,1)＋B1P2＝16＋(x－y)2.由PC2＋PCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)，得16＋y2＋16＋(x－y)2＝x2，整理得x＝eq\f(y2＋16,y).過點P作PQ⊥CC1交于點Q，再過點Q作QM⊥AC1交于點M，則PM⊥AC1，即PM為△APC1的邊AC1上的高．因為sin∠AC1C＝eq\f(MQ,C1Q)＝eq\f(AC,AC1)，所以MQ＝eq\f(AC·C1Q,AC1)＝eq\f(3x－y,\r(9＋x2))，所以PM2＝PQ2＋MQ2＝16＋eq\f(9x－y2,9＋x2)，S2△APC1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·PM·AC1))2＝eq\f(1,4)·PM2·ACeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(16＋\f(9x－y2,9＋x2)))·(9＋x2)＝eq\f(1,4)·[16(9＋x2)＋9(x－y)2]．把x＝eq\f(y2＋16,y)代入上式，化簡得S2△APC1＝eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16y2＋\f(25×162,y2)＋656))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2·4y·,\f(5×16,y)＋656))，當且僅當4y＝eq\f(5×16,y)，即x＝eq\f(18,\r(5))，y＝2eq\r(5)時，等號成立，此時△APC1的面積取得最小值．因為AA1∥BB1，所以∠B1PC1即為異面直線AA1與PC1所成角．此時sin∠B1PC1＝eq\f(B1C1,PC1)＝eq\f(4,\r(16＋x－y2))＝eq\f(\r(5),3)，所以cos∠B1PC1＝eq\f(2,3)，即異面直線AA1與PC1所成角的余弦值為eq\f(2,3).18．(2020年六安期末)已知正四棱錐P－ABCD的表面積為2，記正四棱錐的高為h.(1)試用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值；(2)當V取最大值時，求異面直線AB和PD所成角的正切值．解：(1)設正四棱錐的底面邊長為a，側面三角形的高為H，則a2＋2aH＝2，所以H＝eq\f(1,a)－eq\f(a,2).又H2＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2，所以a＝eq\f(1,\r(1＋h2)).所以正四棱錐體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(h,31＋h2)＝eq\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(1,h)))