2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第十章 復(fù)數(shù) 10.3 復(fù)數(shù)的三角形式及其運算（教師用書）教學(xué)設(shè)計 新人教B版必修第四冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章復(fù)數(shù)10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運算（教師用書）教學(xué)設(shè)計新人教B版必修第四冊學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具設(shè)計思路嗨，同學(xué)們，今天我們要一起探索復(fù)數(shù)的另一個精彩世界——三角形式及其運算。這節(jié)課，我會帶你們從復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式出發(fā)，通過引入極坐標(biāo)的概念，揭開復(fù)數(shù)三角形式的神秘面紗。我們將動手畫出復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的位置，然后用角度和模長來描述它們，這樣的表示方法不僅形象，而且計算起來更簡單呢！讓我們一起期待這個奇妙的數(shù)學(xué)旅程吧！????核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。通過引入復(fù)數(shù)的三角形式，學(xué)生將學(xué)會用幾何語言描述復(fù)數(shù)，提升空間想象能力；通過復(fù)數(shù)運算的三角形式，鍛煉學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力，同時培養(yǎng)他們運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生們在進入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的基本概念，包括復(fù)數(shù)的加減乘除運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義。他們應(yīng)該已經(jīng)能夠?qū)?fù)數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)形式\(a+bi\)，并能夠進行基本的復(fù)數(shù)運算。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高中學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣因人而異，但普遍對復(fù)數(shù)這一抽象概念充滿好奇。他們具備一定的抽象思維能力，能夠通過觀察和實驗來理解新概念。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好直觀的圖形表示，有的則更傾向于符號推理和公式運算。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在理解復(fù)數(shù)的三角形式時，學(xué)生可能會遇到將復(fù)數(shù)從標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)換為三角形式以及進行三角形式運算的困難。此外，復(fù)數(shù)的幾何意義和三角表示之間的轉(zhuǎn)換可能會讓學(xué)生感到抽象，需要通過具體的實例和練習(xí)來加深理解。部分學(xué)生可能在處理復(fù)數(shù)運算中的三角函數(shù)時感到不適應(yīng)，需要額外的指導(dǎo)和支持。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生人手一本新教材《高中數(shù)學(xué)》新人教B版必修第四冊，并準(zhǔn)備相應(yīng)的教學(xué)參考資料。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與復(fù)數(shù)三角形式相關(guān)的圖片，如單位圓、復(fù)平面上的點，以及復(fù)數(shù)三角形式的轉(zhuǎn)換圖示，并精選相關(guān)教學(xué)視頻輔助理解。

3.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，提供白板和標(biāo)記筆，以便進行互動和板書展示。教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示生活中常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，如地球自轉(zhuǎn)、鐘表指針的運動等，引導(dǎo)學(xué)生思考旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系。

2.提出問題：如果將旋轉(zhuǎn)應(yīng)用于復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)會呈現(xiàn)怎樣的形態(tài)？如何用角度和長度來描述復(fù)數(shù)？

3.引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)數(shù)的基本概念和運算，為三角形式的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

二、講授新課（15分鐘）

1.介紹復(fù)數(shù)的三角形式：將復(fù)數(shù)表示為\(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)的形式，其中\(zhòng)(r\)為模長，\(\theta\)為輻角。

2.講解復(fù)數(shù)三角形式的轉(zhuǎn)換方法：從標(biāo)準(zhǔn)形式\(a+bi\)轉(zhuǎn)換為三角形式，以及從三角形式轉(zhuǎn)換回標(biāo)準(zhǔn)形式。

3.通過實例演示復(fù)數(shù)三角形式的運算，如乘法、除法等，讓學(xué)生理解運算規(guī)律。

三、鞏固練習(xí)（15分鐘）

1.分組討論：將學(xué)生分成小組，每組完成一道復(fù)數(shù)三角形式的轉(zhuǎn)換和運算題目，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

2.全班交流：每組派代表展示解題過程，其他同學(xué)補充或糾正，教師點評并總結(jié)。

四、課堂提問（5分鐘）

1.提問：如何判斷一個復(fù)數(shù)是否在單位圓上？

2.提問：復(fù)數(shù)三角形式的運算有什么特點？

3.提問：如何利用復(fù)數(shù)三角形式解決實際問題？

五、師生互動環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.教師提問：如果已知一個復(fù)數(shù)的模長和輻角，如何求出它的實部和虛部？

2.學(xué)生回答：根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的定義，可以計算出實部\(a=r\cos\theta\)和虛部\(b=r\sin\theta\)。

3.教師總結(jié)：復(fù)數(shù)三角形式在解決實際問題中具有重要作用，如計算復(fù)數(shù)的模長、輻角等。

六、核心素養(yǎng)拓展（5分鐘）

1.引導(dǎo)學(xué)生思考：復(fù)數(shù)三角形式在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有哪些應(yīng)用？

2.學(xué)生分享：例如，在電子技術(shù)中，復(fù)數(shù)三角形式可以描述電路中的電壓、電流等物理量。

3.教師總結(jié)：復(fù)數(shù)三角形式是數(shù)學(xué)與實際應(yīng)用相結(jié)合的典范，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

七、總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘）

1.總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強調(diào)復(fù)數(shù)三角形式的重要性和應(yīng)用價值。

2.布置作業(yè)：完成教材中的相關(guān)練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識。

教學(xué)過程設(shè)計總用時：45分鐘拓展與延伸六、拓展與延伸

1.**復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示與幾何應(yīng)用**：

-學(xué)生可以閱讀關(guān)于極坐標(biāo)系統(tǒng)的內(nèi)容，了解極坐標(biāo)在復(fù)數(shù)表示中的應(yīng)用。通過極坐標(biāo)，復(fù)數(shù)可以直觀地表示為單位圓上的點，其模長為該點到原點的距離，輻角為該點與正實軸的夾角。這一概念在信號處理、電磁學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

-鼓勵學(xué)生嘗試?yán)L制復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)圖，并探究如何從極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)換回標(biāo)準(zhǔn)形式。

2.**復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算性質(zhì)**：

-提供一些復(fù)數(shù)三角形式乘除運算的性質(zhì)，如乘法時輻角相加，模長相乘；除法時輻角相減，模長相除。學(xué)生可以通過實際計算來驗證這些性質(zhì)，并探討其在實際問題中的應(yīng)用。

-學(xué)生可以嘗試解決一些涉及復(fù)數(shù)三角形式乘除運算的實際問題，如電路分析中的阻抗計算。

3.**復(fù)數(shù)的三角形式與復(fù)平面上的旋轉(zhuǎn)**：

-通過閱讀相關(guān)材料，學(xué)生可以學(xué)習(xí)到復(fù)數(shù)的三角形式與復(fù)平面上的旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系。例如，一個復(fù)數(shù)乘以\(e^{i\theta}\)（其中\(zhòng)(e\)是自然對數(shù)的底數(shù)），其輻角增加\(\theta\)，模長保持不變。

-學(xué)生可以繪制一系列旋轉(zhuǎn)后的復(fù)數(shù)圖像，觀察旋轉(zhuǎn)角度與復(fù)數(shù)變化之間的關(guān)系。

4.**復(fù)數(shù)的三角形式在解析幾何中的應(yīng)用**：

-探討復(fù)數(shù)三角形式在解析幾何中的應(yīng)用，如如何用復(fù)數(shù)表示圓、橢圓等圓錐曲線。

-學(xué)生可以嘗試將解析幾何中的曲線方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)形式，并分析其幾何意義。

5.**復(fù)數(shù)三角形式的數(shù)學(xué)競賽問題**：

-收集一些涉及復(fù)數(shù)三角形式的數(shù)學(xué)競賽題目，讓學(xué)生在課后進行練習(xí)。這些題目可能包括復(fù)數(shù)的三角形式與復(fù)平面上的軌跡、復(fù)數(shù)三角形式的極值問題等。

-通過解決這些競賽題目，學(xué)生可以提升自己的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧。

6.**復(fù)數(shù)三角形式在物理中的應(yīng)用**：

-探究復(fù)數(shù)三角形式在物理中的應(yīng)用，如電學(xué)中的交流電分析、振動和波的分析等。

-學(xué)生可以通過研究這些應(yīng)用，理解復(fù)數(shù)三角形式如何幫助物理學(xué)家描述和分析復(fù)雜的物理現(xiàn)象。板書設(shè)計①復(fù)數(shù)的三角形式

-標(biāo)準(zhǔn)形式：\(a+bi\)

-三角形式：\(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

-模長：\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)

-輻角：\(\theta=\arctan\left(\frac{a}\right)\)

②復(fù)數(shù)三角形式的轉(zhuǎn)換

-從標(biāo)準(zhǔn)形式到三角形式：

-\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)

-\(\theta=\arctan\left(\frac{a}\right)\)

-從三角形式到標(biāo)準(zhǔn)形式：

-\(a=r\cos\theta\)

-\(b=r\sin\theta\)

③復(fù)數(shù)三角形式的運算

-乘法：

-模長相乘：\(r_1\cdotr_2\)

-輻角相加：\(\theta_1+\theta_2\)

-除法：

-模長相除：\(\frac{r_1}{r_2}\)

-輻角相減：\(\theta_1-\theta_2\)

-冪運算：

-\(r^n(\cosn\theta+i\sinn\theta)\)

-根運算：

-模長開\(n\)次方：\(r^{1/n}\)

-輻角除以\(n\)：\(\theta/n\)教學(xué)評價1.課堂評價：

-提問：通過課堂提問，了解學(xué)生對復(fù)數(shù)三角形式及其運算的理解程度。問題可以包括基本概念、轉(zhuǎn)換方法、運算技巧等。

-觀察：觀察學(xué)生在課堂上的參與度，如是否積極舉手回答問題，是否能夠正確完成板書上的計算等。

-小組討論：通過小組討論，評估學(xué)生的合作能力和問題解決能力。注意觀察學(xué)生在討論中的角色和貢獻。

-測試：在課程結(jié)束時進行簡短的小測驗，測試學(xué)生對復(fù)數(shù)三角形式及其運算的掌握情況。測試可以包括選擇題、填空題和簡答題。

-及時反饋：對于學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，教師應(yīng)及時給予正面或負(fù)面的反饋，幫助學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)進度和需要改進的地方。

2.作業(yè)評價：

-作業(yè)批改：對學(xué)生的作業(yè)進行認(rèn)真批改，確保作業(yè)的準(zhǔn)確性和完整性。注意批改的細致性，對學(xué)生的錯誤進行詳細的分析和解釋。

-反饋機制：在批改作業(yè)后，及時將作業(yè)反饋給學(xué)生，指出他們的優(yōu)點和需要改進的地方。鼓勵學(xué)生根據(jù)反饋進行自我修正。

-個性化指導(dǎo)：對于作業(yè)中表現(xiàn)出的個別問題，教師應(yīng)提供個性化的指導(dǎo)和建議，幫助學(xué)生克服困難。

-定期回顧：定期回顧學(xué)生的作業(yè)情況，與學(xué)生的家長進行溝通，共同關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進度和表現(xiàn)。

-成績記錄：將學(xué)生的作業(yè)成績記錄在成績冊中，作為學(xué)生學(xué)期末成績的一部分。

3.形成性評價：

-課堂參與度：記錄學(xué)生在課堂上的參與情況，包括提問次數(shù)、小組討論中的發(fā)言次數(shù)等。

-作業(yè)完成情況：跟蹤學(xué)生的作業(yè)完成情況，包括作業(yè)的準(zhǔn)確率、完成速度和自我修正的能力。

-學(xué)習(xí)態(tài)度：觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，包括對復(fù)數(shù)三角形式及其運算的興趣、努力程度和對待學(xué)習(xí)的認(rèn)真態(tài)度。

4.總結(jié)性評價：

-期末考試：通過期末考試，全面評估學(xué)生對復(fù)數(shù)三角形式及其運算的掌握程度。

-學(xué)生自評：鼓勵學(xué)生進行自我評價，反思自己在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)和進步。

-教師評價：教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)和作業(yè)完成情況，給出綜合評價。課后作業(yè)1.**復(fù)數(shù)三角形式的轉(zhuǎn)換**

-將復(fù)數(shù)\(3+4i\)轉(zhuǎn)換為三角形式。

-解答：模長\(r=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，輻角\(\theta=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)。因此，復(fù)數(shù)\(3+4i\)的三角形式為\(5(\cos\theta+i\sin\theta)\)，其中\(zhòng)(\theta\approx0.927\)（弧度）。

2.**復(fù)數(shù)三角形式的乘法**

-計算\((2+3i)(4-5i)\)的結(jié)果，并以三角形式表示。

-解答：模長\(r_1=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)，輻角\(\theta_1=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)\)；模長\(r_2=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\)，輻角\(\theta_2=\arctan\left(\frac{-5}{4}\right)\)。

-\(r_1\cdotr_2=\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}=\sqrt{533}\)，輻角\(\theta_1+\theta_2=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)+\arctan\left(\frac{-5}{4}\right)\)。

-因此，結(jié)果為\(\sqrt{533}(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))\)。

3.**復(fù)數(shù)三角形式的除法**

-計算\(\frac{1+i}{3-4i}\)的結(jié)果，并以三角形式表示。

-解答：模長\(r_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，輻角\(\theta_1=\arctan(1)\)；模長\(r_2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\)，輻角\(\theta_2=\arctan\left(\frac{-4}{3}\right)\)。

-\(r_1\divr_2=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}\)，輻角\(\theta_1-\theta_2=\arctan(1)-\arctan\left(\frac{-4}{3}\right)\)。

-因此，結(jié)果為\(\frac{1}{5}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))\)。

4.**復(fù)數(shù)三角形式的冪運算**

-計算\((3+4i)^{3/2}\)的結(jié)果，并以三角形式表示。

-解答：模長\(r=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，輻角\(\theta=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)。

-\(r^{3/2}=5^{3/2}\)，輻角\(3/2\cdot\theta=\frac{3}{2}\cdot\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)。

-因此，結(jié)果為\(5^{3/2}(\cos(\frac{3}{2}\cdot\theta)+i\sin(\frac{3}{2}\cdot\theta))\)。

5.**復(fù)數(shù)三角形式的根運算**

-計算\((1+i)^{1/3}\)的結(jié)果，并以三角形式表示。

-解答：模長\(r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，輻角\(\theta=\arctan(1)\)。

-\(r^{1/3}=\sqrt[3]{\sqrt{2}}\)，輻角\(1/3\cdot\theta=\frac{1}{3}\cdot\arctan(1)\)。

-因此，結(jié)果為\(\sqrt[3]{\sqrt{2}}(\cos(\frac