2025屆高考數(shù)學(xué)專題十九圓錐曲線綜合精準(zhǔn)培優(yōu)專練理

PAGEPAGE1培優(yōu)點(diǎn)十九圓錐曲線綜合一、圓錐曲線綜合一、圓錐曲線綜合例1：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限，點(diǎn)在軸上的投影為，且有（其中），的連線與軸交于點(diǎn)，與的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，由題意，得的橫坐標(biāo)為，由，得，∴，∵，，∴直線的方程為，令，則，∴，∴直線的方程為，∵直線的方程為，∴點(diǎn)，∵恰為線段的中點(diǎn)，∴，整理可得，則．例2：設(shè)，是雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線（，）的一條漸近線方程為，∴點(diǎn)到漸近線的距離，即，∴，，∵，∴，在三角形中，由余弦定理可得，∴，即，即，∴，故選C．例3：已知定點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，則（其中為拋物線的焦點(diǎn)）的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，作準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，設(shè)的傾斜角為，則（），當(dāng)與相切時(shí)，取最大值，由，可得，代入拋物線，得，即，，可得，解得或，故的最大值為，即的最大值為，即的最大值為．對點(diǎn)對點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．已知雙曲線的漸近線被圓截得的弦長等于，則雙曲線兩條漸近線相夾所成的銳角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】過圓心作漸近線的垂線，設(shè)垂足為，由題意知圓心到漸近線的距離，則易知，所以兩漸近線相夾所成的銳角為．2．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】作，垂直準(zhǔn)線，垂足分別為，，，即，可得，則，，，所以是線段中點(diǎn)，所以，則．3．已知點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在不同兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】極限法：當(dāng)重合于右頂點(diǎn)時(shí)，有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，橢圓越扁，明顯存在，故．或：如圖，為線段中點(diǎn)，設(shè)，則，，可知，則，點(diǎn)在橢圓上，有，代入，可得，即有，解得，又，所以．4．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，其中位于第一象限，則的值不行能為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)，，由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)有，即有，又，，，，當(dāng)時(shí)取等號，所以，不行能等于．5．已知兩點(diǎn)在橢圓上，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，直線的傾斜角為，則，，點(diǎn)在橢圓上，則，即，同理有，則，，所以，當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)．6．已知點(diǎn)是的雙曲線的左焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與雙曲線的漸近線分別交于點(diǎn)，，若線段中點(diǎn)為，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，，點(diǎn)，在漸近線上，即，同理，所以，即，因?yàn)?，，，則有，得，如圖，易知點(diǎn)在第一象限，，得，，則，所以，．二、填空題7．已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率等于__________．【答案】【解析】由題意可知直線，直線，聯(lián)立得，則線段中點(diǎn)為，則有，即，所以，則．8．設(shè)，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與曲線的左支交于點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【解析】如圖，設(shè)，，由雙曲線的定義知，即，，則，設(shè)為線段中點(diǎn)，則，，，由勾股定理得，即，解得，，所以，漸近線方程為．9．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在拋物線上，滿意，則的最小值為．【答案】【解析】知，設(shè)，，，解得，，當(dāng)時(shí)取等號．10．已知點(diǎn)，是離心率的雙曲線的兩個焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，分別是，的內(nèi)心，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．【答案】【解析】直線過右焦點(diǎn)，，所以直線與雙曲線的右支有兩個交點(diǎn)，如圖，設(shè)右頂點(diǎn)，，，，垂足分別為，，，由雙曲線的定義及三角形內(nèi)心特點(diǎn)，有，則可得，重合，同理，，垂足為，設(shè)直線的傾斜角為，由題意知，，則，則，由角平分線特點(diǎn)知，，可知，，，則，，所以，又，解得，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．三、解答題11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上位于第一象限的隨意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交曲線于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．（1）求證：點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】設(shè)直線，，，則，由，消，得，得，（1）設(shè)，知，，三點(diǎn)共線，又，，則有，即，所以點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．（2）因?yàn)?，所以，即，即，得，則，，設(shè)，則，函數(shù)在上遞減，所以．12．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與橢圓交于點(diǎn)和四點(diǎn)，若分別是線段的中點(diǎn)，推斷直線是否過定點(diǎn)？若是，懇求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是請說明理由．【答案】（1）；（2）是過定點(diǎn)，定點(diǎn)為．【解析】（1）由題意知，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線，的斜