專題19 特殊的四邊形-備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（山東專用）

PAGE1專題19特殊的四邊形課標(biāo)要求考點(diǎn)考向1．探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理:矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等;菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直。探索并證明矩形、菱形的判定定理:三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系。2.探索并證明三角形的中位線定理。特殊的四邊形考向一矩形的性質(zhì)與判定考向二菱形的判定考向三菱形的性質(zhì)考向四菱形的判定與性質(zhì)考向五正方形的判定考向六正方形的性質(zhì)考向七四邊形與三角形的綜合考點(diǎn)特殊的四邊形?考向一矩形的性質(zhì)與判定1.（2024?青島）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說明理由，并直接寫出此時(shí)的值．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由見解析，此時(shí)【難度】0.65【分析】（1）先證明得到，再由垂線的定義得到，據(jù)此證明，得到，由此即可證明四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，利用三角形內(nèi)角和定理得到，則可證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而可證明，則四邊形是矩形，在中，．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：∵，∴，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，即當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，∴，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知平行四邊形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．?考向二菱形的判定1.（2024?德州）如圖，中，對(duì)角線平分．

(1)求證：是菱形；(2)若，，求菱形的邊長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)見解析(2)5【分析】此題考查平行四邊形性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，解直角三角形．（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，再結(jié)合角平分線的定義及等腰三角形的判定即可得出，，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)而得出結(jié)論；（2）連接，由菱形性質(zhì)可知，，，在利用余弦求出長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∵平分，∴．∴．∴．∴四邊形是菱形．（2）連接，交于點(diǎn)O，

∵四邊形是菱形．，，∴，，，∴，即菱形的邊長(zhǎng)為5．2.（2024?濰坊）（多選）如圖，是的外接圓，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點(diǎn)．直線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．四邊形為菱形【答案】ABD【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理證明，證明即可證明四邊形為菱形，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)行判定即可．【詳解】解：令A(yù)C,OE交于點(diǎn)，由題意得：是的垂直平分線，，，選項(xiàng)A正確；故四邊形為菱形，選項(xiàng)D正確；，四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，，選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選ABD．?考向三菱形的性質(zhì)1.（2024?濟(jì)寧）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接．若，則菱形的邊長(zhǎng)為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得，即可得解．本題主要考查了菱形的性質(zhì)和“直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半”的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∵E是的中點(diǎn)，，∴。故選：A．2.（2024?青島）如圖，菱形中，，面積為60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作，交邊于點(diǎn)E，連接，則．【答案】【難度】0.65【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度．根據(jù)菱形的面積公式結(jié)合的長(zhǎng)度即可得出、的長(zhǎng)度，在中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，∴．∵，∴，∴（負(fù)值已舍去），∴，∴，∴，∴，CO＝3（舍去）．∵AE⊥BC，，∴．故答案為：．3.（2024?泰安）如圖，菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖：過E作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)I，則點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓，從而得到，因?yàn)椋郧蟪龅闹导纯山獯穑驹斀狻拷猓喝鐖D，過E作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)I，∵，∴點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．4.（2024?淄博）如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形中，對(duì)角線，相交與點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，與相交與點(diǎn)．若，，則菱形的面積為．【答案】96【分析】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．作交于點(diǎn)H，則，求得，再證明，求得，再證明，則，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案．【詳解】解：作交于點(diǎn)H，則，∵四邊形是邊長(zhǎng)為10的菱形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：96．?考向四菱形的判定與性質(zhì)1.（2024?泰安）如圖，在中，對(duì)角線，BD交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在CD上，連接，，，交于點(diǎn)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A，根據(jù)題意可得四邊形是的角平分線，進(jìn)而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項(xiàng)，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項(xiàng)，D選項(xiàng)給的條件，若加上，則成立，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴A.若，即，又，∴∴∴，故A選項(xiàng)正確，B.若，，，∴是的角平分線，∴∵∴∴∴∴四邊形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B選項(xiàng)正確，C.∵，∴∵，∴∴∴∴四邊形是菱形，∴，又∵∴，∵，∴垂直平分，∴∴，故C選項(xiàng)正確；D.若，則四邊形是菱形，由，且時(shí)，可得垂直平分，∵∴，故D選項(xiàng)不正確故選：D．?考向五正方形的判定1.（2024?東營(yíng)）如圖，四邊形是平行四邊形，從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使是正方形的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，共有①②、①③、②③，3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形．再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，共有①②、①③、②③，3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形．∴，從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使是正方形的概率為．故選：A．?考向六正方形的性質(zhì)1.（2024?東營(yíng)）如圖，在正方形中，與交于點(diǎn)O，H為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接，分別交，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可知，，，，與互相垂直且平分，進(jìn)而可求得，根據(jù)正切值定義即可判斷②；由，可知，由相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；由，可求得，再結(jié)合與互相垂直且平分，得，可知，進(jìn)而可判斷③；再證，即可判斷④．【詳解】解：在正方形中，，，，，與互相垂直且平分，則，∵，則，∴，故②不正確；∵，則，，∴，∴，故①不正確；∵，∴，∵，∴，又∵與互相垂直且平分，∴，∴，則，∴，∴平分，故③正確；由上可知，，∴，∴，則，又∵，∴，故④正確；綜上，正確的有③④，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2.（2024?煙臺(tái)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對(duì)角線的三等分點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，若，則用含α的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．證明，求得，證明，證得，推出，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對(duì)角線的三等分點(diǎn)，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對(duì)角線的三等分點(diǎn)，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．?考向七四邊形與三角形的綜合1.（2024?泰安）綜合與實(shí)踐為了研究折紙過程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)，與相交于點(diǎn)．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在對(duì)角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結(jié)，，，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點(diǎn)恰好是對(duì)角線的一個(gè)“黃金分劇點(diǎn)”，即．請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【答案】（1）正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖：作于點(diǎn)M，再證可得，再證明四邊形是矩形可得即可證明結(jié)論；（2）利用平行線分線段比例可得，再說明，進(jìn)而得到；再由由平行四邊形及折疊可得，，則即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）正確，理由如下，作于點(diǎn)，，，，，，，又，．∴．是矩形，，四邊形是矩形．，．（2）同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)說法正確，理由如下，，，，由折疊知，，，，由平行四邊形及折疊知，，，，即點(diǎn)為的一個(gè)黃金分割點(diǎn)．一、單選題1．（2023·山東濟(jì)南·二模）如圖，，在的兩邊上分別截取，使；分別以A，C為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，分別連接線段，若，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連接．則下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）

①；②四邊形是菱形；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由作圖可知四邊形是菱形，可判斷②；由可證明，可判斷①；根據(jù)菱形的面積公式，可判斷③；由相似三角形的性質(zhì)求得，作于G，求得、、的長(zhǎng)，即可判斷④.【詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，∴，由作圖知，∴，∴四邊形是菱形，故②正確；∵四邊形是菱形，∴，∴，，∴，故①正確；∵四邊形是菱形，∴，故③錯(cuò)誤；作于G，

∵四邊形是菱形，∴，∴，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，，，∴，故④正確；綜上，①②④正確，共3個(gè)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．2．（23-24九年級(jí)下·山東日照·期中）下列說法中，正確的是（

）A．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則B．甲、乙兩人跳繩各10次，其成績(jī)的平均數(shù)相等，，則乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定C．“打開電視機(jī)，恰好播放新聞”這一事件是必然事件D．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形【答案】B【分析】題目主要考查根的判別式、方差判斷穩(wěn)定性，隨機(jī)事件的判斷及矩形的判定，根據(jù)這些知識(shí)點(diǎn)依次判斷即可【詳解】解：A、∵若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、甲、乙兩人跳繩各10次，其成績(jī)的平均數(shù)相等，，則乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定，選項(xiàng)正確，符合題意；C、“打開電視機(jī)，恰好播放新聞”這一事件是隨機(jī)事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B二、填空題3．（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，矩形中，，．延長(zhǎng)至點(diǎn)A，使，在上取一點(diǎn)B，使，連接并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，點(diǎn)H是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D，F(xiàn)重合）．當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)解析式等知識(shí)．熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，待定系數(shù)法求直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，則，由，可得，可求滿足要求的解為，即，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，∵，，∴，∵，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將代入得，，解得，，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，或（舍去），∴，∴，故答案為：．4．（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期末）給定一正方形，其邊長(zhǎng)等于a，正方形兩組相對(duì)的頂點(diǎn)是兩個(gè)全等菱形的頂點(diǎn)．如果每個(gè)菱形的面積等于正方形面積的一半，則兩菱形公共部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了正方形和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．利用平行證出與的比、與的比，從而求出與的比，求出與的面積之比，與的面積的比即陰影面積與正方形的面積的比，根據(jù)正方形的面積即可求出答案．【詳解】解：連接，得、、在同一直線上，，且點(diǎn)為中點(diǎn)，，由題得，，，，，，，，，，，，，，連接，，，，，，，兩菱形公共部分的面積為．故答案為：．5．（2024·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形，點(diǎn)是AB上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接DE、CE，延長(zhǎng)DE、CE分別交射線AB、于點(diǎn)、點(diǎn)，以下結(jié)論中：①；②當(dāng)時(shí)，；③；④，．其中正確的有．【答案】①②【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先結(jié)合正方形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)得,，運(yùn)用角的運(yùn)算，得，證明故①是正確的；結(jié)合正方形的性質(zhì)，證明，所以②是正確的；因?yàn)檩S對(duì)稱性質(zhì)，得不是等腰直角三角形，故③是錯(cuò)誤；因?yàn)檎叫蔚男再|(zhì)，得出四邊形是正方形，運(yùn)用三角形面積公式列式，分析即可作答④是錯(cuò)誤．【詳解】解：∵四邊形是正方形∴∵點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴,連接，設(shè)則∵，∴∴∵點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴故①是正確的；∵四邊形是正方形∴∴∴∵∴∴，\故②是正確的；∵點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴在四邊形中，∴∵∴∴不是等腰直角三角形∴即故③是錯(cuò)誤；連接，分別過作∵是正方形的對(duì)角線∴，是矩形∴∴四邊形是正方形∴∵∴∵，．∴∵∴故④是錯(cuò)誤的；故答案為：①②6．（2024·山東菏澤·一模）將菱形的兩個(gè)相鄰的內(nèi)角記為和，定義為菱形的“接近度”，則當(dāng)“接近度”為時(shí)，這個(gè)菱形就是正方形．【答案】1【分析】本題主要考查了正方形的判定，菱形的性質(zhì)，有一個(gè)角是直角的菱形就是正方形，且菱形相鄰的兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)，據(jù)此可得當(dāng)菱形相鄰的兩個(gè)內(nèi)角都為90度時(shí)，該菱形是正方形，由此可得答案．【詳解】解：∵有一個(gè)角是直角的菱形就是正方形，且菱形相鄰的兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)，∴當(dāng)菱形相鄰的兩個(gè)內(nèi)角都為90度時(shí)，該菱形是正方形，∴，∴當(dāng)時(shí)，這個(gè)菱形就是正方形，故答案為：1．三、解答題7．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期末）綜合與實(shí)踐【問題情景】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)（1）小紅將任意三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到（如圖1），連接，，得到四邊形，則四邊形的形狀是______．【探究與實(shí)踐】（2）小亮受到此問題的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）大剛深入研究，并提出新的探究點(diǎn)，如圖2，將正方形與一個(gè)直角的頂點(diǎn)重合并旋轉(zhuǎn)直角，使得直角的一邊與交于點(diǎn)E，另一邊與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，作的平分線交于點(diǎn)G，連接，試判斷線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）平行四邊形；（2），證明見解析；（3），理由見解析【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)結(jié)合四邊形的判定與性質(zhì)，涉及了三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握四邊形的判定方法及三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用旋轉(zhuǎn)得對(duì)角線互相平分即可判定；（2）利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形判定即可；（3）先證，再證即可判定．【詳解】（1）四邊形的形狀是平行四邊形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)得：，，∴四邊形是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：∵，，，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為矩形；（3），理由如下：∵正方形中，，∵，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴．8．（2025·山東臨沂·一模）【問題情境】如圖1，在矩形中，E是邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作，且．【基礎(chǔ)探究】（1）判斷圖1中四邊形的形狀，并說明理由；【深入探究】（2）如圖2，當(dāng)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【拓展遷移】（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，當(dāng)E在延長(zhǎng)線上的位置發(fā)生改變時(shí)，判斷的大小是否發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）四邊形是正方形，見解析；（2），見解析；（3），不發(fā)生變化，見解析【分析】（1），，，證明，，可得，可得矩形是正方形．（2）證明四邊形是矩形，結(jié)合，可得四邊形是正方形，可得，進(jìn)一步可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)B作于點(diǎn)P，在上截取，連接，證明，可得，，，證明，可得，證明，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，理由：∵四邊形是矩形，∴，又∵，，，∴，∴，∴即，又∵，，∴，∴，∴矩形是正方形．（2），理由：，，，∴四邊形是矩形，由（1）得，∴，，∴四邊形是正方形，∴，∴；（3），理由如下：過點(diǎn)B作于點(diǎn)P，在上截取，連接，∴，，∵四邊形是正方形，四邊形為正方形，∴，，，同理可得：，∴，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．9．（24-25九年級(jí)上·山東青島·期中）借助平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等操作，本學(xué)期我們研究了特殊平行四邊形的性質(zhì)．深入探究會(huì)發(fā)現(xiàn)四邊形還有很多神奇之處．定義：四邊形內(nèi)一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)連線形成的四個(gè)角中，如果相鄰的兩個(gè)角相等，且其余兩個(gè)角也相等，那么稱這個(gè)點(diǎn)為四邊形的“分角點(diǎn)”．【理解發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，由定義可知，∵為四邊形的分角點(diǎn)，＝，∴______．（2）如果一個(gè)四邊形存在分角點(diǎn)，那么它在四邊形的對(duì)角線上嗎？（3）一個(gè)菱形共有多少個(gè)分角點(diǎn)？【嘗試思考】（1）請(qǐng)按照給出的作法，用尺規(guī)作圖的方法作出四邊形的一個(gè)分角點(diǎn)：作法圖形1．連接．2．以所在的直線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．3．作射線，交于點(diǎn)．為四邊形的一個(gè)分角點(diǎn)．（2）如圖②，四邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出它的一個(gè)分角點(diǎn)．【答案】理解發(fā)現(xiàn)∶（1）；（2）分角點(diǎn)在四邊形的對(duì)角線上，理由見解析；（3）菱形有無數(shù)個(gè)分角點(diǎn)；嘗試思考：（1）見解析；（2）見解析．【分析】理解發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)定義得出結(jié)果（2）可證明，從而得出結(jié)果；（3）根據(jù)姜形的對(duì)稱性得出結(jié)論，理解發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)題干做給作法作出圖形即可；（2）根據(jù)（1）找出點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，作射線CE，交BD于點(diǎn)即可．【詳解】解：理解發(fā)現(xiàn)∶（1）如圖①，由定義可知，∵為四邊形的分角點(diǎn)，＝，∴，故答案為∶；（2）分角點(diǎn)在四邊形的對(duì)角線上，理由如下∶如圖①，，，∴∴點(diǎn)，，共線，∴分角點(diǎn)在四邊形的對(duì)角線上；（3）如圖1，菱形有無數(shù)個(gè)分角點(diǎn)，理由如下∶∵四邊形是菱形，∴，．∴．∴∴．即．∴點(diǎn)是四邊形的分角點(diǎn)，∵為BD上任意一點(diǎn)，∴菱形有無數(shù)個(gè)分角點(diǎn)，嘗試思考：（1）如圖（2）如圖3，找出點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，作射線CE，交BD于點(diǎn)，則點(diǎn)就是求作的圖形．【點(diǎn)睛】考查了尺規(guī)作垂線，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化條件．10．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，已知等邊，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請(qǐng)判斷線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，請(qǐng)判斷線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，類比（1）先證明，得，，得，再利用線段之間的和差關(guān)系證明，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理可得，即可的結(jié)論；（3）如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可證得是等邊三角形，是等邊三角形，進(jìn)而可得，由菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合線段和差關(guān)系即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）解：在等邊中，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，則，∴，∴，∴，則，故答案為：；（2），證明如下：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．四邊形是正方形，，，．，，．在和中，．，，，，．，，，．（3），證明如下：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，．四邊形是菱形，，．，，是等邊三角形．，．四邊形是菱形，，，．又，．，．，，是等邊三角形．，，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．11．（22-23八年級(jí)下·山東臨沂·期中）問題情境寬與長(zhǎng)的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：）第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線，并把折到圖③中所示的處．第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)折出，使，則圖④中矩形BCDE和MNDE都是黃金矩形．問題解決：(1)圖①中四邊形是正方形，請(qǐng)給出證明；(2)如圖③，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)圖④中矩形和都是黃金矩形，說明理由．（提示：）【答案】(1)詳見解析(2)四邊形是菱形，理由見解析(3)詳見解析【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，結(jié)合，即可判定四邊形是正方形；（2）結(jié)合折疊的性質(zhì)，根據(jù)菱形的判定即可得出答案；（3）根據(jù)黃金矩形的定義，觀察圖形，數(shù)形結(jié)合可得答案．【詳解】（1）解：由折疊可知：，又，四邊形是矩形，又由折疊可知：，四邊形是正方形．（2）四邊形是菱形．理由如下：由折疊可知：，，，，，，，即，四邊形為菱形．（3），，，，，故矩形是黃金矩形；，

故矩形是黃金矩形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義黃金矩形、勾股定理、翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．12．（23-24八年級(jí)下·山東威?！て谀┱奂埵且豁?xiàng)有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，通過折紙可以折出特殊角，特殊圖形，也可以將線段等分．請(qǐng)你通過折出一個(gè)菱形．要求∶為菱形的一個(gè)內(nèi)角，且菱形的一個(gè)頂點(diǎn)在邊上．請(qǐng)畫出折痕及菱形，并說明四邊形是菱形的理由．【答案】見解析【分析】本題考查三角形的折疊，菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，得到沿折疊，然后根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分得到沿DE折疊，即可得到菱形，然后利用四條邊相等的四邊形是菱形證明即可．【詳解】①沿折疊，使得邊與AB邊重合；②沿DE折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則四邊形是菱形．證明：由折疊可得，DE垂直平分，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．13．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，將沿射線的方向平移，使平移的距離等于線段的長(zhǎng)，得到，連接．(1)求平移過程中掃過的圖形的面積；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）連接，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形，是平行四邊形，利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，，然后證明四邊形是菱形，然后根據(jù)平移的性質(zhì)得平移過程中掃過的圖形的面積的面積平行四邊形的面積；（2）結(jié)合（1）四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，連接，，由平移可知：，，四邊形，是平行四邊形，，，，，，是直角三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．，四邊形是菱形，，，，，由平移性質(zhì)可知：掃過的圖形的面積是的面積平行四邊形的面積，平移過程中掃過的圖形的面積；（2）證明：由（1）知：四邊形是菱形，垂直平分，垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理，平行四邊形的面積，直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)．14．（2024·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，已知，在等腰直角中，，點(diǎn)在上，以AD為邊作正方形，連接CF．(1)問題解決

求證：；(2)問題變式

如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，猜想CF、、CD三條線段之間的關(guān)系并說明理由；(3)問題拓展

如圖③，已知，點(diǎn)是等邊的邊延長(zhǎng)線上的