人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題136含30°的直角三角形的性質(zhì)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題13.6含30。的直角三角形的性質(zhì)【十大題型】

【人教版】

＞題型梳理

【題型1由含30。的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度1.....................................................................1

【題型2由含30。的直角三角形的性質(zhì)求角度】....................................................2

【題型3由含30。的直角三角形的性質(zhì)求面積】....................................................3

【題型4由含30。的直角三角形的性質(zhì)求最值】....................................................4

【題型5由含30。的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】....................................................5

【題型6由含30。的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】..................................................6

【題型7由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決折疊問題】..............................................7

【題型8由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】..............................................9

【題型9由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問題】.............................................10

【題型10含30。的直角三角形的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】.................................................11

院舉一反三

知識(shí)點(diǎn)：含3。。的直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，30。角所對(duì)的邊等于斜邊的一半。

【題型1由含30。的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】

【例I】（23-24八年級(jí)?山東濟(jì)寧.期末）如圖，在等邊△4BC中，點(diǎn)0、E分別在邊BC、4c上，且4E=CD,

BE與40相交于點(diǎn)P,8Q_L40于點(diǎn)Q.

⑴求證：BE=AD；

（2）若PQ=4,求8P的長(zhǎng).

【變式1-1]（23-24八年級(jí)?黑龍江牡丹江?期中）在等邊三角形△48C,著力8邊上的高CD與邊BC所夾得角

為30。，且BD=3,則△4BC的周長(zhǎng)為（）

A.18B.9C.6D.4.5

【變式1-2］（23-24八年級(jí)?山東泰安?期末）如圖所示，是等邊三角形，。為"的中點(diǎn)，0E_L4B,

垂足為E.若4E=3,則aABC的邊長(zhǎng)為（）

【變式1-3］（2024八年級(jí)?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在。中，乙48c=60。，以力C為邊在△力8C外作等邊△AC。,

過點(diǎn)。作DE1BC.若A8=5.4,CE=3,則8E=.

【題型2由含30。的直角三角形的性質(zhì)求角度】

【例2】（2024.吉林長(zhǎng)春.八年級(jí)期末）如圖所示，把兩塊完全相同的等腰直角三角板如圖所示的方式擺放,

線段4C在直線MN上.若點(diǎn)F恰好是線段88中點(diǎn)，則44FD的大小為。.

【變式2-1］（23-24八年級(jí)?湖北武漢?期中）如圖，在△48C中，乙4cB=45。，點(diǎn)M為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)2AM+

CM最小時(shí)，則4。4M的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.30°D,15°

【變式2-2]（2024八年級(jí)?江蘇?專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AC=BC,且點(diǎn)。在外，。在4C的垂直

平分線上，連接3D,若乙DBC=30。，LACD=12°,則/力=

【變式2-3]（2024?安徽?八年級(jí)期末）已知在等腰中，AD1BC,垂足為點(diǎn)D,AD=^BC,貝此C的

度數(shù)有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

【題型3由含30。的直角三角形的性質(zhì)求面積】

【例3】（2024?山東聊城?八年級(jí)期末）如圖,在△ABC中，/-ABC=90%Z.BAC=60%以點(diǎn)力為圓心,以AB的

長(zhǎng)為半徑畫弧交4c于點(diǎn)。，連接BD,再分別以點(diǎn)8,。為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

作射線力P交80于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)E,連接DE,則S^OE：S08c的值是（）

A

A.1:2B.V3:3C.2:5D.1:3

【變式3-1]（23-24八年級(jí)?重慶?期末）如圖，在中，/力=90。，點(diǎn)。是上一點(diǎn)，且BD=CD=

6/DBC=15°,則48C0的面積為（）

A.9B.12C.18D.6

【變式3-2]（23-24八年級(jí).遼寧遼陽(yáng)?期末）如圖，在△力BC中，4C=90。,二30。，。是8c上一點(diǎn)，連接

AD,若4D平分4B4C,設(shè)△4DB司△4DC的面積分別是Si，S?,則Si：52=（）

B

DC

c

/M\\

A---L—^5

L/

N

【變式4-3]（23-24八年級(jí).浙江金華.期末）如圖，在等腰三角形48C中，AB=AC=4,^BAC=30°,4G是

底邊8。上的高，在4G的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D,連接CD,作“DE=150。，交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,“DE的

角平分線交邊于點(diǎn)F,則在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，線段EF的最小值（）

A.6B.4C.3D.2

【題型5由含30的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】

[M51（.23-24八年級(jí)?北京朝陽(yáng)?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，RSOAB的斜邊。8在上?軸上，乙48。=

30%若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【變式5-1]（23-24八年級(jí).湖南長(zhǎng)沙?期中）如圖，等邊△4的三個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，/1（-3,0）,過點(diǎn)

B作80J.48,交x軸于點(diǎn)Q,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【變式5-2]（2024.山東泰安?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,0）,點(diǎn)M的坐

標(biāo)為（3,0）,N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN.將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段MK,連接NK,OK.求

線段OK長(zhǎng)度的最小值（）

A.|B.|V3C.2D.2V3

【變式5-3]（23-24八年級(jí)?廣東東莞?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4的坐標(biāo)是（0,1）,以。力

為邊在右側(cè)作等邊三角形。力力1，過點(diǎn)久作》軸的垂線，垂足為點(diǎn)Oi，以0遇1為邊在右側(cè)作等邊三角形。遇遇2,

再過點(diǎn)4作工軸的垂線，垂足為點(diǎn)。2，以。24為邊在右側(cè)作等迂三角形劣4公…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，

得到等邊二角形。20214202142022?則點(diǎn)人2021的縱坐標(biāo)為-

【題型6由含30。的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例6】（23-24八年級(jí)?山東煙臺(tái)?期末）在RtZk/lBC中，Z.ACB=90°,Z.BAC=30°,力0平分4交8。于

點(diǎn)D.

C

D

AB

（1）用尺規(guī)作出線段/。的垂直平分線交40于點(diǎn)M,交力8于點(diǎn)M（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，求證：CD=^AN.

【變式6-1］（23-24八年級(jí)?重慶江津?期中）如圖，在等腰AMC中，AC=BC,"C8=4/B,點(diǎn)。是4c邊

的中點(diǎn)，DELAC,交A8于點(diǎn)E,連接CE.

（1）求乙BCE1的度數(shù)：

（2）求證：AB=3CE.

【變式6-2］（2024八年級(jí)?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在△ABC,4cB=90。，LA=30°,A8的垂直平分線分

別交48和4c于點(diǎn)。，E.

（2）連接CD,請(qǐng)判斷ABC。的形狀，并說明理由.

【變式6-3］（23-24八年級(jí).安徽阜陽(yáng)?開學(xué)考試）如圖，已知在等邊三角形4BC中，D,E分別是邊8C,AC1.

的點(diǎn)，月/E=DC,連接力D,BE相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作BQ14D,Q為垂足，求證：BP=2PQ.

【題型7由含30的直角三角形的性質(zhì)解決折疊問題】

【例7】（23-24八年級(jí)?山東濟(jì)寧?期末）如圖，三角形紙片A8C中，/-BAC=90°,AB=4,ZC=30°.沿過

點(diǎn)4的直線將紙片折疊（折痕為4/0，使點(diǎn)B落在邊8C上的點(diǎn)。處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，折痕

交于點(diǎn)E（折痕為EG）,則FG的長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.6D.8

【變式7-1］（23-24八年級(jí)?湖北武漢?期中）如圖所示，在△48C中，ZC=90°,Z/1=30°,將△BCE沿BE折

疊，使點(diǎn)C落在4B邊。點(diǎn)，若EC=6cm,則4C=（）cm.

A.12B.16C.18D.14

【變式7-2］（2024?山東濱州?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。是矩形紙片ABCO的對(duì)稱中心，E是BC上一點(diǎn),將紙片

沿4E折疊后，點(diǎn)及恰好與點(diǎn)。重合.若8E=3,則折痕4E的長(zhǎng)為.

【變式7-3］（23-24八年級(jí).廣西南寧.階段練習(xí)）如圖，在a4BCD中，將△/WC沿4c折疊后，點(diǎn)。恰好落在DC

的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處.若NB=60。，/8=2,則8c為.

E

【題型8由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】

【例8】（23-24八年級(jí)?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中,“=90°,乙ABC=30°,AC=5cm,將△ABC

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'恰好落在邊AB上.設(shè)旋轉(zhuǎn)角

為a.

（1）式的度數(shù)為_。；

⑵求△力BB'的周長(zhǎng).

【變式8-1]（2024?新疆烏魯木齊?三模）如圖，將A/IBC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△4DE,若4B=90。，ZC=30°,

AB=2,則4E的長(zhǎng)為.

【變式8-2]（2024八年級(jí)?浙江?專題練習(xí)）如圖，ZMB'C'是△ABC繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。后得到的，已知=90。,

48=1,4c=30°,則CC'的長(zhǎng)為

【變式8?3】（2024?河北秦皇島?八年級(jí)期末）如圖,在等邊AUBC中,AB=10,P為BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,

。重合），過點(diǎn)P作PMJ.8C于點(diǎn)P,交線段48于點(diǎn)M,將PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，交線段AC于點(diǎn)M

連接MN,有三位同學(xué)提出以下結(jié)論:

嘉嘉：△PNC為直角三角形.

淇淇：當(dāng)AM=2時(shí)，AN=7.

珍珍：在點(diǎn)尸移動(dòng)的過程中，MN不存在平行于8C的情況.

下列說法正確的是()

A.只有嘉嘉正確B.嘉嘉和淇淇正確

C.淇淇和珍珍正確D.三人都正確

【題型9由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問題】

【例9】(23-24八年級(jí)?湖南岳陽(yáng)?期中)如圖：△4BC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B

兩點(diǎn)出發(fā),分別沿48、8C方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是lcm/s,當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)B時(shí)，P、。兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)8時(shí)，尸、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).當(dāng)/為時(shí)，△PBQ是直角三角形.

【變式9?1](23?24八年級(jí)?山西晉中?期中)如圖，在△ABC中，￡B=90。2=30。,4c=8cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q同

時(shí)從小。兩點(diǎn)出發(fā)，分別在力。、8C邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為巧＞=2cm/s“Q=lcm/s,當(dāng)點(diǎn)尸到

達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

(1)當(dāng)￡為何值時(shí)，APCQ為等邊三角形？

(2)當(dāng)￡為何值時(shí)，為直角三角形？

【變式9-2](2024八年級(jí).全國(guó)?專題練習(xí))已知：如圖，△/1BC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)夕、。同時(shí)

從A、8兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿48、8。方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)4時(shí)，P、。兩點(diǎn)

停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，則BP=_cm,BQ=_cm.

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，分別用含有f的式子表示；BP=cm,BQ=cm.

(3)當(dāng)/為何值時(shí)，ZkPBQ是直角三角形？

【變式9-3](23-24八年級(jí)?遼寧朝陽(yáng)?期末)如圖，在中，乙力=60。，AB=4cm,AC=12cm.動(dòng)點(diǎn)

。從點(diǎn)A開始沿48邊以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C開始沿C力邊以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)夕和點(diǎn)Q同

時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(0VtV4),解答下列問題：

Q.

(I)用含/的代數(shù)式表述4Q的長(zhǎng)是_____.

(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻/,使△力PQ是直角三角形？若存在，求出/的值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【題型10含30。的直角三角形的住質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

101(23-24八年級(jí)?安徽合肥?期末)如圖①，設(shè)計(jì)一張折疊型方桌，其示意圖如圖②，若力。=BO=50cm,

CO=DO=30cm.現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿需要叉開的角度/4。8應(yīng)為120。，則＞48距離地面CD的高為—

【變式10-1](23-24八年級(jí)?廣西玉林?期中)某游樂場(chǎng)部分平面圖如圖所示，點(diǎn)C、E、A在同一直線上，

點(diǎn)D、E、8在同一直線上，DBLAB.測(cè)得A處與E處的距離為70〃?，。處與E處的距離為35/〃，ZC=90°,

4B.4E=30°.

(rtnn

⑴請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)木馬E處到出口B處的距離；

(2)判斷入口A到出口8處的距離與海洋球。到過山車C處的距離是否相等？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，

請(qǐng)說明理由.

【變式10-2】⑵-24八年級(jí)?河北廊坊?期末)如圖，嘉琪想測(cè)量一座占塔CO的高度，在A處測(cè)得/C4D=15。,

再往前行進(jìn)60m到達(dá)B處，測(cè)得乙C8D=30。，點(diǎn)A,&。在同一條直線上，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，這座古塔

的高度為＜)

C.25企mD.50m

【變式10-3](23-24八年級(jí)?山東濟(jì)寧?期中)圖①所示的是某超市入口的雙翼閘門，如圖②，當(dāng)它的雙翼展

開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)4與A之間的距離為7cm.雙翼的邊緣4C=BD=90cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角"1CP=

^BDQ=30°,求當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度.

圖①圖2

專題13.6含30。的直角三角形的性質(zhì)【十大題型】

【人教版】

＞題型梳理

【題型1由含30。的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】................................................1

【題型2由含30。的直角三角形的性質(zhì)求角度】....................................................2

【題型3由含30。的直角三角形的性質(zhì)求面積1...........................................................................3

【題型4由含30。的直角三角形的性質(zhì)求最值】....................................................4

【題型5由含30。的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】....................................................5

【題型6由含30。的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】..................................................6

【題型7由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決折疊問題】.............................................7

【題型8由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】.............................................9

【題型9由含30。的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問題】.............................................10

【題型10含30。的直角三角形的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】.................................................11

院舉一反三

知識(shí)點(diǎn)：含30。的直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，30。角所對(duì)的邊等于斜邊的一半。

【題型1由含30。的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】

【例1】(23-24八年級(jí)?山東濟(jì)寧?期末)如圖，在等邊中，點(diǎn)0、E分別在邊BC、4c上，且4E=CD,

BE與AO相交于點(diǎn)P,8Q1H0于點(diǎn)Q.

(1)求證：BE=AD；

(2)若PQ=4,求BP的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)8

【分析】本題考杳了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

（1）證明△力BE三△&4。即可得證：

（2）求出匕P8Q=30。，再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）證明：??'△ABC為等邊三角形，

=AC,^BAC=ZC=60°,

C4O中

AB=AC

Z-BAE=Z-ACD,

.AE=CD

：.AABEOW（SAS）,

；?BE=AD.

（2）解:???AABE三ACAD,

：.LABE=/.CAD,

工乙BPQ=Z.ABP+乙BAP=乙CAD+乙BAP=4BAC=60°,

乂?：BQ1AD,

:.乙BQP=90°,

「乙PBQ=180°-乙BPQ-乙BQP=30°,

：.BP=2PQ,

又2PQ=4,

：.BP=8.

【變式1-1］（23-24八年級(jí).黑龍江牡丹江?期中）在等邊三角形A48C,若48邊上的高CD與邊8c所夾得角

為30。，且8。=3,則的周長(zhǎng)為（）

A.18B.9C.6D.4.5

【答案】A

【分析】由30度角的性質(zhì)可求出=248=6,然后由等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖,

c

■:CD1AB,

：,LCDB=90°.

?:乙BCD=30°,BD=3,

：,BC=2AB=6.

是等邊三角形，

，△力8c的周長(zhǎng)為6x3=18.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊二角形的性質(zhì)，含30度角的宜用二角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角二角形的性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（23-24八年級(jí)?山東泰安?期末）如圖所示，△4BC是等邊三角形，。為4C的中點(diǎn)，OE14B,

垂足為E.若力E=3,則△ABC的邊長(zhǎng)為（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60。；在直角三角形

中30。角所對(duì)應(yīng)的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可知4力=60。，在直角三角形4DE中求得力。的長(zhǎng)，即可求得7IC的長(zhǎng).

【詳解】解：???△48C是等邊三角形，。為47的中點(diǎn)，DELABf垂足為點(diǎn)E.若力E=3,

，在直角三角形中，乙4=60。，^AED=90°,乙4DE=30。，

?\AD=2AE=6,

又???。為4?的中點(diǎn),

：.AC=2AD=12,

，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為12,

故選：A.

【變式1-3］（2024八年級(jí)?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在△A8C中，=60。，以AC為邊在△48C外作等邊△ACD,

過點(diǎn)。作DE1BC.若AB=5.4,CE=3,則8E=.

【答案】7.8

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線，構(gòu)造全等三

角形和含有30。角的直知二角形是解決問題的關(guān)鍵.過點(diǎn)。作CPJ.A3于尸，根據(jù)乙/WC=60。得/3AC十

乙BCA=120°,再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AC=CD,"CD=60°,則上CCE+Z-BCA=120°,由此得48AC=

乙DCE,據(jù)此可依據(jù)“AAS”判定AZPC和ACED全等，從而得AP=CE=3,則BP=4B-4P=2.4,進(jìn)而在

根據(jù)直角三角形性質(zhì)得BC=2BP=4.8,據(jù)此可得BE的長(zhǎng).

【詳解】解：過點(diǎn)C作CP_L于P,如圖所示:

C?:乙ABC=60°,

???ZBAC+Z-BCA=180°-乙ABC=120°,

???△4CD為等邊三角形，

:.AC=CD,Z.ACD=60°,

???Z.DCE+Z.BCA=1800-Z,ACD=120°,

:.Z.BAC=乙DCE,

vCP1AB,DE1BC,

Z.APC=Z.CED=90°,

在AAPC和△CED中,

AAPC=MED=90°

Z.BAC=Z-DCE

AC=CD

??.△APC三△CEO(AAS),

???AP=CE=3,

???BP=AB-AP=5.4-3=2.4,

在RtABCP中，/.ABC=60%

Z.BCP=30°,

BC=2BP=2X2.4=4.8,

:.BE=BC+CE=4.8+3=7.8.

故答案為：7.8

【題型2由含300的直角三角形的性質(zhì)求角度】

【例2】(2024?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)期末)如圖所示，把兩塊完全相同的等腰直角三角板如圖所示的方式擺放,

線段4C在直線MN上.若點(diǎn)F恰好是線段48中點(diǎn)，則24尸D的大小為。.

【答案】15

【分析】本題考查了三角形中位線，含30。的直角三角形，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)尸作CD的垂線，垂足為H,先證明FH為△ABC的中位線，和N8=乙HFA=45°,再根據(jù)直角三角形中30。

所對(duì)的直角邊為斜邊的一半即可得出乙尸=30。，繼而求出zJi'FD,以及N力/。的度數(shù).

【詳解】過點(diǎn)尸作C0的垂線，垂足為"，如圖：

MCH

:點(diǎn)尸恰好是線段48中點(diǎn)，F(xiàn)H1.AC,^BCA=90°,

：.BC||FH,BC=2FH,

：./-B=Z.HFA=45°,

???兩塊等腰直角三角板完全相同，

:?BC=FD,

:,BC=FD=2FH,

VzFWD=90°,

：.AFDH=30°,

：./.HFD=60°,

VzB=Z.HFA=45°,

：,￡AFD=乙HFD-Z.HFA=60°-45°=15°,

故答案為：15.

【變式2-1］（23-24八年級(jí)?湖北武漢?期中）如圖,在△ABC中,乙4。式=45。，點(diǎn)M為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)2AM+

CM最小時(shí)，則乙C4M的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

【答案】D

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔

助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).在BC下方作乙BCN=30°,過點(diǎn)A作AFJLCN于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作ME1CN于點(diǎn)

E,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出ME=：CM,根據(jù)2AM+CM=2（AM+：CM）=2Q1M+ME）,

兩點(diǎn)之間線段最短，且垂線段最短，得出當(dāng)力、M、石三點(diǎn)共線，且AE1CN時(shí)，AM+ME最小，即2AM+CM

最小，求出此時(shí)乙C4M的度數(shù)即可.

【詳解】解：在下方作48CN=30。，過點(diǎn)A作人/JLCN于點(diǎn)八過點(diǎn)M作ME_LGV于點(diǎn)七，如圖所示：

則ME=；CM,

:.2AM+CM=2(4M+3CM)=2(4M+ME),

???兩點(diǎn)之間線段最短，且垂線段最短，

，當(dāng)A、M、￡三點(diǎn)共線，且AE1CN時(shí)，AM+ME最小，即2AM+CM最小，

??.當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)尸時(shí)，2AM+CM最小，

???"FC=90°,^ACE=乙ACB十乙BCE=450+30°=75%

???〃?”=90°—75°=15°,

即此時(shí)N&4M=15°.

故選：D.

【變式2-2](2024八年級(jí).江蘇?專題練習(xí))如圖，△斐BC中,AC=BC,且點(diǎn)。在△ABC外，。在力C的垂直

平分線上，連接8D,若NOBC=30。，Z.ACD=12°,則41=

【答案】72

【分析】過C作CM1.80,交BD的延長(zhǎng)線于M,過。作0NJ.4C于N,證明Rt△ONC三Rt△OMC(HL),得

乙DCM=EACD=12。,求出4105的度數(shù)，則根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和，可求出乙力的度數(shù).

【詳解】解：如圖，過C作CMJ.BD,交80的延長(zhǎng)線于M,過。作DN_L/1C于N,

BC

???點(diǎn)。在AC的垂直平分線上，

?,?DN垂直平分4C,

：.NC=-AC,

2

\fAC=BC,

：.NC=^BCf

在玲△BMC中,Z.DBC=30°,

ACM=-2BC,

：.CM=CN,

在Rt/iDNC和RtaDMC中，

,,（CD=CD

?tc/V=CM'

ARt△DNC三Rt△DMC（HL）,

；?￡DCM=Z-ACD=12。，

?:乙DBC=30°,

J.LMCB=60°,

：.^ACB=60°-12°x2=36°,

又??NC=BC,

：,LA=1X（180°-36°）=72°,

故答案為：72.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟

知等腰三角形的兩個(gè)底角相等，需要作輔助線，構(gòu)建全等三角形，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

【變式2-3］（2024?安徽?八年級(jí)期末）已知在等腰△ABC中，AD1BC,垂足為點(diǎn)D,AD=^BC,則NC的

度數(shù)有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分兩種情況：40落在△力8。內(nèi)部和4。落在△4BC外部，然后分別根據(jù)等腰三角形的概念

和三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)4。落在A/BC內(nèi)部時(shí)，

①如圖,當(dāng)=時(shí),

：.AD=BD=DC,即々C=45°.

②如圖，當(dāng)=時(shí),

：

,AD1BC,AD=-2BC,

：

.AD=-2AB.

：.LB=30°,

Azc=1x(180°-z^)=1x(180°-30°)=75°

③如圖，當(dāng)=時(shí)，

C

,：AD1BC,AD=^BC,

：

,AD=-2AC.

：.LC=30°.

(2)當(dāng)力。落在△力8C外部時(shí)，

④當(dāng)月8=AC時(shí)，此時(shí)不存在.

⑤如圖，當(dāng)AB=CB時(shí),

,：AD1BC,AD-BC,

2

：,AD=^AB.

2

：.Z-ABD=30°,則NC=*BD=；x30°=15°.

⑥如圖，當(dāng)4C=BC時(shí),

VAD1BC,AD-BC,

2

/.AD=^AC.

2

：,￡ACD=30°,^/.ACB=180°-30°=150°,即4C=150°.

綜上，NC的度數(shù)可能為可。,30。，45°,75。，150%共5種可能，

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是根據(jù)題意分情況討論.

【題型3由含30。的直角三角形的性質(zhì)求面積】

【例3】（2024?山東聊城?八年級(jí)期末）如圖，在△48C中，Z.ABC=90°,Z.BAC=60°,以點(diǎn)3為圓心,以力B的

長(zhǎng)為半徑畫弧交AC于點(diǎn)。，連接8D,再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩孤交于點(diǎn)P,

作射線HP交BO于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)E,連接DE,則S^OE：S08c的值是（）

A.1:2B.V3:3C.2:5D.1:3

【答案】D

【分析】先根據(jù)30。角的直角一:角形的性質(zhì)得到48="。，證明A/Wf三△/IDE(SAS),再根據(jù)全等三角形的

判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???〃"=90°,Z.BAC=60°,

：.LC=90°-ABAC=90°-60°=30°,

：.AB=^AC,

由題意得：AB=AD,4P平分NR4C,

Z.BAE=Z.DAE?

在Zi/WE與△40E中，

(AB=AD

\z-BAE=/.DAE,

(AE=AE

：.kABE三△力DE(SAS),

?'?SAABE=SAADE，

?：AD=AB=\AC.

2

J.AD=CD,

,SAADE=S^DE，

?應(yīng)"8c=3s.DE，

**^hCDE-^&ABC=13

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一基本作圖，直角三角形兩銳角互余，30。角的直角三角形，全等三角形的判定和性

質(zhì)，角平分線的定義，等底同高的三角形面積相等.掌握基本作圖及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式3-1](23-24八年級(jí)?重慶?期末)如圖，在RtA/lBC中，/力=90。，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，且BD=CD=

6,LDBC=15°,則△8C0的面積為()

A.9B.12C.18D.6

【答案】A

【分析】本題考查等邊對(duì)等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合三角形的外

角，求出NADC=30。，進(jìn)而求出4c的長(zhǎng)，由三角形的面積公式求出ABC。的面積即可.

【詳解】解：VFD=CD=6,/.DEC=15°,

工人DCB=（B=15°,

：.LADC=+乙BCD=30°,

??Z=90。,

：.AC=\CD=3,

2

:、kBCD的面積為;8DTC=：x6x3=9；

故選A.

【變式3-2]（23-24八年級(jí).遼寧遼陽(yáng)?期末）如圖,在AABC中,LC=90。/8=30°,。是BC上一點(diǎn),連接

AD,若AD平分ZB力C,設(shè)△4DB司△4DC的面積分別是Si，$2，則Si：52=（）

A.1:1B.2:1C.3:1D.3:2

【答案】B

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形的面積等知識(shí)，先求出4840=，&40=30。,

得出40=8。，從而CD=^力。=（80,然后根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論.

【詳解】解：=90。,乙8=30。，

???48力。=90。-30。=60。.

?ZD平分NB力C,

=^CAD=\LBAC=30°,

2

?"8=乙BAD,

??AD=BD,

：.CD=-AD=-BD

22t

，S1：S2=^BDAC-.^CDAC=2:1.

故選B.

【變式3?3]（23-24八年級(jí)?湖南永州?期中）如圖，在△ABC中,18=6,將△48C繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)30。后得到△4/G，求陰影部分的面積.

Ali

【答案】9

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC=AB=6,所以△4B4是等腰三角形，依據(jù)2力/力=30°

得到等腰三角形的面積，由圖形可以知道S陰影=SML+S△勺pg-S4ABe=SM】BA，最終得到陰影部分的

面積.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.運(yùn)用面積的和差關(guān)系解決不規(guī)則圖形的面積是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在△A8C中，48=6,將繞點(diǎn)8按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。后得到△為8￡,

**?AABC=△AiBC1

???ArB=AB=6,

△&BA是等腰三角形，^ArBA=30°,

如圖，過Ai作148于D,則=

又,S陰影=SM]BA+S^ABCI-SAABC=SMIBA，

SAA'BC1—^e^CBA?

S陰影=SAAIBA=9-

【題型4由含30。的直角三角形的性質(zhì)求最值】

【例4】（23-24八年級(jí)?湖北荊門?期末）如圖，C4_L直線［于點(diǎn)力，。4=4,點(diǎn)8是直線2上一動(dòng)點(diǎn)，以CB為邊

向上作等邊△M8C,連接M4則M4的最小值為（）

M

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練

掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.以4C為邊作等邊三角形4CE,連接ME,過點(diǎn)力作力5_LME于

點(diǎn)、F,證明△BC4三△MCE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出6/1=ME,^BAC=^MEC=90°,由直角三角

形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】解：如圖，以AC為邊作等邊三角形4CE,連接ME,過點(diǎn)4作于點(diǎn)F,

△河3。和4力CE為等邊二角形，

BC=CM,AC=CE,/-BCM=/-ACE=60°,

???Z.BCA=乙MCE,

在ABCA^AMCE中，

(BC=MC

?C=NMCE,

(AC=CE

.-.ABCAMCE(SAS),

???BA二ME,Z.BAC=Z.MEC=90°,

Zv4FF=900-60=30°,

???B是直線Z的動(dòng)點(diǎn)，

??.M在直線ME上運(yùn)動(dòng)，

MA的最小值為4尸，

vAE=AC=4,

AF=-AE=2.

2

故選:B

【變式4-1](23-24八年級(jí)?黑龍江齊齊哈爾?期末)如圖，已知/力。8=60。，OC平分點(diǎn)尸在。(?上，

。。1。4于點(diǎn)。，OP=6,點(diǎn)E是射線。8上的動(dòng)點(diǎn)，則PE的最小值為()

a

o

B.2C.5D.3

【答案】D

【分析】題考查了垂線段最短以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)及垂線段最短的實(shí)際

應(yīng)用.過P作，。從根據(jù)垂線段最短即可求出PE最小值.

【詳解】解：VZ/10F=60%OC平分4/1。氏

：.LAOC=30°,

?:PD1OA,OP=6,

：

,PD=-2OP=3,

過P作PH1OB于點(diǎn)H,

???點(diǎn)E是射線0B上的動(dòng)點(diǎn)，

JPE的最小值為3,

故選：C.

【變式4-2]（23-24八年級(jí)?江蘇蘇州?期中）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，M是高C"所在直線上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接M8,將線段8M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段H/V長(zhǎng)

度的最小值是.

c

/M\\

AL---L—^5

/

N

【答案】|

【分析】取BC的中點(diǎn)，連接MG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可以證明三△NBH,可得MG=NH,

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG1CH時(shí)，MG最短，即HN最短，進(jìn)而根據(jù)30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可

求得線段HN長(zhǎng)度的最小值.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線

段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等二角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

???線段8M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,

:.乙MBH+乙HBN=60°,

乂A8C是等邊三角形，

:.Z.ABC=60°,

即/M8H+4MBC=60°,

:.乙HBN=乙GBM,

???CH是等邊三角形的高，

???BH=-AB,

BH=BG,

又旋轉(zhuǎn)到BN,

??.BM=BN,

MBG三△NBH(SAS),

MG=NH,

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MGIC”時(shí)，MG最短，即，N最短，

止匕時(shí)NBC"=Ix60°=30°,

CG=-BC=-x6=3,

22

MG=\CG=1,

：?HN=

2

.??線段HN長(zhǎng)度的最小值是|.

故答案為：|

【變式4-3](23-24八年級(jí)?浙江金華?期末)如圖，在等腰三角形,4BC中，AB=AC=4,^BAC=30°,4G是

底邊BC上的高，在AG的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D,連接CD,作乙CDE=150。，交力8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,aDE的

角平分線交力B邊于點(diǎn)心則在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，線段EF的最小值()

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】此題考查了全等三角形的判定即性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30度

角的直角三角形的性質(zhì).作。Ml48于M,作。N1AC于N,證明AMDE三△NDC(ASA),推出。E=DC,

再證明△EDF三SCDF(SAS),推;LE尸=CF,得到當(dāng)CF1時(shí)CF有最小值，即EF有最小值，|±UB4C=30°,

AC=4,求出CF.

【詳解】解?：作DMJLAB于M,作DN14C于N,

vAB=AC,AG1BC,

:.AG^^^BAC,RfJAD平^48AC,

vDM1AB,DNLAC,

???DM=DN,

???，BAC=30°,/-AMD=乙AND=90°,

:./MON=150°,

vLCDE=150°,

4MDE=150°-乙CDM=乙NDC,

.??△MOE/VDC(ASA),

???DE=DC,

???DF平分乙CZ)E,

Z.EDF=Z.CDF,

連接CF,

vDF=DF,

:AEDF=△CO/(SAS),

:.EF=CF,

.??當(dāng)6148時(shí)CF有最小值，即“有最小值,

此時(shí)，???Z.BAC=30°,AC=4,

：?CF=-AC=2,

2

故選:D.

【題型5由含30。的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】

【例5】（23-24八年級(jí)?北京朝陽(yáng)?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，RN0A8的斜邊OB在x軸上，乙48。=

30%若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

【答案】（4,0）

【分析】本題主要考查了含30度角直角三角形的特征，解題的關(guān)鍵是掌握含30度角的直角三角形，30度角

所對(duì)的邊是斜邊的一半.過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C,先得;I"。力C=30。，則04=20C=2,進(jìn)而

得出08=204=4,即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C,

,?，Rt△。/B中//8。=30。，

：.LAOB=60°,

'：AC1OB,

：.￡OAC=30°,

???點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為1,

：.0C=1,

/.0A=2OC=2,

?：BB0=30°,

OB=2OA=4,

工點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）,

故答案為：（4,0）.

【變式5-1]（23-24八年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?期中）如圖，等邊A43C的二個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，A（-3,0）,過點(diǎn)

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì).由等邊三角形的性

質(zhì)求得48的長(zhǎng)，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得40的長(zhǎng)，繼而求得。0的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：是等邊三角形，且80_L4C,

：.AO=OC,Z,BAC=60°,

V71（-3,0）,

：.A0=3,

.'.AB=AC=2A0=6,

VBDLAB,

：,LABD=90°,

：.LADB=30°,

：.AD=2AB=12,

：,0D=AD-0A=9,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（9,0）.

故答案為：（9,0）.

【變式5-2】（2024?山東泰安?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,0）,點(diǎn)M的坐

標(biāo)為（3,0）,N為），軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN.將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段MK,連接NK,0K.求

線段0K長(zhǎng)度的最小值（）

A.1B.1V3C.2D.2V3

【答案】A

【分析】如圖所示，將MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△MQN,連接。Q,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OK=

NQ,OM=QM,Z-OMQ=60°,證明△OMQ是等邊三角形，得到/QOM=60。，OQ=OM,推;l"NOQ=

30。；由垂線段最短可知，當(dāng)NQ，y軸，NQ最小，即。K最小，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)N，重合，由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，將△MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6U度得到AMQ/V,連接OQ,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。K=NQ,OM=QM,LOMQ=60°,

???AOMQ是等邊三角形，

：.AQOM=60°,OQ=OM,

LNOQ=30°,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）,

：.0Q=OM=3,

由垂線段最短可知，當(dāng)NQJ.y軸，NQ最小，即OK最小，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)NL重合，

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,0K最小值=NQ最小值=^OQ=5，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（23-24八年級(jí).廣東東莞?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知點(diǎn)人的坐標(biāo)是（0,1）,以。力

為邊在右側(cè)作等邊三角形0441，過點(diǎn)久作式軸的垂線，垂足為點(diǎn)0［，以0遇1為邊在右側(cè)作等邊三角形017M2,

再過點(diǎn)必作％軸的垂線，垂足為點(diǎn)。2，以。2%為邊在右側(cè)作等邊三角形外4公…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，

得到等邊三角形。202遇202通2022，則點(diǎn)人2021的縱坐標(biāo)為?

【分析】此題主要考瓷了點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊二角形的性質(zhì)，直角二角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，

理解在直角三角形中，30。的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵.

首先根據(jù)點(diǎn)4的坐標(biāo)及等邊三角形的性質(zhì)得04=OA=1,匕/1。力1=60。,進(jìn)而得411。。1=30。,再根據(jù)直角

三角形的性質(zhì)得401=3。4=條點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為p依次類推得到點(diǎn)乙的縱坐標(biāo)為（J”即可解題.

【詳解】???點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,1），△0/L4】是等邊三角形，

???OAi=OA=1,Z.AOAY=60°?

???"