高中數(shù)學(xué)講義-函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

高中數(shù)學(xué)講義——函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

目錄

1.教學(xué)內(nèi)容及其解析...........................................................1

2.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置...............................................................2

3.學(xué)生學(xué)情分析...............................................................2

4.教學(xué)策略分析...............................................................3

5.教學(xué)過程....................................................................3

5.1.環(huán)節(jié)一章節(jié)引入，引出話題..............................................3

5.2,環(huán)節(jié)二抽象概括，形成概念.............................................4

5.3.環(huán)節(jié)三辨析概念，加深理解.............................................6

5.4.環(huán)節(jié)四初步應(yīng)用，培養(yǎng)技能.............................................7

5.5.環(huán)節(jié)五課堂小結(jié)，總結(jié)提升.............................................8

5.6.環(huán)節(jié)六作業(yè)布置........................................................8

6.關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和研究方法。......................................8

7.函數(shù)的單調(diào)性...............................................................8

1.教學(xué)內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版（2019年）必修第一冊第三章第二節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)的

第一課時。

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及表示方法后進行的。在學(xué)完本小節(jié)

后，學(xué)生將掌握研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，對接下來基本函數(shù)模型的學(xué)習(xí)具有

指導(dǎo)作用。而對于函數(shù)的基本性質(zhì)這節(jié)課來說，單調(diào)性是所有函數(shù)都具備的性

質(zhì)之一，是研究函數(shù)性質(zhì)必不可少的一部分，因此作為為第一課時的內(nèi)容進行

學(xué)習(xí)。

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一種定性性質(zhì)。在必修課程的函數(shù)主題中，我們利用

代數(shù)運算和圖象直觀結(jié)合的方式研究函數(shù)的單調(diào)性，并用更加精確的符號語言

描述。而在選擇性必修課程中，將進一步利用導(dǎo)數(shù)語言來精確刻畫函數(shù)在局部

上的單調(diào)性，因此本單元是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，特別是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言刻畫尤為重

第1頁共10頁

要。

在本節(jié)課中，學(xué)生研究函數(shù)需要研究函數(shù)的變化規(guī)律，而不變的規(guī)律就是

所謂的性質(zhì)，因此在研究函數(shù)性質(zhì)時要抓住變化中的不變性。而在單調(diào)性研究

的過程中，教師要引導(dǎo)分析函數(shù)值隨自變量的值的變化而變化中具有的不變關(guān)

系。同時通過圖象的幾何直觀進而數(shù)學(xué)抽象出符號語言，用更加簡潔的符號語

言進行描述，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在學(xué)習(xí)完單調(diào)性概念后，學(xué)生在

教師的引導(dǎo)下學(xué)習(xí)了如何證明函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的

核心素養(yǎng)。

3.教學(xué)重點

用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

2.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1.課程目標(biāo)

借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解

它們的作用和實際意義。

2.課時教學(xué)目標(biāo)

(1)通過圖象變化，經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過程，能用二次函數(shù)例子

說出函數(shù)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的定義及其圖象特征，同時能夠說出增函數(shù)、減

函數(shù)的定義及其圖象特征；同時通過全稱量詞和存在量詞等數(shù)學(xué)符號語言表達

單調(diào)性定義，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程。

(2)能夠通過例子明確用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟，能用

函數(shù)單調(diào)性的定義解決函數(shù)單調(diào)性問題，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

3.學(xué)生學(xué)情分析

1.問題診斷

學(xué)生已經(jīng)在前面的學(xué)習(xí)中掌握了函數(shù)的概念及其表示方法，在初中已經(jīng)熟

練掌握了利用函數(shù)的圖象來說明函數(shù)值隨自變量的值的變化而變化的性質(zhì)。同

時學(xué)生已經(jīng)在前面學(xué)習(xí)了如何用數(shù)學(xué)符號語言來說明“任意”，“都有”這樣

的數(shù)學(xué)語言，已經(jīng)具備利用數(shù)學(xué)語言來刻畫函數(shù)性質(zhì)的能力。

但是學(xué)生還欠缺的是將這些語言組織起來進而表達函數(shù)的單調(diào)性，因此本

第2頁共10頁

節(jié)課采用的是“規(guī)-例”法教學(xué)，即先由教師在具體情境中示范如何使用符號語

言表達函數(shù)的單調(diào)性，然后再讓學(xué)生進行模仿，在熟悉相應(yīng)的符號語言表達后，

再給出嚴(yán)格的定義，并在應(yīng)用定義證明具體函數(shù)單調(diào)性的過程中，更深入理解

符號語言。教師在這個過程中采用幾何畫板動態(tài)展示函數(shù)值隨自變量變化而變

化的情況，設(shè)置一個從定性到定量的歸納過程，引導(dǎo)學(xué)生逐步給出函數(shù)單調(diào)性

的定義，再通過辨析、練習(xí)幫助學(xué)生理解定義。

本節(jié)課的第二個難點就是函數(shù)單調(diào)性的證明，這是學(xué)生代數(shù)推理證明的薄

弱，需要學(xué)生通過應(yīng)用代數(shù)變形以及不等式的相關(guān)性質(zhì)進行證明。教學(xué)中教師

從簡到難，在不斷熟練的過程中逐步掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，積累

相應(yīng)的活動經(jīng)驗。

2.教學(xué)難點

用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性；利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

4.教學(xué)策略分析

1、本節(jié)課從圖象入手，讓學(xué)生從更直觀的角度分析函數(shù)的圖象，進而分析

函數(shù)的基本性質(zhì)，同時能夠利用學(xué)生初中所學(xué)的知識更快地進入課堂內(nèi)容。同

時在導(dǎo)入本節(jié)課單調(diào)性的定義時，也采用的是初中所學(xué)過的二次函數(shù)進行分析。

2、為了能夠吸引學(xué)生的興趣，更加直觀感受函數(shù)值隨自變量值的變化而變

化，利用幾何畫板進行動態(tài)演示，通過坐標(biāo)的變化讓學(xué)生對于這個變化的感覺

更加有沖擊力，也能有利于學(xué)生通過符號表達其中的變化規(guī)律。

3、為了讓學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用能夠循序漸進，教師在安排例題

時也是由淺入深進行設(shè)計。從學(xué)生最為熟知的一次函數(shù)、反比例函數(shù)入手，在

圖象熟悉的前提下，如何采用符號將熟悉的文字語言進行表達。最后將一次函

數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合進行一次強化，讓學(xué)生能夠加強代數(shù)變形能力，提升數(shù)

學(xué)運算核心素養(yǎng)。這樣的設(shè)計也能夠讓各種層次的學(xué)生得到相對應(yīng)的訓(xùn)練，達

到一定的效果。

5.教學(xué)過程

5.1.環(huán)節(jié)一章節(jié)引入，引出話題

第3頁共10頁

引導(dǎo)語前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法，明確知道函數(shù)是描述客觀世

界變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系。我們研究了函數(shù)的變化規(guī)律就可以用來把握客觀

世界中事物的變化規(guī)律。

因此如何更好、更準(zhǔn)確地研究函數(shù)的性質(zhì)對于我們研究客觀世界中的事物

變化規(guī)律尤為重要。而我們知道函數(shù)的表示方法中有解析法、列表法、圖象法，

圖象法能夠更加直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)。

問題觀察、分析和比較圖3.2-1中的函數(shù)圖象，你能從變化規(guī)律以及圖象

的特征等角度說說它們有什么特點嗎？

師生活動學(xué)生觀察圖象，說出函數(shù)的性質(zhì)，教師應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象,

盡可能多地說出函數(shù)的性質(zhì)。教師在這個過程要多引導(dǎo)學(xué)生，都要給予正面肯

定的評價。同時教師也要在這個過程中引導(dǎo)學(xué)生如何觀察。教師在學(xué)生說的過

程中在黑板上適當(dāng)板書。

【設(shè)計意圖】整體感知函數(shù)的性質(zhì)，規(guī)劃單元整體研究方案，明確本節(jié)課

的學(xué)習(xí)任務(wù)，了解本節(jié)課的地位作用。

5.2.環(huán)節(jié)二抽象概括，形成概念

問題在初中我們已經(jīng)利用了函數(shù)的圖象研究過了函數(shù)值隨自變量的變化

而變化的性質(zhì)，我們把它叫做函數(shù)的單調(diào)性。因為初中只是用圖象來研究，這

樣還是不夠細致，因此我們需要進一步用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性。觀察函

數(shù)回答下列問題：

第4頁共10頁

（1）你能否用初中的數(shù)學(xué)語言來說一下這個函數(shù)的函數(shù)值是隨自變量的值

如何變化的？

（2）我們來看看左側(cè)的圖象，大家觀察點在動態(tài)移動的過程中。它的橫縱

坐標(biāo)的變化規(guī)律是什么？

（3）我們?nèi)绾斡梅栒Z言來描述“當(dāng)*<0時，A?隨著x的增大而減小”

這句話？

師生活動學(xué)生根據(jù)初中所學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和對圖象的觀察分析，同時老師在

此過程中要多加啟發(fā)引導(dǎo)。利用幾何畫板進行演示，讓學(xué)生對于“A?隨著》的

增大而減小”有更深刻的認(rèn)識。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能夠把相關(guān)的符號語言寫

出來。

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進行說明，在教師黑板上書寫出在％<°時

/（X）隨著X的增大而減小的符號語言：寸內(nèi),馬€（-8,0）,當(dāng)斗<々時，都有

追問1那對于上面的符號語言，你能否說明為什么八百）</（々）？

師生活動學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進行證明，通過代數(shù)變形以及不等式的性質(zhì)

來證明相關(guān)結(jié)論。

追問2那對于x〉0呢？該如何用符號語言來表示？

師生活動學(xué)生已經(jīng)有了相對應(yīng)的經(jīng)驗，在書寫相關(guān)符號語言時就比較自然,

教師可以提問一些學(xué)生進行回答。

問題剛才我們研究的是一個具體函數(shù)，其實每個函數(shù)都具有相對應(yīng)的性質(zhì),

如果我們把這個概念延伸到任意函數(shù)，就得到了我們今天要學(xué)習(xí)的概念一一函

數(shù)的單調(diào)性，你能給出函數(shù)y=在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的符號語

言嗎？

第5頁共10頁

師生活動先由學(xué)生獨立思考、作答，教師進行引導(dǎo)，然后教師板書出完整

的單調(diào)性定義：

①單調(diào)遞增和增函數(shù)：

一般地，設(shè)函數(shù)/（幻的定義域為/，區(qū)間,如果V玉,々W。，當(dāng)用

時，都有了（X）＜/（々），那么就稱函數(shù)/（X）在區(qū)間。上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函

數(shù)人力在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù).

②單調(diào)遞減和減函數(shù)：

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域為/,區(qū)間0口/,如果V和了2‘0,當(dāng)王

時，都有了（/）＞/（±）,那么就稱函數(shù)/（幻在區(qū)間。上單調(diào)遞減.特別地，當(dāng)函

數(shù)八幻在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù).

③單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)丁=/（均在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=〃x）

在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格）的單調(diào)性，區(qū)間。叫做的單調(diào)區(qū)間.

【設(shè)計意圖】在經(jīng)歷了特殊函數(shù)單調(diào)性的符號語言表示之后，學(xué)生從中歸

納總結(jié)出共性，抽象出一般函數(shù)單調(diào)性符號語言表達。這里要先安排學(xué)生從簡

單的二次函數(shù)入手，在學(xué)生表達的過程中，教師就可以發(fā)現(xiàn)其中的表達問題，

然后再讓學(xué)生進行完善，這就是一個“示范-模仿-改進-完善”的過程，這樣學(xué)

生能夠參與到課堂之中，質(zhì)量和效率都有保證。

5.3.環(huán)節(jié)三辨析概念，加深理解

問題（1）設(shè)A是區(qū)間。上的自變量的某些值組成的集合，而且V知々WA,

當(dāng)為＜馬,都有/（芭）＜/（當(dāng)）,你能說函數(shù)f（x）在區(qū)間。上單調(diào)遞增嗎？試舉例

說明.

（2）函數(shù)的單調(diào)性是對定義域上的某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域

內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)遞增而在另一些區(qū)

間上單調(diào)遞減的函數(shù)嗎？

師生活動學(xué)生先獨立思考、舉例，再進行小組交流，班級展示交流，教師

可以通過多種方式表示函數(shù)。

第6頁共10頁

【設(shè)計意圖】問題（1）的目的是讓學(xué)生辨析定義中的“任意”二字，問題

（2）是為了區(qū)分“單調(diào)遞增”與“增函數(shù)”，“單調(diào)遞減”與“減函數(shù)”的概

念，同時也為了引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)遞增時，在它們的并集

上不一定保持單調(diào)遞增的性質(zhì)。

5.4.環(huán)節(jié)四初步應(yīng)用，培養(yǎng)技能

例1根據(jù)定義，研究函數(shù)/（x）=—+b（k=。）的單調(diào)性。

師生活動先讓學(xué)生獨立思考研究思路，再進行全班討論，然后學(xué)生給出嚴(yán)

格的表述，教師點評完善解答過程。

教師應(yīng)強調(diào)：雖然我們可以通過圖象比較快速地知道函數(shù)的單調(diào)性，但是

圖象并不嚴(yán)謹(jǐn)，如果遇到更加復(fù)雜的函數(shù)，通過代數(shù)運算得出函數(shù)的單調(diào)性就

比較有優(yōu)勢。

【設(shè)計意圖】一次函數(shù)是比較簡單的函數(shù)模型，學(xué)生可以很容易從觀察圖

象得到函數(shù)的單調(diào)性，但是學(xué)生現(xiàn)在要提升邏輯推理證明的能力，通過簡單的

推理來研究函數(shù)的單調(diào)性。同時讓學(xué)生熟悉利用單調(diào)性定義來研究函數(shù)單調(diào)性

的基本步驟。

k

P——

例2物理學(xué)中的玻意耳定律V心為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣

體，當(dāng)其體積丫減小時，壓強〃將增大。試對此用函數(shù)的單調(diào)性證明。

師生活動先讓學(xué)生獨立思考“體積減小時，壓強增大”的代數(shù)含義。建立

物理意義與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系，再讓學(xué)生獨立給出證明，可以讓學(xué)生進行板書，

完成后再進行點評完善。

【設(shè)計意圖】例2是一個物理學(xué)的公式，同時也是學(xué)生初中所學(xué)的簡單函

數(shù)模型一一反比例函數(shù)。學(xué)生在研究的過程中明確函數(shù)模型可以用來刻畫現(xiàn)實

世界中的現(xiàn)象。而且數(shù)學(xué)研究的不是一個現(xiàn)象，而是從中抽象概括出來的一般

問題，從中不斷歸納出一般規(guī)律以及研究的一般方法。

例3請根據(jù)定義說明,“一"十［在區(qū)間（LK°）上的單調(diào)性。

師生活動先由學(xué)生獨立思考并寫出證明過程，可挑選一兩個同學(xué)的進行演

示，然后再進行全班交流。要引導(dǎo)學(xué)生進一步總結(jié)證明步驟，明確代數(shù)變形的

第7頁共10頁

方向。

【設(shè)計意圖】利用單調(diào)性的定義，通過嚴(yán)格的代數(shù)推理，獲得函數(shù)在（1，收°）

的單調(diào)性，同時也讓學(xué)生掌握對于一個陌生函數(shù)的研究步驟，進一步體會本節(jié)

課函數(shù)單調(diào)性的定義的作用，同時在此啟發(fā)學(xué)生思考函數(shù)在其他區(qū)間的單調(diào)性。

這個函數(shù)的圖象該怎么畫呢？又有什么特點呢？為后續(xù)課程奇偶性做好鋪墊。

5.5.環(huán)節(jié)五課堂小結(jié)，總結(jié)提升

問題回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下列問題：

（1）你認(rèn)為，在理解函數(shù)的單調(diào)性時應(yīng)把握好哪些關(guān)鍵問題？

（2）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，你對函數(shù)性質(zhì)的研究內(nèi)容和方法有什么體

會？

師生活動在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上回答，教師再進行歸納。

【設(shè)計意圖】學(xué)生再對本節(jié)課中的重點知識做一個回顧，特別是在理解單

調(diào)性時要抓住任意。同時還要注意單調(diào)性證明時研究的區(qū)間，明確研究區(qū)間才

能對單調(diào)性進行研究。同時了解研究函數(shù)的一般方法，對于研究函數(shù)性質(zhì)有一

個更加深刻的認(rèn)識。

5.6.環(huán)節(jié)六作業(yè)布置

課后作業(yè)校本作業(yè)。

6.關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和研究方法。

在本節(jié)教材的引入階段，首先解決：為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)，什么叫“函

數(shù)的性質(zhì)”，函數(shù)的性質(zhì)主要有哪些，如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)等問題。教材給出

的回答是：

通過研究函數(shù)的變化規(guī)律來把握客觀世界中事物的變化規(guī)律；

變化中的不變性就是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì)；

函數(shù)的性質(zhì)，如隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減小，有沒有最大值

或最小值，函數(shù)圖像有什么特征等；先畫出函數(shù)圖像，通過觀察和分析圖像的

特征，可以得到函數(shù)的一些性質(zhì)；等等。

7.函數(shù)的單調(diào)性

第8頁共10頁

單調(diào)性內(nèi)容的處理，可以有不同的方法。一段時間以來，大家都采用“例

一規(guī)”法教學(xué)，希望通過適當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)單調(diào)性的刻畫方法，

特別是試圖把“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減?。鞭D(zhuǎn)化為定量的不等式

語言刻畫，以及為什么要“寸玉，、2￡，這兩個難點解決在給出判斷規(guī)

則之前，但教學(xué)效果并不理想。其原因，一是單調(diào)性判斷規(guī)則本身的抽象性，

二是定量化方法的構(gòu)造性。學(xué)生在此之前沒有學(xué)過類似的方法，認(rèn)知準(zhǔn)備不充

分。所以，教材采用了“規(guī)一例”法，即借助具體事例先給出單調(diào)性的判斷規(guī)

則，然后通過問題“設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且

GA,當(dāng)演<七時，都有/a"/8）,我們能說函數(shù)

/