《備考指南 文科數(shù)學》課件-第2章 第9講

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第二章第9講函數(shù)模型及其應用【考綱導學】1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)模型)在社會生活中的廣泛應用．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型：(2)三種函數(shù)模型的性質(zhì)：函數(shù)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)內(nèi)的增減性單調(diào)__________單調(diào)__________單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與__________平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與__________平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增y軸x軸2．解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型．(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型．(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論．(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：【答案】D

【解析】根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99,代入計算,可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D．2．下圖所示是張大爺晨練時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關系的圖象，若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是(

)【答案】D

【解析】由圖可知，張大爺開始勻速離家直線行走，中間一段離家距離不變，說明在以家為圓心的圓周上運動，最后勻速回家．故選D．3．已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog3(x＋1)，設這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到(

)A．100只 B．200只C．300只 D．400只【答案】B

【解析】由題意知100＝alog3(2＋1)，所以a＝100.所以y＝100log3(x＋1)．當x＝8時，y＝100log39＝200.故選B．【答案】11.5

【解析】設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元，日均銷售量為480－40(x－1)＝520－40x(桶)，則y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.當x＝6.5時，y有最大值，所以只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤．1．函數(shù)模型應用不當，是常見的解題錯誤．所以要正確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型．2．要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．3．注意問題反饋．在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學結果對實際問題的合理性．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利．(

)(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快．(

)(3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(

)(4)在(0，＋∞)內(nèi)，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>0)的增長速度．(

)(5)指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增長速度越來越快．(

)(6)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快、短時間內(nèi)變化量較大的實際問題．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√課堂考點突破2一次函數(shù)、二次函數(shù)模型

提高市內(nèi)跨江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：km/h)是車流密度x(單位：輛/km)的函數(shù)．橋上的車流密度達到200輛/km時，造成堵塞，此時車流速度為0；車流密度不超過20輛/km時，車流速度為60km/h.研究表明，當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/h)f(x)＝x·v(x)可以達到最大？并求出最大值(精確到1輛/h)．【規(guī)律方法】一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略：(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型．解決此類問題應注意三點：①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；②確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；③解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題．(2)以分段函數(shù)的形式考查．解決此類問題應關注以下三點：①實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數(shù)模型求解；②構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏；③分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大者(最小者)．【跟蹤訓練】2．某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室．在溫室內(nèi)，沿左、右兩側與后側內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側內(nèi)墻保留3m寬的空地．當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型的應用(1)求常數(shù)λ的值；(2)試計算污染物減少到最初的10%至少需要多長時間？(精確到1h)參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30.【規(guī)律方法】(1)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關的實際問題，在求解時，要先合理選擇模型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖象求解最值，必要時可借助導數(shù)．【跟蹤訓練】3．(2018年上海閔行區(qū)一模)某公司舉辦捐步公益活動，參與者通過捐贈每天的運動步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈給留守兒童，此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻，公司還獲得了相應的廣告效益．據(jù)測算，首日參與活動人數(shù)為10000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%,30天后捐贈運動步的人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平．假設此項活動的啟動資金為30萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元)．(1)求活動開始后第5天的捐步人數(shù)及前5天公司的捐步總收益．(2)活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余？參考數(shù)據(jù)：1.154≈1.749,1.155≈2.011,1.1529≈57.58，1.1530≈66.21.課后感悟提升31個防范——實際問題的定義域要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域.4個步驟——解決實際應用問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型．(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型．(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論．(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：1．(2015年四川)某食品的保