公式法課件人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊

21.2.2公式法第21章一元二次方程人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********展示生活中與一元二次方程相關(guān)的實(shí)際問題情境，如：一個(gè)面積為120平方米的矩形花園，長比寬多2米，求花園的長和寬。設(shè)寬為x米，則長為(x+2)米，可列方程x(x+2)=120。某種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率。設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程56(1-x)2=31.5。引導(dǎo)學(xué)生觀察列出的方程，與之前學(xué)過的一元一次方程進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)這些方程的特點(diǎn)，從而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的一元二次方程的內(nèi)容，讓學(xué)生感受到一元二次方程在解決實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用。（二）知識(shí)講解（30分鐘）一元二次方程的概念給出幾個(gè)不同形式的方程，如x2-3x+2=0，2x2+5x=0，3(x-1)2=27等，讓學(xué)生觀察方程的結(jié)構(gòu)特征?？偨Y(jié)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。強(qiáng)調(diào)“整式方程”這一條件，舉例說明如1/x2+x-1=0不是一元二次方程，因?yàn)樗皇钦椒匠?。講解一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。讓學(xué)生指出前面給出方程的各項(xiàng)系數(shù)，注意當(dāng)系數(shù)為1或-1時(shí)，“1”常省略不寫，但在確定系數(shù)時(shí)要寫出。一元二次方程的解法直接開平方法：以方程x2=9為例，講解直接開平方法的原理和步驟。因?yàn)閤是9的平方根，所以x=±3。推廣到一般形式，對(duì)于方程(x-m)2=n（n≥0），可以直接開平方得到x-m=±√n，進(jìn)而解得x=m±√n。通過練習(xí)如(x-2)2=16，讓學(xué)生掌握直接開平方法。配方法：以x2+6x-7=0為例，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將方程左邊配成完全平方式。首先在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即x2+6x+9-9-7=0，變形為(x+3)2-16=0，再利用直接開平方法求解?？偨Y(jié)配方法的步驟：移項(xiàng)（把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊）、配方（在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）、變形（將方程左邊配成完全平方式）、開平方、求解。通過練習(xí)如x2-4x-5=0，讓學(xué)生鞏固配方法。強(qiáng)調(diào)配方時(shí)加上的數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，且方程兩邊都要加。公式法：對(duì)于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通過配方法推導(dǎo)求根公式。\(\begin{align*}ax?2+bx+c&=0\\ax?2+bx&=-c\\x?2+\frac{a}x&=-\frac{c}{a}\\x?2+\frac{a}x+(\frac{2a})?2&=(\frac{2a})?2-\frac{c}{a}\\(x+\frac{2a})?2&=\frac{b?2-4ac}{4a?2}\end{align*}\)當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，x+\frac{2a}=±\frac{\sqrt{b2-4ac}}{2a}，得到求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}。講解利用公式法解方程的步驟：先確定a、b、c的值，計(jì)算判別式Δ=b2-4ac的值，判斷方程根的情況，當(dāng)Δ≥0時(shí)，代入求根公式求解。通過練習(xí)如2x2-5x+2=0，讓學(xué)生熟練運(yùn)用公式法。因式分解法：以方程x2-3x=0為例，方程左邊可因式分解為x(x-3)=0，根據(jù)“若兩個(gè)因式的積為0，則至少有一個(gè)因式為0”，得到x=0或x-3=0，從而解得x?=0，x?=3?？偨Y(jié)因式分解法的步驟：將方程右邊化為0，把方程左邊因式分解，令每個(gè)因式為0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。通過練習(xí)如(x-1)(x+2)=6，先將方程化為一般形式x2+x-8=0，再嘗試因式分解（若不能分解則考慮其他解法），讓學(xué)生掌握因式分解法。一元二次方程根的判別式回顧公式法中求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}，引出根的判別式Δ=b2-4ac。分析當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。通過具體方程如x2-2x+1=0（Δ=0），x2-2x-3=0（Δ>0），x2+2x+3=0（Δ<0），讓學(xué)生計(jì)算判別式并判斷根的情況，加深理解。應(yīng)用舉例：已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。根據(jù)Δ>0，即(-2)2-4k>0，解得k<1。一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用傳播問題：以流感傳播為例，假設(shè)一開始有1個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人。第一輪傳染后有(x+1)個(gè)人患流感，第二輪傳染后有(x+1)+x(x+1)=(x+1)2個(gè)人患流感，可列方程(x+1)2=121，解得x?=10，x?=-12（舍去）?？偨Y(jié)傳播問題的一般模型：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)對(duì)象傳染了x個(gè)對(duì)象，經(jīng)過n輪傳染后共有a(1+x)?個(gè)對(duì)象被傳染（a為最初的對(duì)象數(shù)）。增長率問題：某工廠去年的利潤為200萬元，預(yù)計(jì)今年和明年的利潤總和為1200萬元，求該工廠利潤的年平均增長率。設(shè)年平均增長率為x，則今年的利潤為200(1+x)萬元，明年的利潤為200(1+x)2萬元，可列方程200(1+x)+200(1+x)2=1200，整理得(1+x)2+(1+x)-6=0，設(shè)y=1+x，方程化為y2+y-6=0，解得y?=2，y?=-3（舍去），即1+x=2，x=1=100%。總結(jié)增長率問題的一般模型：設(shè)初始量為a，平均增長率為x，經(jīng)過n次增長后的量為b，則a(1+x)?=b；若為平均降低率，則a(1-x)?=b。幾何圖形面積問題：在一塊長為32米，寬為20米的矩形空地上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種植花草，使種植花草的面積為540平方米，求道路的寬度。設(shè)道路的寬度為x米，將兩條道路平移到矩形的邊上，可得種植花草部分的長為(32-x)米，寬為(20-x)米，可列方程(32-x)(20-x)=540，展開并整理得x2-52x+100=0，解得x?=2，x?=50（舍去，因?yàn)榈缆穼挾炔豢赡艽笥诰匦蔚膶挘?。?qiáng)調(diào)在解決幾何圖形問題時(shí)，要根據(jù)圖形的特點(diǎn)合理設(shè)未知數(shù)，列出方程，并檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際情況。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解重點(diǎn)難點(diǎn)1.通過閱讀課本學(xué)生可以由配方法推導(dǎo)求根公式，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.2.結(jié)合使用求根公式解一元二次方程的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用公式解決問題的能力，全面培養(yǎng)學(xué)生解方程的能力.3.通過教師講解讓學(xué)生體驗(yàn)到所有一元二次方程都能運(yùn)用公式法去解，形成全面解決問題的積極情感，感受公式的對(duì)稱美、簡潔美，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感.舊知回顧1.用配方法解下列方程：(1)2x2-9x+8=0；(2)3x2+2x+1=0.2.回憶用配方法解方程的一般步驟.

(1)移常數(shù)項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1；(2)配方，

兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(3)寫成(x+n)2=p(p≥0)的形式；(4)直接開平方法解方程.對(duì)于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），能不能利用配方法求出它的解呢？應(yīng)該怎樣做呢？請同學(xué)們?nèi)我膺x擇一個(gè)方程求解：（1）x2-2x-1=0；（2）2x2+7x-15=0.1.閱讀課本9-12頁.請同學(xué)們回憶并說出利用配方法解一元二次方程的步驟.（一移，把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊，常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；二化，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；三配，等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；四開，利用平方根的定義把方程降次；五解，解一元一次方程）自主探究自主探究

自主探究3.請同學(xué)們思考以下問題：①在配成完全平方式后，進(jìn)行開平方運(yùn)算時(shí)，有沒有條件限制？

兩人一組編題互判，首先根據(jù)根的判別式獨(dú)立編制出三個(gè)不同根的情況的一元二次方程，然后將所編方程讓同桌判斷根的情況，并用公式法求解.小組討論小組展示我提問我回答我補(bǔ)充我質(zhì)疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)1：根的判別式（難點(diǎn)）

知識(shí)點(diǎn)2：公式法的概念（重點(diǎn)）

這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.教師講評(píng)知識(shí)點(diǎn)3：用公式法解一元二次方程的一般步驟（重點(diǎn)）

3.代入求根公式：2.求出b2－4ac的值.1.

把方程化成一般形式，并寫出a,b,c的值.4.寫出方程的解：x1，x2.特別注意：當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，一元二次方程才有實(shí)數(shù)根.

教師講評(píng)知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程根的情況（難點(diǎn)）注意：運(yùn)用根的判別式時(shí)要注意a,b,c的符號(hào)，若已知一元二次方程解的情況，也能得到根的判別式的符號(hào).

教師講評(píng)返回1.[2024深圳南山區(qū)期末]用配方法解方程x2－4x－1＝0時(shí)，配方后正確的是(

) A.(x＋2)2＝3

B.(x＋2)2＝17

C.(x－2)2＝5

D.(x－2)2＝17 C返回2.[2023溫州期中]若用配方法解方程x2＋4x＋1＝0時(shí)，將其配方為(x＋b)2＝c的形式，則c＝(

) A.2B.3C.0D.1 B返回3.[2023南通海門市一模]用配方法解一元二次方程2x2＋4x－5＝0時(shí)，將它化為(x＋a)2＝b的形式，則a＋b的值為(

) B返回4.將一元二次方程2y2－2＝4y化成(y－m)2＝n的形式，則(m－n)2025的值為(

) A.1 B.－2025 C.2025 D.－1 D【點(diǎn)撥】∵2y2－2＝4y，∴2y2－4y＝2，y2－2y＝1，y2－2y＋1＝1＋1，(y－1)2＝2，∴m＝1，n＝2，∴(m－n)2025＝(1－2)2025＝－1.5.[2023南寧模擬]解方程：

(1)x(x－2)－3＝0；【解】方程整理得x2－2x－3＝0，∴x2－2x＝3，∴x2－2x＋1＝3＋1，∴(x－1)2＝4，解得x1＝3，x2＝－1.返回(2)－2x2＋7x－6＝0.返回6.[2023天津期末]若代數(shù)式49x2－2的值與代數(shù)式14x＋