圓與圓的位置關(guān)系7學(xué)案

第11講圓與圓的位置關(guān)系

這部分要點主要有：兩圓的五種位置關(guān)系、相交兩圓的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)、兩圓公切線的定義、

性質(zhì)和作法、公切線長的計算方法等.

1、圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓的位置關(guān)系共有5種，是由兩圓的公共點來定義的：

兩圓沒有公共點——外離或內(nèi)含；

兩圓有唯一公共點——外切或內(nèi)切；

兩圓有兩個公共點——相交.

2、兩圓位置關(guān)系的判定

除定義外，既可根據(jù)兩圓半徑與圓心距的關(guān)系來判定，又可根據(jù)兩圓內(nèi)、外公切線的總條數(shù)來判定.

設(shè)兩圓的半徑分別為R、r(R>r),圓心距為d.

(1)兩圓外離=兩圓有4條公切線；

(2)d=兩圓外切O兩圓有3條公切線；

(3)兩圓相交。兩圓有2條公切線；

(4)d=兩圓內(nèi)切O兩圓有1條公切線；

(5)兩圓內(nèi)含。兩圓沒有公切線；

3、兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)定理：

(1)圓是軸對稱圖形，兩個圓也組成一個軸對稱圖

形，通過兩圓圓心的直線(連心線)是它的對稱軸;

(2)如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上；

(3)如果兩圓相交于A、B,那么連心線垂直平分

公共弦AB；

(4)如果兩個半徑不等的圓相離，那么內(nèi)公切線交

點、外公切線交點都在連心線所在的直線上，并且

該直線平分兩外公切線所夾的角和兩內(nèi)公切線所

夾的角；

(5)如果兩條外公切線分別切圓Oi于A、B兩點,

切圓。2于C、D兩點，那么兩條外公切線長相等,

且AB、CD都被0］。2垂直平分.

4、兩圓關(guān)系常用輔助線

(1)作相交兩圓的公共弦，利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系；

(2)兩圓相切，作過切點的公切線，利用弦切角定理溝通兩圓角的關(guān)系；

(3)作相交兩圓的連心線，利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)計算問題;

(4)兩圓相切，作連心線，利用連心線經(jīng)過切點的性質(zhì)，解決有關(guān)計算問題；

(5)有關(guān)公切線問題，常平移公切線，組成以公切線、圓心距、兩圓半徑差(或和)為三邊的直角三

角形，通過解直角三角形來解決.

一、例題

例1已知，如圖。O］和002相交于A、B兩點，O］在。02上，。。2的弦BC切。O1于B,延長BOi、

CA交于點P,PB與。Oi交于點D；

(1)求證：AC是。Oi的切線；(2)連結(jié)AD、OiC,求證：AD〃O］C；(3)如果PD=LG)Oi的半徑是2,

求BC的長.

例2如圖，已知。Oi和。Ch相交于B、C兩點，點A在BC的延長線上，AE、AF分別切。Oi和。。2

于E、F,連結(jié)EF恰好過點C,求證：⑴ZAEF=ZAFE；(2)CECF=CACB；

例3如圖，已知。Oi和相交于A、B兩點，P是。Oi上一點，PB的延長線交。。2于C,PA交。。2

于D,CD的延長線交€)Oi于N；

(1)過點A作AE〃CN交€)01于E,求證：PA=PE；

(2)連結(jié)PN,若PB=4,BC=2,求PN的長.

例4如圖所示4ABC中，ZBAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于點D和E,延長AC交過D、E、

C三點的圓于點F.

(1)求證：EF2-ED?EA;

(2)若AE=6,EF=3,求AF?AC的值.

例5如圖所示，已知4ABC內(nèi)接于OO”AB=AC,G>Oz與BC相切于點B,與AB相交于點E,與。

Oi相交于點D,直線AD交。。2于點F,交CB的延長線于點G.求證：(1)NG=NAFE；(2)AB?B=DF<AG

例6自圓O的直徑AB的兩端引弦AD和BE,相交于圓內(nèi)C,求證:

AC?AD+BC?BE=AB2

例7圖中，OOi和。02內(nèi)切于P點，過P作直線交。Oi于A點，交。02于B點，C為。Oi上一點，過

B作002的切線交直線AC于Q點；

(1)求證：AC?AQ=AP-AB；(2)若將兩圓內(nèi)切改為外切，其它條件不變，則(1)中的結(jié)論是否成立？畫出

圖形并證明你的結(jié)論.

例8兩圓內(nèi)切于點P,大圓的弦AD和小圓相離，PA、PD交小圓于點E、F,直線EF交大圓于點B、C,

求證；ZAPB=ZCPD；

例9圖中，0O1和。O內(nèi)切于P點，001經(jīng)過點O,。。的弦AB切OOi于點C,PB交。Oi于點D,

(1)求證：AC?BC=PA?PD；(2)若PA=3,PB=8,求AB的長；

例10(切點三角形)“切點三角形”是指兩圓外切于點P,這兩圓的一條外公切線切兩圓于A、B兩點,

連結(jié)這三個切點所成的三角形，如圖中AABP就是切點三角形，若。Oi和半徑分別為小弓；證明切

點三角形的以下性質(zhì)：

(1)AP±PB；

⑵AB2=4/-/;；

(3)AABP三邊之比為：五?：花：；

(4)AABP的外接圓與0102相切，此外接圓的半徑是缶弓的

比例中項；

(5)AABP斜邊與以O(shè)1O2為直徑的圓相切.

例11如圖，已知。O和。O,外切于點P,CD為外公切線，C、D為切點，直線APB分別交兩圓于A、B,

AC的延長線與BD的延長線交于E；

求證：NE=90°

例12如圖，€）01的半徑門=6,的半徑。=2,且兩圓外切，AB和AC是兩圓的外公切線，點B、C、

D、E分別是切點；

（1）求NBAC的度數(shù)；

（2）在線段02A上存在以Ch為圓心，半徑為門的圓，若。03與。02外切，且AB和AC是它們的外

公切線，則稱。03為點圓，求03圓的半徑；

（3）同上，設(shè)在線段03A上的點04圓的半徑為3線段04A上的點觸圓的半徑為北……線段On」A

上點On的圓的半徑為求I*n（用n表示）；

二、練習(xí)題

1、若兩圓只有一條公切線，則這兩個圓的位置關(guān)系是（）

A.外切B.內(nèi)切C.內(nèi)含D.外離

2、若兩圓的半徑為10和3,外公切線長是14,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.外離B.相交C.內(nèi)切D.外切

3、若兩圓外切，兩條外公切線互相垂直，大圓半徑為5,則外公切線的長為（）

A.5(3—2應(yīng))B.5C.10(72-1)D.5(5-20)

4、若相交兩圓的公共弦長為24,它們的半徑長是方程/一35工+300=0的兩個根，則這兩個圓的圓心距

是（）

A.16B.7C.25D.7或25

5、如圖所示，（DO1和。02內(nèi)切于點P,002的弦AB經(jīng)過。Oi的圓心Oi，交。Oi于C、D,若AC：

CD：DB=3：4：2,則。Oi與的直徑之比為（）

A.2：7B.2：5C.1：4D.1：3

6、兩圓相切，半徑為10和4,則圓心距為

7、如圖，已知AD=30,點B、C是AD上的三等分點，分別以AB、BC>CD為直徑作圓，圓心分別為

E、F、G,AP切。G于點P,交。F于點M、N,則弦MN的長為；

8、圖中0Oi和OOz外切于點P,AB分別切0Oi和002于點A、B,AP的延長線交OCh于C,CD切

。。1點D,求證：BC=CD；

P

0,

D

9、如圖，AB是。。的直徑，C是圓