第3課時 角平分線的性質(zhì)及畫法

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簡單的軸對稱圖形第3課時

角平分線的性質(zhì)及畫法第五章生活中的軸對稱講授新課當堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入目錄新課導(dǎo)入教學(xué)目標教學(xué)重點新課導(dǎo)入挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分

線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？提煉圖形

問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.知識目標1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點）2.理解并掌握角平分線的性質(zhì)及畫法．(重點）3.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.

（重點）講授新課典例精講歸納總結(jié)1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.1知識點角平分線的性質(zhì)驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.試說明：PD=PE.PAOBCDE解：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC講授新課2知識點尺規(guī)做角平分線問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？做一做：請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.ABO提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點MN為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC例1:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用典例精析ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解典例精析某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，如圖(點M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路)．現(xiàn)計劃在∠AOB內(nèi)修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．(1)你能確定倉庫應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計方案；(2)闡述你的設(shè)計理由．到M，N兩點的距離相等的點在線段MN的垂直平分線上，到OA，OB距離相等的點在∠AOB的平分線上．(1)倉庫應(yīng)該建在MN的垂直平分線和∠AOB的平分線的交點P處．如圖.(2)MN的垂直平分線l上的點到M，N兩點的距離相等，∠AOB的平分線OC上的點到OA，OB的距離相等．P為l和OC的交點，因此P點即為所求．解：導(dǎo)引：當堂練習(xí)當堂反饋即學(xué)即用當堂練習(xí)1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG2.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA3.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，解得AC＝3.F方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．4.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，BC邊上有一點E，連接DE，則AD與DE的關(guān)系為(

)A．AD>DEB．AD＝DEC．AD<DE

D．不確定易錯點：運用角的平分線的性質(zhì)時，常因忽略“到角兩邊的距離”而導(dǎo)致錯誤D5.先任意畫一個角，然后將它四等分.（來自《教材》）如圖．點撥：

畫出已知角∠AOB.①作∠AOB的平分線OC.②分別作∠BOC和∠AOC的平分線OD，OE.OC，OD，OE即將∠AOB四等分．解：6.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,