2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版期中必刷常考題之向量應(yīng)用

第29頁（共29頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之向量應(yīng)用一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?邢臺期末）已知單位向量a→和b→的夾角為θ，且cosθ=A．1 B．2 C．2 D．22．（2024?河北模擬）1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產(chǎn)運(yùn)動，最終走出了困境．如圖就是當(dāng)時(shí)纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段AB與CD所在直線異面垂直，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD，線拐子使用時(shí)將絲線從點(diǎn)A出發(fā)，依次經(jīng)過D、B、C又回到點(diǎn)A，這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中AB＝EF＝CD＝30cm，則絲線纏一圈長度為（）A．902cm B．903cm C．603．（2024秋?青島校級期中）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P為△ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且PC＝1．則|PA→+A．213+2 B．13+1 C．72 D4．（2024秋?成都校級月考）點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有PA→+7PB→+5BC→=0→，直線AP，CP分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，記△ACD，△APE的面積分別為S1A．2125 B．1625 C．1635 5．（2024秋?普陀區(qū)校級期中）已知點(diǎn)A1，A2，?，An（n∈N，n≥2）均在圓O上，若有OA1→+OA2→+?+OAn→=A．0個(gè) B．僅有1個(gè) C．僅有2個(gè) D．3個(gè)或以上二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?葫蘆島期末）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M為線段BC的中點(diǎn)，AM與BD交于點(diǎn)N，P為線段CD上的一個(gè)動點(diǎn)（）A．AN→B．向量AD→與CN→C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2 D．若AP→=λAB→+（多選）7．（2024春?惠山區(qū)校級期末）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。耙獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．下列說法正確的是（）A．正三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是正三角形的中心 B．若P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA→+PB→C．若△ABC三邊長分別為1，3，2，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和為7 D．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠A=π2，bc＝2，若點(diǎn)P（多選）8．（2024秋?錫林郭勒盟期中）下列說法中正確的是（）A．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為6的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是12% B．a(chǎn)→，b→的夾角為鈍角的充要條件是C．?dāng)?shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位數(shù)是18 D．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x10的方差為1，則數(shù)據(jù)3x1﹣1，3x2﹣1，?，3x10﹣1的方差為8三．填空題（共4小題）9．（2024秋?西青區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD→=2DB→，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP→=mAC→+14AB→，則實(shí)數(shù)m的值為10．（2024秋?漯河期末）若在斜二測畫法得到的直觀圖中，m→，n→分別是x'y'上的單位向量，定義：若O'M→=xm→+yn→，則點(diǎn)M在直觀圖的坐標(biāo)系x'O'y'中的坐標(biāo)為（x，y）．已知在直觀圖的坐標(biāo)系x'O'y'中的點(diǎn)A坐標(biāo)為11．（2024秋?廣州校級期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，稱向量OM→=(a，b)為函數(shù)f（x）的互生向量，同時(shí)稱函數(shù)f（x）為向量OM→的互生函數(shù)．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(π2+x)+cos(-x)，則f（x）的互生向量OM→=12．（2024秋?濱州期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥OQ，交OP于點(diǎn)D，則△OCD的面積的最大值為四．解答題（共3小題）13．（2024春?高新區(qū)校級月考）在斜△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知1+sinA（1）若c2﹣a2＝ab，求∠A，∠B，∠C的值；（2）若c＝2，求CA→14．（2024春?高新區(qū)校級月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3sin（1）若sinC＝2sinA，求AB→在BC→上的投影向量；（用向量（2）若a＝3，S△ABC=1534，BD為∠ABC的平分線，BE15．（2024秋?廣東月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S=3，且a2+43S＝（b+c）2，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上且AE＝2EC，線段CD與線段BE交于點(diǎn)M（1）求角A的大??；（2）若AM→=xAB→（3）若點(diǎn)G是△ABC的重心，求線段GM的最小值．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷常考題之向量應(yīng)用參考答案與試題解析題號12345答案DCADC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?邢臺期末）已知單位向量a→和b→的夾角為θ，且cosθ=A．1 B．2 C．2 D．2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算律得出(2a【解答】解：因?yàn)閱挝幌蛄縜→和b→的夾角為θ，且所以(2a所以|2a故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?河北模擬）1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產(chǎn)運(yùn)動，最終走出了困境．如圖就是當(dāng)時(shí)纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段AB與CD所在直線異面垂直，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD，線拐子使用時(shí)將絲線從點(diǎn)A出發(fā)，依次經(jīng)過D、B、C又回到點(diǎn)A，這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中AB＝EF＝CD＝30cm，則絲線纏一圈長度為（）A．902cm B．903cm C．60【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【專題】整體思想；綜合法；推理和證明；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】依題意可得BD→=BE→+【解答】解：依題意EB→⊥EF→，所以EB→?EF→=0又BD→所以BD＝152+302+152＝152×6，所以|BD→|=15所以絲線纏一圈長度為4×故選：C．【點(diǎn)評】本題考查向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024秋?青島校級期中）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P為△ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且PC＝1．則|PA→+A．213+2 B．13+1 C．72 D【考點(diǎn)】平面向量的綜合題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)P在以C為圓心、半徑r＝1的圓上運(yùn)動，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則PA→+PB→=2PD【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則PA→+PB△ACD中，∠A＝90°，AD=12AB＝2，AC＝3，可得CD因?yàn)镻為△ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且PC＝1，所以點(diǎn)P的軌跡是以C為圓心、半徑r＝1的圓，可知|PD→|的最大值為CD+r=13結(jié)合PA→+PB→=2PD→，可知|PA→+PB→|故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的線性運(yùn)算法則、三角形中線的性質(zhì)、解三角形及其應(yīng)用、圓的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．4．（2024秋?成都校級月考）點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有PA→+7PB→+5BC→=0→，直線AP，CP分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，記△ACD，△APE的面積分別為S1A．2125 B．1625 C．1635 【考點(diǎn)】平面向量的綜合題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由向量的加法法則結(jié)合三點(diǎn)共線確定點(diǎn)P的位置，再結(jié)合三角形的面積公式求解即可．【解答】解：由PA→+7PB即PA→因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得PB→設(shè)PA→=x可得xPD即(x由于PD→，則x+2λ=0即PA→=-7PD同理，設(shè)PC→=μ因?yàn)锳，E，B三點(diǎn)共線，所以-2-5又由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得sin∠CPA＝sin∠CPD，所以S=1=3故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的綜合應(yīng)用，屬中檔題．5．（2024秋?普陀區(qū)校級期中）已知點(diǎn)A1，A2，?，An（n∈N，n≥2）均在圓O上，若有OA1→+OA2→+?+OAn→=A．0個(gè) B．僅有1個(gè) C．僅有2個(gè) D．3個(gè)或以上【考點(diǎn)】平面向量的綜合題．【專題】分類討論；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圓的特征，分n＝2，n＝3，n≥4三種情況討論可判定結(jié)論．【解答】解：由題意有OA當(dāng)n＝2時(shí)，兩向量共線反向，A1，A2平分圓O，符合題意；當(dāng)n＝3時(shí)，由OA1→+O變形可得OA兩邊平方可得OA所以1＝1+2×1×1×cos∠A2OA3+1，解得cos∠因?yàn)?＜∠A2OA3＜π，所以∠A同理可得∠A1O所以A1，A2，A3平分圓O，若n≥4，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，只要分為n2可得OA比如過圓心的兩條直線與圓相交的四個(gè)點(diǎn)，滿足OA所以A1，A2，?，An不一定平分圓，故不符合題意；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可分三個(gè)點(diǎn)，使這三個(gè)向量滿足OA可得A1，A2，A3平分圓O，另外剩余的一定是偶數(shù)點(diǎn)，由前面知道，這些點(diǎn)可分組，但不一定平分圓，故可得A1，A2，?，An不一定平分圓，綜上所述，只有n＝2與n＝3符合題意，故滿足要求的n的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查向量的運(yùn)算及性質(zhì)，考查圓的特征，屬中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?葫蘆島期末）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M為線段BC的中點(diǎn)，AM與BD交于點(diǎn)N，P為線段CD上的一個(gè)動點(diǎn)（）A．AN→B．向量AD→與CN→C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2 D．若AP→=λAB→+【考點(diǎn)】平面向量的綜合題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】ACD【分析】利用平面向量的基本定理求出AN→關(guān)于AB→，AD→利用平面向量的線性運(yùn)算可得出CN→關(guān)于AB→，AD→推導(dǎo)出AN→=45AM→，可得出△ACN、△分析可知存在m∈[0，1]，使得DP→=mDC→=12mAB→，利用平面向量的基本定理可得出λ+【解答】解：對于A選項(xiàng)，由題意可知，DC→=12AB→，則則BM→=MC→，即AM→-AB因?yàn)锳、N、M三點(diǎn)共線，所以存在t∈R，使得AN→=t因?yàn)锽、D、N三點(diǎn)共線，所以t2+3t4=1，解得t對于B選項(xiàng)，因?yàn)镃N→=AN→-AC→=（25AD→+對于C選項(xiàng)，因?yàn)镸為線段BC的中點(diǎn)，所以S△ACM＝S△BCM=12S△由A選項(xiàng)的分析知，AN→所以S△ACN=45S△ACM=25S△ABC，同理，S△ABN=25S△ABC，則S△所以S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)锳P→=AB→+BP→=AB所以若AP→=λAB→+μAD→，則λ＝1，μ=m2，當(dāng)m故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量基本定理以及向量共線定理，屬于中檔題．（多選）7．（2024春?惠山區(qū)校級期末）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。耙獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．下列說法正確的是（）A．正三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是正三角形的中心 B．若P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA→+PB→C．若△ABC三邊長分別為1，3，2，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和為7 D．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠A=π2，bc＝2，若點(diǎn)P【考點(diǎn)】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】ABC【分析】對A，根據(jù)正三角形中心的性質(zhì)結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)定義易判斷；對B，取AB的中點(diǎn)D，由PA→+PB→+PC→=可得點(diǎn)P是△對C，利用三角形旋轉(zhuǎn)，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)定義，構(gòu)造正三角形轉(zhuǎn)化線段長求解；對D，由向量數(shù)量積定義，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)定義和三角形等面積法列式求解．【解答】解：對于A，若O是正三角形ABC的中心，根據(jù)正三角形的性質(zhì)易得∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，所以點(diǎn)O是正三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，故A正確；對于B，如圖，取AB的中點(diǎn)D，則PA→+PB→=2PD→，因?yàn)镻A→+PB→+PC→=0又點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，則∠APD＝∠BPD＝60°，又AD＝BD，由等面積法可得PA＝PB，同理可得PC＝PB，所以PA＝PB＝PC，所以點(diǎn)P是△ABC的外心，所以點(diǎn)P是△ABC的中心，即△ABC是正三角形．故B正確；對于C，如圖，在Rt△ABC中，AB＝1，BC=3，AC＝2，∠ACB＝設(shè)點(diǎn)O是Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，將△COA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CED，易證△COE，△ACD是正三角形，則OC＝OE，OA＝DE，CD＝AC，且點(diǎn)B，O，E、D共線，所以∠BCD＝90°，所以BD=BC即該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和為7，故C正確；對于D，由費(fèi)馬點(diǎn)定義可得∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，設(shè)PA＝x，PB＝y(tǒng)，PC＝z，x，y，z＞0，由SΔABC＝S△PAB+S△PAB+S△PAB，可得12xy整理得xy+yz=-12故選：ABC．【點(diǎn)評】本題主要考查費(fèi)馬點(diǎn)的定義和平面向量的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?錫林郭勒盟期中）下列說法中正確的是（）A．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為6的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是12% B．a(chǎn)→，b→的夾角為鈍角的充要條件是C．?dāng)?shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位數(shù)是18 D．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x10的方差為1，則數(shù)據(jù)3x1﹣1，3x2﹣1，?，3x10﹣1的方差為8【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；方差；百分位數(shù)．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，結(jié)合已知條件判斷選項(xiàng)A；根據(jù)a→?b→＜【解答】解：從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為6的樣本，個(gè)體m被抽到的概率是12%，選項(xiàng)A正確；a→與b→反向時(shí)，夾角不為鈍角，但a→?b→將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，又10×0.5＝5，所以這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為12×（17+19）＝18，選項(xiàng)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x10的方差為1，則數(shù)據(jù)3x1﹣1，3x2﹣1，?，3x10﹣1的方差為32×1＝9，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)據(jù)的分析與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?西青區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD→=2DB→，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP→=mAC→+14AB→，則實(shí)數(shù)m的值為【考點(diǎn)】平面向量的綜合題；三角形中的幾何計(jì)算；平面向量的模；平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】58；30【分析】設(shè)CP→=λCD→，利用平面向量的線性運(yùn)算法則，算出AP→=（1﹣λ）AC→+根據(jù)∠BAC＝60°且△ABC的面積為43，算出bc＝16，然后運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量的模的公式，算出|AP→|2=2564b2【解答】解：設(shè)CP→=λCD→，則AP→=AC→+CP→=AC→+由AD→=2DB→，得AD→=23AB結(jié)合題意AP→=mAC→所以AP→=58AC→+14AB→，設(shè)|可得|AP→|2＝（58AC→因?yàn)椤鰽BC的面積S=12bcsinA=43，所以34bc由基本不等式得2564b2+116所以|AP→|2≥152，可得|AP→|≥302，當(dāng)b=4105且故答案為：58；30【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則、平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)用基本不等式求最值等知識，考查了計(jì)算能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．10．（2024秋?漯河期末）若在斜二測畫法得到的直觀圖中，m→，n→分別是x'y'上的單位向量，定義：若O'M→=xm→+yn→，則點(diǎn)M在直觀圖的坐標(biāo)系x'O'y'中的坐標(biāo)為（x，y）．已知在直觀圖的坐標(biāo)系x'O'y'中的點(diǎn)A坐標(biāo)為(3，【考點(diǎn)】平面向量的綜合題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】5或17（其中一個(gè)即給分）．【分析】根據(jù)題意，分析可得＜m→，n→＞=45°或135【解答】解：根據(jù)題意，在斜二測畫法得到的直觀圖中，m→，n→分別是x'y'上的單位向量，則＜m→，n在直觀圖的坐標(biāo)系x'O'y'中的點(diǎn)A坐標(biāo)為(3，2)，則O若＜m→，n→＞=45°，則O'A→2＝9m→2+2n→2+62m若＜m→，n→＞=135°，則O'A→2＝9m→2+2n→2+62m→?故|O'A|=5或17故答案為：5或17（其中一個(gè)即給分）【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及直觀圖中點(diǎn)坐標(biāo)的表示，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024秋?廣州校級期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，稱向量OM→=(a，b)為函數(shù)f（x）的互生向量，同時(shí)稱函數(shù)f（x）為向量OM→的互生函數(shù)．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(π2+x)+cos(-x)，則f（x）的互生向量OM→=（﹣1，1【考點(diǎn)】平面向量的綜合題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（﹣1，1）；(2，【分析】化簡函數(shù)為f（x）＝﹣sinx+cosx可得互生向量，化簡g（x），作出簡圖，可得k的范圍．【解答】解：因?yàn)閒(所以f（x）的互生向量OM→由題意，f（x）＝2sinx，則g(若函數(shù)g（x）在[0，2π]上有四個(gè)零點(diǎn)，則k=2sinx+23|cosx|設(shè)h(則函數(shù)y＝h（x）與y＝k在[0，2π]上的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，又h=4由三角函數(shù)性質(zhì)作其函數(shù)圖象如圖所示，由三角函數(shù)圖象及性質(zhì)可知k的取值范圍為(2，故答案為：（﹣1，1）；(2，【點(diǎn)評】本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．12．（2024秋?濱州期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥OQ，交OP于點(diǎn)D，則△OCD的面積的最大值為【考點(diǎn)】平面向量的綜合題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】312【分析】首先得到∠CDO=2π3，設(shè)∠【解答】解：因?yàn)椤螾OQ=π3，CD∥設(shè)∠COD=α在△OCD中，由正弦定理可得OCsin即1sin2π所以S=3=1=1=3因?yàn)?＜α＜顯然當(dāng)2α+π6=π2，即α故答案為：312【點(diǎn)評】本題考查正弦定理及三角恒等變換，屬中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024春?高新區(qū)校級月考）在斜△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知1+sinA（1）若c2﹣a2＝ab，求∠A，∠B，∠C的值；（2）若c＝2，求CA→【考點(diǎn)】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）A=（2）82【分析】（1）由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，余弦定理，正弦定理解三角形即可；（2）由正弦定理，向量的數(shù)量積及基本不等式求最小值即可．【解答】解：（1）由1+sinA可得1+sinA即cosAcosB＝sinBsinA+sinB，即cos（A+B）＝sinB，則有﹣cosC＝sinB＞0，故cosC＜0，即π2由﹣cosC＝sinB，得sin(所以C-π2由c2﹣a2＝ab，可得c2＝a2+ab＝a2+b2﹣2abcosC，整理得a＝b﹣2acosC，由正弦定理，可得sinA＝sinB﹣2sinAcosC＝sin（A+C）﹣2sinAcosC＝cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A），即sinA＝sin（C﹣A），故A＝C﹣A或A+C﹣A＝π（舍），所以C＝2A，由A+(2解得A=（2）由（1）知，C=由正弦定理，得asin故a=即CA=4(2≥4(2當(dāng)且僅當(dāng)2cos2所以CA→?CB【點(diǎn)評】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換與基本不等式的綜合應(yīng)用，屬中檔題．14．（2024春?高新區(qū)校級月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3sin（1）若sinC＝2sinA，求AB→在BC→上的投影向量；（用向量（2）若a＝3，S△ABC=1534，BD為∠ABC的平分線，BE【考點(diǎn)】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）BC→（2）419【分析】（1）由已知化簡可解得B=2π3，再結(jié)合sinC＝2sinA，利用正弦定理可得|AB（2）先用三角形面積公式求c，再利用S△ABC＝S△ABD+S△BCD求得|BD|，又BE為中線，所以由BE→=12(【解答】解：（1）由已知，可得3=3=sinB+3又0＜B＜π，故B=因?yàn)樵凇鰽BC中，sinC＝2sinA，而|BC|sinA所以AB→在BC|AB（2）由題意，S△ABC=12由S△ABC＝S△ABD+S△BCD，可得153解得|BD|=15所以|BE所以BEBD【點(diǎn)評】本題考查平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用，屬中檔題．15．（2024秋?廣東月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S=3，且a2+43S＝（b+c）2，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上且AE＝2EC，線段CD與線段BE交于點(diǎn)M（1）求角A的大??；（2）若AM→=xAB→（3）若點(diǎn)G是△ABC的重心，求線段GM的最小值．【考點(diǎn)】平面向量的綜合題；解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）A=（2）x+（3）26【分析】（1）a2+43S=(b（2）由三點(diǎn)共線得到AM→=λAC→（3）由重心定義得到AG→=13(AB→+AC→)【解答】解：（1）因?yàn)閍2所以43所以3sinA即3sinA=cosA又A∈（0，π），所以A-所以A=（2）由題意AE→=2由D、M、C三點(diǎn)共線，可得DM→即AM→-AD所以AM→同理由B、M、E三點(diǎn)共線，可得AM→所以λ=所以x+（3）由G是△ABC的重心，得AG→所以GM→所以S△則GM≥2當(dāng)且僅當(dāng)c＝2b時(shí)，等號成立，所以|GM→|≥132故線段GM的最小值為26【點(diǎn)評】本題考查平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用，屬中檔題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的?！局R點(diǎn)的認(rèn)識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算模：也就是AB→﹣實(shí)際應(yīng)用：用于求解平面幾何中的距離問題，如兩點(diǎn)間的距離等．【命題方向】﹣向量模的計(jì)算：考查如何計(jì)算向量的模，并應(yīng)用于幾何問題．﹣向量長度的應(yīng)用：在問題中如何利用向量的長度解決實(shí)際問題，如物體的位移和距離計(jì)算．如圖，在2×4的矩形中，起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格頂點(diǎn)，且模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如圖，設(shè)小正方形的邊長為1，則|AB→|=則長度為5的對角線有20個(gè)，分別為AB，DE，F(xiàn)G，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，F(xiàn)Q，∴模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案為：39．2．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、向量的夾角概念：對于兩個(gè)非零向量a→，b→如果以O(shè)為起點(diǎn)，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→?b→=|a→||b→|cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為注意：①a→?b→②符號“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一個(gè)數(shù)量|b→|cos（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：a→與b→的數(shù)量積a→?b→等于a→的長度|a→|與b3．平面向量的基本定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．平面向量的綜合題【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．2、相關(guān)概念（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB（2）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0（3）單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．3、向量的加減運(yùn)算求幾個(gè)向量和的運(yùn)算叫向量的加法運(yùn)算，其運(yùn)算法則有二：（1）三角形法則：設(shè)a→與b→不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作AB→=a，BC→=b，則向量叫做a特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于AD→=BC→，根據(jù)三角形法則得AB→+AD特征：有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相加，其和向量等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）（3）向量的加法性質(zhì)①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）向量的減法運(yùn)算．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫向量的減法運(yùn)算．法則：以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為a→與b→的差，即a→設(shè)a→=OA→，b特征；有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一個(gè)向量，叫做a→與b5．三角形中的幾何計(jì)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、幾何中的長度計(jì)算：（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判斷三角形的形狀；③實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個(gè)角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．2、與面積有關(guān)的問題：（1）三角形常用面積公式①S=12a?ha（ha表示邊②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面積問題的解法：①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．②割補(bǔ)法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補(bǔ)形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個(gè)三角形，再由三角形的面積公式求解．【解題方法點(diǎn)撥】幾何計(jì)算最值問題：（1）常見的求函數(shù)值域的求法：①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；②逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域．（2）正弦，余弦，正切函數(shù)值在三角形內(nèi)角范圍內(nèi)的變化情況：①當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤cosα≤1；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．②當(dāng)角度在90°～180°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤cosα≤0；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．6．解三角形【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．已知兩角和一