2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版期中必刷?？碱}之簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

第28頁(yè)（共28頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷常考題之簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?楚雄州期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝6，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，則該三棱柱外接球的表面積為（）A．144π B．72π C．36π D．18π2．（2024秋?諸暨市期末）某商場(chǎng)有甲乙丙三款價(jià)格相同，單張厚度與寬度也都相同的圓柱體形卷紙．其中甲款卷紙直接繞成圓柱體，圓柱底面直徑為60mm；乙款卷紙繞在圓柱體空心紙筒上，紙筒直徑為30mm，整個(gè)圓柱底面直徑為75mm；丙款卷紙也繞在圓柱體空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，整個(gè)圓柱底面直徑為80mm．三款卷紙中，性價(jià)比最高的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．都一樣3．（2024秋?金華期末）以邊長(zhǎng)為1的正方形的一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積為（）A．π3 B．π C．2π D．44．（2025?延慶區(qū)模擬）某圓錐高為3，母線與底面所成的角為π3A．3π B．4π C．5π D．6π5．（2025?雁江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將底面半徑為1高為3的圓錐截去體積為π27的錐尖A．810π9 B．1610π9 C二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?南陽(yáng)期末）小明在“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”課中，取兩個(gè)三角形模具，把它們的斜邊靠在一起，如圖所示，三角形模具ABC繞著AC可以轉(zhuǎn)動(dòng)．其中斜邊AC＝10，∠BAC=πA．當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)，BDB．當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，則AE=5C．當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí)，BD=5D．當(dāng)A、B、C、D不共面時(shí)，四點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，且此球的體積為500（多選）7．（2024秋?武漢期末）在正三棱錐P﹣ABC中，AB=23，PA=7，三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球球心為O，頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為Q，且A．三棱錐P﹣ABC的體積為3 B．二面角M﹣AB﹣P的余弦值為27C．球O的表面積為43D．若在此三棱錐中再放入一個(gè)球O1，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球O1的半徑為3（多選）8．（2024秋?運(yùn)城期末）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，B1A．平面GEF截正方體所得截面為四邊形 B．若λ=12，則D1B1C．無(wú)論λ取何值，三棱錐C﹣EFG的體積始終為1 D．異面直線BC與AG所成的角的余弦值的取值范圍為[0三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若點(diǎn)A，B，C，D均在球O的表面上，且AB＝BC＝CD＝1，則球O的表面積為．10．（2024秋?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），Q是棱CC1的中點(diǎn)，則三棱錐D1﹣PBQ體積的最大值為．11．（2024秋?畢節(jié)市校級(jí)期末）《九章算術(shù)?商功》中將正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物稱為方亭．現(xiàn)有一方亭ABCD﹣A1B1C1D1，已知AB＝1，且該方亭的高為6，體積為26，則A1B1＝．12．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）正四棱錐P﹣ABCD底面邊長(zhǎng)和高均為2，E，F(xiàn)，G，H分別是其所在棱的中點(diǎn)，則棱臺(tái)EFGH﹣ABCD的體積為．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?漢壽縣校級(jí)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD、側(cè)棱PA＝PD=2，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O為AD（1）求證：PO⊥平面ABCD；（2）求三棱錐A﹣PCD的體積．14．（2025?衛(wèi)輝市校級(jí)模擬）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1B與AB1的交點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面A1ACC1；（2）若A1A＝AC＝3，BC＝4，AB＝5，求四棱錐B﹣A1ACC1的體積．15．（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的幾何體，是將體積為12π、底面半徑為2的圓柱沿著過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的，AB、BC為底面直徑，BE、CD為圓柱的母線，O1、O2、O2′分別為AB、BC、DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧AB的中點(diǎn)，G為弧BC的中點(diǎn)．（1）求這個(gè)幾何體的表面積；（2）求異面直線CF與GO2′所成角的余弦值．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積參考答案與試題解析題號(hào)12345答案BCBAA一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?楚雄州期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝6，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，則該三棱柱外接球的表面積為（）A．144π B．72π C．36π D．18π【考點(diǎn)】球的表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】在△ABC中利用余弦定理求出BC=33，再由正弦定理求出△【解答】解：因?yàn)樵谥比庵鵄BC﹣A1B1C1中，AA1＝6，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，所以BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC＝27，即BC=3則△ABC外接圓的半徑為BC2則直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半徑為32外接球的表面積為4×故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱柱的外接球問(wèn)題的求解，屬中檔題．2．（2024秋?諸暨市期末）某商場(chǎng)有甲乙丙三款價(jià)格相同，單張厚度與寬度也都相同的圓柱體形卷紙．其中甲款卷紙直接繞成圓柱體，圓柱底面直徑為60mm；乙款卷紙繞在圓柱體空心紙筒上，紙筒直徑為30mm，整個(gè)圓柱底面直徑為75mm；丙款卷紙也繞在圓柱體空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，整個(gè)圓柱底面直徑為80mm．三款卷紙中，性價(jià)比最高的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．都一樣【考點(diǎn)】圓柱的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由圓柱的體積公式求解比較即可．【解答】解：V甲＝π×302×h＝900πh，V乙＝π×[（752）2﹣（302）2]×h＝1181.25πV丙＝π×（402﹣202）×h＝1200πh，所以性價(jià)比最高的是丙．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的體積公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．3．（2024秋?金華期末）以邊長(zhǎng)為1的正方形的一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積為（）A．π3 B．π C．2π D．4【考點(diǎn)】圓柱的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)圓柱體體積公式計(jì)算即可．【解答】解：以邊長(zhǎng)為1的正方形的一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓柱體．并且是底面半徑和高都是正方形邊長(zhǎng)的圓柱體，即r＝1，h＝1，可得圓柱體體積為：V＝π×12×1＝π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱體體積公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（2025?延慶區(qū)模擬）某圓錐高為3，母線與底面所成的角為π3A．3π B．4π C．5π D．6π【考點(diǎn)】圓錐的側(cè)面積和表面積．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由圓錐的高和母線與底面夾角可求得底面半徑和母線長(zhǎng)，根據(jù)圓錐表面積公式求得結(jié)果．【解答】解：由題意得：圓錐的底面半徑r=3tan母線長(zhǎng)l=3sin∴圓錐的表面積S＝πrl+πr2＝π×1×2+π×12＝3π．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓錐的高和母線與底面夾角準(zhǔn)確求得底面半徑和母線長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?雁江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將底面半徑為1高為3的圓錐截去體積為π27的錐尖A．810π9 B．1610π9 C【考點(diǎn)】棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】首先設(shè)錐尖的半徑為r，高為h，根據(jù)題意得到r2h=19和h＝【解答】解：設(shè)錐尖的半徑為r，高為h，因?yàn)殄F尖的體積為π27所以π27解得r2又因?yàn)閞1=h3，所以h所以r2?3r=1解得r=1所以h＝1，所以圓臺(tái)側(cè)面積S=1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的體積公式和側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?南陽(yáng)期末）小明在“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”課中，取兩個(gè)三角形模具，把它們的斜邊靠在一起，如圖所示，三角形模具ABC繞著AC可以轉(zhuǎn)動(dòng)．其中斜邊AC＝10，∠BAC=πA．當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)，BDB．當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，則AE=5C．當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí)，BD=5D．當(dāng)A、B、C、D不共面時(shí)，四點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，且此球的體積為500【考點(diǎn)】球的體積；共面直線及四點(diǎn)共面；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】應(yīng)用余弦定理判斷A；由S△BAD＝S△BAE+S△EAD及三角形面積公式列方程求邊長(zhǎng)判斷B；由面面、線面垂直的性質(zhì)定理得DO⊥BO，即可求邊長(zhǎng)判斷C；取AC的中點(diǎn)O并說(shuō)明其為外接球球心，進(jìn)而求半徑，可得球體的體積判斷D．【解答】解：因?yàn)橛蓤D中可知三角形模具ABC繞著AC可以轉(zhuǎn)動(dòng)，且其中斜邊AC＝10，∠BAC=π所以AD=CD=52，AB＝對(duì)于A選項(xiàng)：cos∠由余弦定理得BD2=對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)镾△BAD＝S△BAE+S△EAD，所以1所以12×5×52×6對(duì)于C選項(xiàng)：過(guò)D作DO⊥AC于O，則O為AC的中點(diǎn)，當(dāng)面BAC⊥面DAC時(shí)，又面BAC∩面DAC＝AC，所以DO⊥面ABC，又BO?面ABC，所以DO⊥BO，所以BD=52對(duì)于D選項(xiàng)：取AC的中點(diǎn)O，則OA＝OB＝OC＝OD＝5，所以球的半徑為5，所以所求球的體積為V=43故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．（多選）7．（2024秋?武漢期末）在正三棱錐P﹣ABC中，AB=23，PA=7，三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球球心為O，頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為Q，且A．三棱錐P﹣ABC的體積為3 B．二面角M﹣AB﹣P的余弦值為27C．球O的表面積為43D．若在此三棱錐中再放入一個(gè)球O1，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球O1的半徑為3【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；二面角的平面角及求法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】對(duì)A：根據(jù)題意求得棱錐的高PQ，再結(jié)合棱錐的體積計(jì)算公式，求解即可；對(duì)B：根據(jù)二面角的定義，取AB中點(diǎn)為N，找到二面角的平面角為PNM，再利用余弦定理求解即可；對(duì)CD：根據(jù)棱錐內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式R=【解答】解：因?yàn)檎忮FP﹣ABC中，AB=23，又三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球球心為O，頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為Q，且PQ中點(diǎn)為M，所以對(duì)A：根據(jù)題意，連接BQ，作圖如下：由題可知P﹣ABC為正三棱錐，故點(diǎn)Q為△ABC的中心，又底面ABC是邊長(zhǎng)AB=23的等邊三角形，故BQ=23×32AB=2，因?yàn)镻Q⊥面ABC則由勾股定理可得：PQ=又等邊三角形ABC的面積為34×AB2對(duì)B：連接AQ，MA，MB，取AB中點(diǎn)為N，連接PN，MN，如下所示：由A可知，PQ⊥BQ，同理可得PQ⊥AQ，又AQ＝BQ，故△MQA?△MQB，則MA＝MB，故MN⊥AB，且MA=又PA＝PB，故PN⊥AB，又PN?面PAB，MN?面MAB，面PAB∩面MAB＝AB，故∠PNM即為二面角M﹣AB﹣P的平面角；在△PAB中，PN=PA2-在△PNM中，PM=所以cos∠PNM=對(duì)C：設(shè)內(nèi)切球O的半徑為R，P﹣ABC的表面積為S，則VP﹣ABC＝VO﹣ABC+VO﹣PAB+VO﹣PAC+VO﹣PBC，則VP-ABC又S=故R=3×393=33對(duì)D：易知O在PQ上，在PQ上取點(diǎn)D，使得DQ=2過(guò)D作平面ABC的平行平面GHT，交PA，PB，PC于點(diǎn)G，T，H，如下所示：顯然P﹣GHT也為正三棱錐，球O1即為該三棱錐的內(nèi)切球；又PD=PQ-DQ=33，故PDPQ=13，設(shè)球O1則由C所得公式，以及三角形相似可得：R1=R3=故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐內(nèi)切球問(wèn)題的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．（多選）8．（2024秋?運(yùn)城期末）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，B1A．平面GEF截正方體所得截面為四邊形 B．若λ=12，則D1B1C．無(wú)論λ取何值，三棱錐C﹣EFG的體積始終為1 D．異面直線BC與AG所成的角的余弦值的取值范圍為[0【考點(diǎn)】棱錐的體積；異面直線及其所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，取λ=12，易得平面GEF截正方體所得截面為正六邊形，即可求解；對(duì)于B，設(shè)面GEF∩面A1B1C1D1于HG，利用面面平行的性質(zhì)及平行的傳遞性，可得B1D1∥GH，再利用線面平行的判定定理，即可求解；對(duì)于C，利用VC﹣EFG＝VG﹣CEF，再利用棱錐的體積公式，即可求解；對(duì)于【解答】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖所示，當(dāng)λ=12時(shí)，平面GEF截正方體所得截面為正六邊形故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)λ=12時(shí)，B1G→=1設(shè)面GEF∩面A1B1C1D1于HG，如圖2所示，連接BD，B1D1，易知EF∥面A1B1C1D1，又EF?面GEF，面GEF∩面A1B1C1D1＝HG，所以EF∥GH，又EF∥BD，BD∥B1D1，所以B1D1∥GH，又GH?面GEF，B1D1?面GEF，所以D1B1∥平面EFG，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如圖3所示，因?yàn)閂C又易知S△EFC=4-12-1-1=32對(duì)于選項(xiàng)D，建系如圖：則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），所以BC→又B1G→=λB1C1→=λ所以AG→=(-2λ，2，2)，設(shè)異面則cosθ=|又0≤λ≤1，當(dāng)λ＝0時(shí)，cosθ＝0，當(dāng)0＜λ≤1時(shí)，cosθ=又1+2λ2綜上可得0≤cosθ≤故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若點(diǎn)A，B，C，D均在球O的表面上，且AB＝BC＝CD＝1，則球O的表面積為3π．【考點(diǎn)】球的表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】3π．【分析】由條件，三棱錐的頂點(diǎn)都為棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)，所以將三棱錐A﹣BCD補(bǔ)成正方體，正方體的外接球即為三棱錐的外接球，進(jìn)而求得半徑即可求解．【解答】解：因?yàn)樵谌忮FA﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，又點(diǎn)A，B，C，D均在球O的表面上，且AB＝BC＝CD＝1，所以可將三棱錐補(bǔ)全為棱長(zhǎng)為1的正方體，如圖所示：故其該正方體的外接球的直徑為12即三棱錐A﹣BCD的外接球的直徑為3，則三棱錐A﹣BCD的外接球的半徑為32則球O的表面積為4π故答案為：3π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題的求解，分割補(bǔ)形法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．10．（2024秋?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），Q是棱CC1的中點(diǎn)，則三棱錐D1﹣PBQ體積的最大值為43【考點(diǎn)】棱錐的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】43【分析】建系設(shè)點(diǎn)，求出平面BQD1的法向量，利用向量法求點(diǎn)P到平面BQD1的最大距離，然后可解．【解答】解：建系如圖：則根據(jù)題意可得D1（0，0，0），B（2，2，2），Q（0，2，1），所以D1設(shè)平面BQD1的一個(gè)法向量為n→則n→?D可設(shè)P（m，n，0），（0≤m≤2，0≤n≤2），則D1所以P到平面BQD1的距離為d=|D1P→?n→易知BQ=D1所以BD1邊上的高h(yuǎn)=所以S△所以P到平面BQD1的距離最大時(shí)，三棱錐D1﹣PBQ體積的最大為：13故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的最值的求解，向量法的應(yīng)用，屬中檔題．11．（2024秋?畢節(jié)市校級(jí)期末）《九章算術(shù)?商功》中將正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物稱為方亭．現(xiàn)有一方亭ABCD﹣A1B1C1D1，已知AB＝1，且該方亭的高為6，體積為26，則A1B1＝3．【考點(diǎn)】棱臺(tái)的體積．【專題】方程思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】直接根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，建立方程，即可求解．【解答】解：設(shè)A1B1＝t，則根據(jù)題意可得13解得t＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱臺(tái)的體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．12．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）正四棱錐P﹣ABCD底面邊長(zhǎng)和高均為2，E，F(xiàn)，G，H分別是其所在棱的中點(diǎn)，則棱臺(tái)EFGH﹣ABCD的體積為73【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】計(jì)算題；整體思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；直觀想象；運(yùn)算求解．【答案】7【分析】分別計(jì)算VP-ABCD=8【解答】解：E，F(xiàn)，G，H分別是其所在棱的中點(diǎn)，則正四棱錐P﹣EFGH底面邊長(zhǎng)和高均為1，VP-ABCD故VEFGH故答案為：73【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱臺(tái)的體積的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?漢壽縣校級(jí)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD、側(cè)棱PA＝PD=2，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O為AD（1）求證：PO⊥平面ABCD；（2）求三棱錐A﹣PCD的體積．【考點(diǎn)】棱錐的體積；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解答；（2）13【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明；（2）轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點(diǎn)，根據(jù)三棱柱的體積公式，即可求解．【解答】解：（1）證明：∵側(cè)棱PA＝PD=2，O為AD∴PO⊥AD，PO?平面PAD，又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD；（2）∵PO⊥平面ACD，PO＝1，S△∴三棱錐A﹣PCD的體積為：VA【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積的求解，屬中檔題．14．（2025?衛(wèi)輝市校級(jí)模擬）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1B與AB1的交點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面A1ACC1；（2）若A1A＝AC＝3，BC＝4，AB＝5，求四棱錐B﹣A1ACC1的體積．【考點(diǎn)】棱錐的體積；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解答；（2）12．【分析】（1）連接AC1，利用線面平行的判定定理，即可證明；（2）先根據(jù)線面垂直的判定定理證明BC⊥平面A1ACC1，再利用錐體的體積公式計(jì)算，即可得解．【解答】解：（1）證明：如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，連接AC1，則F是AB1的中點(diǎn)，由E為B1C1的中點(diǎn)，所以EF∥AC1，又AC1?平面A1ACC1，EF?平面A1ACC1，所以EF∥平面A1ACC1；（2）因?yàn)锳1A＝AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2+BC2＝25＝AB2，所以BC⊥AC，又CC1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，AC，CC1?平面A1ACC1，所以BC⊥平面A1ACC1，所以四棱錐B﹣A1ACC1的體積為：VB【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，四棱錐的體積的求解，屬中檔題．15．（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的幾何體，是將體積為12π、底面半徑為2的圓柱沿著過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的，AB、BC為底面直徑，BE、CD為圓柱的母線，O1、O2、O2′分別為AB、BC、DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧AB的中點(diǎn)，G為弧BC的中點(diǎn)．（1）求這個(gè)幾何體的表面積；（2）求異面直線CF與GO2′所成角的余弦值．【考點(diǎn)】圓柱的體積；異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）20π+24；（2）13065【分析】（1）先求得圓柱的高，進(jìn)而求得這個(gè)幾何體的表面積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得異面直線CF與GO2'所成角的余弦值．【解答】解：（1）設(shè)圓柱的高為h，又圓柱的底面半徑r＝2，則有12π＝4πh，解之得h＝3，將圓柱按題中方法切開，再平移后接成封閉體后，該幾何體的表面積比原來(lái)的圓柱表面積多了兩個(gè)軸截面矩形的面積，因此它的表面積為S表＝S圓柱表+2SBCDE＝2π?2×3+2×π?22+2×4×3＝20π+24；（2）連接CF，在面BCF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BC，以B為原點(diǎn)，分別以BT，BC，BE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則C（0，4，0），F(xiàn)（﹣2，﹣2，0），G（2，2，0），O2′（0，2，3），則CF→設(shè)異面直線CF與GO2′所成角為θ，則cosθ=|【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的表面積的求法，異面直線所成角的求法，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱臺(tái)：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．2．認(rèn)識(shí)棱臺(tái)棱臺(tái)的上底面：原棱錐的截面叫做棱臺(tái)的上底面．棱臺(tái)的下底面：原棱錐的底面叫做棱臺(tái)的下底面．棱臺(tái)的側(cè)面：棱臺(tái)中除上、下底面外的所有面叫做棱臺(tái)的側(cè)面．棱臺(tái)的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱．棱臺(tái)的高：當(dāng)棱臺(tái)的底面水平放置時(shí)，鉛垂線與兩底面交點(diǎn)間的線段或距離叫做棱臺(tái)的高．棱臺(tái)的斜高：棱臺(tái)的各個(gè)側(cè)面的高叫做棱臺(tái)的斜高．3．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱臺(tái)1正棱臺(tái)的性質(zhì)：（1）側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，斜高相等．（2）兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個(gè)直角梯形．（3）棱臺(tái)各棱的反向延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．4．棱臺(tái)的分類由三棱錐，四棱錐，五棱錐，…等截得的棱臺(tái)，分別叫做三棱臺(tái)，四棱臺(tái)，五棱臺(tái)，…等．正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．5．棱臺(tái)的體積公式設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S，下底面面積為S′，高為h，V棱臺(tái)=1【解題方法點(diǎn)撥】﹣側(cè)面積：側(cè)面體形的面積之和．﹣表面積：側(cè)面積與上下底面的面積之和．【命題方向】﹣棱臺(tái)的表面積計(jì)算：考查如何計(jì)算棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱臺(tái)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐=133．棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱錐的體積可以通過(guò)底面面積B和高度h計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱錐體積計(jì)算．4．棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱臺(tái)的體積可以通過(guò)兩個(gè)平行底面的面積B1和B2以及高度h計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：兩個(gè)底面的面積B1和B2可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱臺(tái)的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)兩個(gè)底面面積和高度計(jì)算棱臺(tái)的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱臺(tái)體積計(jì)算．5．圓錐的側(cè)面積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓錐的側(cè)面積和表面積依賴于底面圓的半徑r、母線長(zhǎng)度l和底面圓的面積．【解題方法點(diǎn)撥】﹣側(cè)面積：計(jì)算公式為πrl．﹣表面積：包括底面圓的面積和側(cè)面的面積，計(jì)算公式為πr【命題方向】﹣圓錐的表面積計(jì)算：考查如何計(jì)算圓錐的側(cè)面積和表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓錐的表面積計(jì)算．6．圓柱的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓柱的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓柱的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的圓柱尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓柱的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓柱的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓柱的體積計(jì)算．7．球的表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】球的表面積依賴于球的半徑r，計(jì)算公式為4π【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：表面積計(jì)算公式為4π﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的球尺寸進(jìn)行表面積計(jì)算．【命題方向】﹣球的表面積計(jì)算：考查如何根據(jù)球的半徑計(jì)算表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用球的表面積計(jì)算．8．球的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】球的體積依賴于球的半徑r，計(jì)算公式為43【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為43﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的球尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣球的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)球的半徑計(jì)算體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用球的體積計(jì)算．9．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：10．共面直線及四點(diǎn)共面【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】共面直線是指在同一平面上的直線．四個(gè)點(diǎn)共面是指這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上．【解題方法點(diǎn)撥】﹣共面判定：判斷給定直線或點(diǎn)是否共面．﹣符號(hào)表示：利用幾何符號(hào)表示共面關(guān)系．【命題方向】﹣共面判斷：考查如何判斷直線和點(diǎn)的共面關(guān)系．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用共面判斷進(jìn)行計(jì)算．11．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類與a異面，也有無(wú)數(shù)條．12．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說(shuō)直線l和平面α互相垂直，記作