2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版期中必刷常考題之余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

第25頁（共25頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之余弦定理、正弦定理的應(yīng)用一．選擇題（共5小題）1．（2025?五華區(qū)模擬）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在點C測得塔頂A的仰角∠ACB＝60°，則塔高AB約為（）（單位：米，2≈1.414A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.422．（2024秋?商洛期末）位于P處的雷達接收到在其正東方向相距203海里的B處的一艘漁船遇險后拋錨的營救信號后，即刻通知位于P處雷達北偏東π3且與P處雷達相距30海里的A．153 B．105 C．103 3．（2024秋?河南期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝2，B＝2C，則b＝（）A．2 B．3 C．2 D．64．（2025?雁江區(qū)校級模擬）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+b2+ab＝c2，若角C的內(nèi)角平分線CM＝2，則AC→?CBA．8 B．4 C．16 D．125．（2025?順德區(qū)模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bsinA+2acosB＝0，b2＝（2+23A．c＝3a B．c＝2a C．a(chǎn)＝2c D．a(chǎn)＝c二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?湖南模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2＝b（a+b），則（）A．c＜b B．C＝2B C．B∈(0，π（多選）7．（2025?社旗縣校級開學(xué)）在圓O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，則（）A．BD=2B．四邊形ABCD的面積為83C．AO→D．AC（多選）8．（2025?蕪湖一模）在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，∠BAC的角平分線交BC于D，則（）A．△ABC是鈍角三角形 B．BC=C．AD＝2 D．BD三．填空題（共4小題）9．（2025?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若3cosB-3b=1-3cosAa，則cosC的最小值為10．（2025春?安徽月考）在△ABC中，AC＝2，AB＝mBC（m＞1），若當△ABC面積取最大值時，B=π6，則m＝11．（2025?重慶模擬）已知△ABC中內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin2B+sin2C=23sinAsinBsinC，若在邊AB，BC，CA上各取一點M，N，P，滿足MN=3，MP＝2，∠12．（2025?泉州模擬）在平面四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝213，AC＝AD，cos∠CAB=45，則AC＝；若點E是CD的中點，則當BE取得最大值時，四邊形ABCD的面積為四．解答題（共3小題）13．（2025?延慶區(qū)模擬）在△ABC中，c＝6，2bcosA+2acosB＝3b．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC為銳角三角形，并求△ABC的面積．條件①：a＝4；條件②：AB邊上中線的長為17；條件③：sinB＝sin2C．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．14．（2025?安康模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2C+3cosC＝1．（1）求C；（2）若c=23，△ABC的面積為2315．（2025?孝義市模擬）如圖，已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosA．（1）求∠BAC的大??；（2）若b＝4，c＝6，設(shè)AD為三角形ABC的角平分線，求AD的長．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之余弦定理、正弦定理的應(yīng)用參考答案與試題解析題號12345答案BCDAD一．選擇題（共5小題）1．（2025?五華區(qū)模擬）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在點C測得塔頂A的仰角∠ACB＝60°，則塔高AB約為（）（單位：米，2≈1.414A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】B【分析】由已知結(jié)合正弦定理求得BC，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可求得塔高AB．【解答】解：由題意，在△BCD中，∠CBD＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由正弦定理得BCsin即BCsin45°=在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BCtan60°=106×故選：B．【點評】本題考查正弦定理及三角函數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．2．（2024秋?商洛期末）位于P處的雷達接收到在其正東方向相距203海里的B處的一艘漁船遇險后拋錨的營救信號后，即刻通知位于P處雷達北偏東π3且與P處雷達相距30海里的MA．153 B．105 C．103 【考點】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出∠BPM=π6，然后在△BPM中運用余弦定理算出【解答】解：由題意得∠BPM=π在△BPM中，根據(jù)余弦定理得BM2＝PM2+PB2﹣2PM?PBcos∠BPM＝900+1200﹣2×30×203×3所以BM=300=10故選：C．【點評】本題主要考查余弦定理、解三角形及其應(yīng)用，考查了計算能力、概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?河南期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝2，B＝2C，則b＝（）A．2 B．3 C．2 D．6【考點】解三角形；求二倍角的三角函數(shù)值；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】D【分析】應(yīng)用正弦定理得出2sin3C＝sinC，再應(yīng)用兩角和的正弦公式結(jié)合二倍角公式得出cos2【解答】解：因為B+A+C＝π，B＝2C，所以A＝π﹣3C，由正弦定理得：asinA即2sinC=1sin(π-所以2sin（C+2C）＝2（sinCcos2C+cosCsin2C）＝2（sinCcos2C+2sinCcos2C）＝sinC，因為0＜A＜π，所以sinC≠0，所以2（cos2C+2cos2C）＝1，所以2（cos2C+cos2C+1）＝1，解得cos2因為a＝1，c＝2，所以由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝5﹣4cosB＝5﹣4cos2C＝6，所以b=故選：D．【點評】本題考查利用正、余弦定理和三角恒等變換知識解三角形，屬于中檔題．4．（2025?雁江區(qū)校級模擬）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+b2+ab＝c2，若角C的內(nèi)角平分線CM＝2，則AC→?CBA．8 B．4 C．16 D．12【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】A【分析】由題意及余弦定理可得cosC的值，再由角C的范圍，可得角C的大小，由三角形等面積法，可得ab＝2（a+b），由基本不等式可得ab的最小值，進而求出AC→?CB【解答】解：因為a2+b2+ab＝c2，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理可得a2+b2+﹣c2＝2abcosC，所以cosC=-12，而C∈（0，π），所以因為AC→?CB→=|AC→|?|CB→|cos（π﹣C）＝﹣ba由S△ABC=12absinC=12（b+a）?即32ab=32?2（a可得ab＝2（a+b）≥2?2ab，當且僅當a＝b時取等號，即ab≥16，所以AC→?CB→=12ab≥即AC→?CB→的最小值為故選：A．【點評】本題考查余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公式的應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2025?順德區(qū)模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bsinA+2acosB＝0，b2＝（2+23A．c＝3a B．c＝2a C．a(chǎn)＝2c D．a(chǎn)＝c【考點】解三角形；利用正弦定理解三角形；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；運算求解．【答案】D【分析】由正弦定理算出sinB=-2cosB，運用同角三角函數(shù)的關(guān)系求得cosB=-33，進而利用余弦定理推導(dǎo)出b2=a2+c2+23【解答】解：根據(jù)bsinA+2acosB＝0，由正弦定理得sinBsinA+2sinAcosB＝即sinA（sinB+2cosB）＝0結(jié)合sinA≠0，可得sinB+2cosB＝0，即sinB=-2所以B為銳角，結(jié)合sin2B+cos2B＝1解得cosB=-根據(jù)余弦定理，可得b2結(jié)合已知b2=(2+233)ac，解得a2+c2＝2ac，即（a﹣c）2故選：D．【點評】本題主要考查了正弦定理與余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，考查了計算能力、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?湖南模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2＝b（a+b），則（）A．c＜b B．C＝2B C．B∈(0，π【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；運算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件證出c2＞b2，可得c＞b，由此判斷出A項的正誤；運用正弦定理與余弦定理化簡已知等式，推導(dǎo)出sinC＝sin2B，進而判斷出B項的正誤；由選項B的結(jié)論算出B+C＝3B∈（0，π），進而求出角B的取值范圍，可判斷C項的正誤；由正弦定理與三角恒等變換公式，結(jié)合C＝2B化簡得ab=3﹣4sin2B，結(jié)合B∈(0，【解答】解：對于A，因為c2＝b（a+b）＝ab+b2＞b2，所以c＞b，可知A項錯誤．對于B，根據(jù)c2＝b（a+b）＝ab+b2，結(jié)合余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得c2＝ab+a2+c2﹣2accosB，整理得cosB=a由正弦定理得cosB=sinC2sinB，所以sinC＝2sinBcosB結(jié)合B、C為三角形的內(nèi)角，可得C＝2B或C+2B＝π．當C+2B＝π時，可得A＝B，即a＝b，此時c2＝b（a+b）＝2a2，可得c=2a所以a：b：c＝1：1：2，可知△ABC是以c為斜邊的等腰直角三角形，可得C=π2，B=π4，滿足C＝2對于C，由C＝2B，得B+C＝3B∈（0，π），所以B∈(0，對于D，由正弦定理asinA=b結(jié)合C＝2B，可得a＝1﹣2sin2B+2（1﹣sin2B）＝3﹣4sin2B，因為B∈(0，π3)，可得sinB所以sin2B∈（0，34），可得3﹣4sin2B∈（0，3），即ab∈(0故選：BCD．【點評】本題主要考查正弦定理與余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角的三角函數(shù)公式等知識，考查了計算能力、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．（多選）7．（2025?社旗縣校級開學(xué)）在圓O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，則（）A．BD=2B．四邊形ABCD的面積為83C．AO→D．AC【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】ABD【分析】選項A，在△ABD，△BCD分別使用余弦定理BD2＝AB2+AD2﹣2AB×ADcosA，BD2＝CB2+CD2﹣2CB×CDcosC求解即可；選項B，SABCD＝S△ABD+S△CBD結(jié)合面積公式，即得解；選項C，轉(zhuǎn)化AO→選項D，轉(zhuǎn)化AC→?BD【解答】解：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：∠A+∠C＝π，故cosA＝﹣cosC，在△ABD中，由余弦定理BD2＝AB2+AD2﹣2AB×ADcosA，在△BCD中，由余弦定理BD2＝CB2+CD2﹣2CB×CDcosC，因為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，故22+42﹣2×2×4cosA＝62+42+2×6×4cosA，解得cosA=故BD2＝22+42﹣2×2×4cosA＝28，解得BD=27，又A∈（0，π），故sinA=S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD=12AB×ADsinA+12×CD×CBsinC=12×2×4×3在△ABD中，cos∠ABD=A在△BCD中，cos∠CBD=BAO→?BD→=（AB→+BO→）?BD→=AB→?BD→+BO→?BD→=-|AB→|?|AC→又OC=-14+6×27故選：ABD．【點評】本題考查圓的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）8．（2025?蕪湖一模）在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，∠BAC的角平分線交BC于D，則（）A．△ABC是鈍角三角形 B．BC=C．AD＝2 D．BD【考點】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；運算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷出A項的正誤；在△ABC中，根據(jù)正弦定理算出BC的長，即可判斷出B項的正誤；在△ABD中，計算出∠B＝∠ADC＝75°，從而可得AD＝AB＝2，即可判斷出C項的正誤；求出sin75°=6+24，然后在△ABD中利用正弦定理算出【解答】解：對于A，由三角形內(nèi)角和定理，得∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝75°，所以△ABC的三個內(nèi)角均為銳角，可得△ABC是銳角三角形，故A項不正確；對于B，在△ABC中，由正弦定理得BCsin可得BC=ABsin∠BAC對于C，由AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝△ABD中，∠ADB＝∠CAD+∠C＝30°+45°＝75°，所以∠B＝∠ADC，可得AD＝AB＝2，故C項正確；對于D，sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°=6在△ABD中，由正弦定理得ABsin可得BD=ABsin∠BAD故選：BC．【點評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式、正弦定理等知識，考查了計算能力、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若3cosB-3b=1-3cosAa，則cosC的最小值為33【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；運算求解．【答案】33；4【分析】根據(jù)正弦定理、三角恒等變換公式，化簡3cosB-3b=1-3cosAa【解答】解：由3cosB-3b=1-3cosAa，可得3acosB-3a＝b﹣3bcosA，即3acosB根據(jù)正弦定理得3sinAcosB+3sinBcosA＝sinB+3sinA，即3sin（A+B）＝sinB+3sinA因為△ABC中，sinC＝sin（π﹣C）＝sin（A+B），所以3sinC＝sinB+3sinA，結(jié)合正弦定理得3c＝b+3a，即根據(jù)余弦定理得cosC=當且僅當3a設(shè)sin則19+2當λ=13當λ≠13時，可得Δ=427-綜上所述，sin2Csin故答案為：33；4【點評】本題主要考查正弦定理與余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式、運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．10．（2025春?安徽月考）在△ABC中，AC＝2，AB＝mBC（m＞1），若當△ABC面積取最大值時，B=π6，則m＝【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】3．【分析】設(shè)|BC|＝a，結(jié)合余弦定理及面積公式可得：S=sinB12(【解答】解：由AB＝mBC（m＞1），AC＝b＝2，設(shè)BC＝a，則AB＝ma，由余弦定理可得：cosB=AB2+B所以ma所以△ABC的面積為：S=12acsinB=12ma2令12(m+1m)=t，由m＞1，易得所以S＝f（B）=sinBt-cosB，0＜則f'（B）=cosB當cosB＞1t，f′（BcosB＜1t，f′（B又y＝cosB在（0，π）單調(diào)遞減，所以當cosB=即cosB=所以m+即m2-433可得：m=故答案為：3．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及用求導(dǎo)的方法求函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．11．（2025?重慶模擬）已知△ABC中內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin2B+sin2C=23sinAsinBsinC，若在邊AB，BC，CA上各取一點M，N，P，滿足MN=3，MP＝2，∠【考點】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運算求解．【答案】π3；7【分析】利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理，利用基本不等式結(jié)合三角函數(shù)的值域得到A=π3，在△MNP中，由余弦定理求得NP＝1，從而∠MPN＝60°，設(shè)∠APM＝α，在△AMP和△CPN中利用正弦定理求得AC【解答】解：因為sin所以由正弦定理可得：a2又因為a2＝b2+c2﹣2bccosA，代入上式得：2b整理可得：bc所以2sin(A+π由于2sin(A因為A∈（0，π），所以A=π3，又此時b＝c，所以△ABC如圖，在△MNP中，由余弦定理得：NP=所以MN2+NP2＝MP2，所以∠MNP＝90°，從而∠MPN＝60°，設(shè)∠APM＝α，則∠AMP＝120°﹣α，∠CPN＝120°﹣α，∠PNC＝α，在△CPN中，由正弦定理得PCsinα=1在△AMP中，由正弦定理得APsin則AP=所以AC=其中tanθ=32，所以AC的最大值為273，當α所以(S故答案為：π3；7【點評】本題考查利用正余弦定理和三角恒等變換知識解三角形，屬于中檔題．12．（2025?泉州模擬）在平面四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝213，AC＝AD，cos∠CAB=45，則AC＝10；若點E是CD的中點，則當BE取得最大值時，四邊形ABCD的面積為52【考點】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】10；52．【分析】首先根據(jù)余弦定理建立方程求出AC，然后取AC中點O，根據(jù)BE≤BO+EO得出BE取最大值的條件，再利用三角形的面積公式算出答案．【解答】在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC，即52＝16+AC2﹣8AC?45，整理得5AC2﹣32AC﹣180＝0，結(jié)合AC＞0，解得AC＝10取AC中點O，連接BO、EO，根據(jù)AD＝AC＝10，EO是△ADC的中位線，可得EO∥AD，EO=12AD＝在△ABO中，AO＝5，BO=AB可得AB2+BO2＝AO2，∠ABO＝90°，因為BE≤BO+EO＝8，當且僅當B、O、E三點共線時取等號，所以當BE取得最大值時，BE∥AD，即∠DAB＝90°，可得sin∠所以四邊形ABCD的面積SABCD故答案為：10；52．【點評】本題主要考查余弦定理、三角形中位線定理、三角形的面積公式與誘導(dǎo)公式等知識，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?延慶區(qū)模擬）在△ABC中，c＝6，2bcosA+2acosB＝3b．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC為銳角三角形，并求△ABC的面積．條件①：a＝4；條件②：AB邊上中線的長為17；條件③：sinB＝sin2C．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；運算求解．【答案】（1）4．（2）若選擇①，則不存在滿足條件的△ABC；若選擇②或③，則△ABC的面積為82【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡得bcosA+acosB＝c，結(jié)合已知等式求出b=23c＝（2）若選擇①②，則根據(jù)余弦定理，結(jié)合△ABC為銳角三角形加以計算，可得答案；若選擇③，則根據(jù)余弦定理與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合三角形的面積公式算出答案．【解答】解：（1）根據(jù)余弦定理，可得bcosA+acosB＝b?b2+c2-結(jié)合2bcosA+2acosB＝3b，可得2c＝3b，即b=23c＝（2）選擇條件①：a＝4，b＝4，c＝6，由余弦定理得cosC=16+16-362×4×4與△ABC為銳角三角形矛盾，不符合題意；選擇條件②：設(shè)點D為AB的中點，則CD=17，AD＝在△ACD中，由余弦定理CD2＝AC2+AD2﹣2AC?ADcosA，即17＝16+9﹣2×3×4×cosA，解得cosA=所以a2=b2+因為c＝a＝6，b＝4，所以B＜A，A＝C，等腰△ABC為銳角三角形，可得sinA=1-co選擇條件③：因為sinB＝sin2C，所以sinB＝2sinCcosC，結(jié)合正弦定理得b＝2ccosC，所以cosC=b由余弦定理c2=a2+b2因為△ABC中，c＝a＝6，b＝4，所以B＜A，A＝C，等腰△ABC為銳角三角形，可得sinA=1-co【點評】本題主要考查正弦定理與余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．14．（2025?安康模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2C+3cosC＝1．（1）求C；（2）若c=23，△ABC的面積為23【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】（1）C=（2）6+23．【分析】（1）根據(jù)余弦的二倍角公式化簡即可；（2）根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理求解即可．【解答】解：（1）由cos2C+3cosC＝1可得2cos2C+3cosC﹣2＝0，解得cosC=12或cosC又C為△ABC內(nèi)角，即C∈（0，π），故C=（2）因為c=23，△ABC的面積為所以S△ABC=12absinC=2由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，即12＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，解得a+b＝6，故△ABC的周長為a+b+c＝6+23．【點評】本題考查余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2025?孝義市模擬）如圖，已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosA．（1）求∠BAC的大小；（2）若b＝4，c＝6，設(shè)AD為三角形ABC的角平分線，求AD的長．【考點】三角形中的幾何計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】（1）π3（2）123【分析】（1）利用正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式和三角形內(nèi)角和公式求解；（2）利用面積方法和三角形的面積公式計算．【解答】（1）由acosB+bcosA＝2ccosA得sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosA，又因為sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，所以2sinCcosA＝sinC，又因為C∈（0，π），sinC＞0，所以cosA=又因為A∈（0，π），所以A=（2）因為S△BAD+S△DAC＝S△BAC，由角平分線的性質(zhì)可得：∠BAD＝∠DAC=12∠BAC=π6，AB＝c＝6，AC＝則12即6AD所以AD=【點評】本題考查正弦定理及輔助角公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．求二倍角的三角函數(shù)值【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具體角度值代入公式，求解二倍角的三角函數(shù)值．﹣驗證計算結(jié)果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用二倍角公式求解三角函數(shù)值，結(jié)合具體角度進行計算．已知tanα2=22，則解：因為tanα所以tanα=故答案為：222．利用正弦定理解三角形【知識點的認識】1．正弦定理定理正弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角﹣【解題方法點撥】﹣應(yīng)用正弦定理：用正弦定理解決三角形中的邊長和角度問題，特別是在已知部分角和邊的情況下．﹣三角形的解法：在已知兩個角和一個邊，或兩個邊和一個角的情況下，利用正弦定理求解其他邊和角．【命題方向】﹣正弦定理的應(yīng)用：考查如何應(yīng)用正弦定理解決涉及三角形的幾何問題．﹣三角形解的存在性：如何使用正弦定理判斷三角形的解的存在性和唯一性．△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，則b＝_____．解：∵△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，∴由正弦定理得，asinA∴3sin解得b＝33．3．余弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．4．三角形中的幾何計算【知識點的認識】1、幾何中的長度計算：（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判斷三角形的形狀；③實現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．2、與面積有關(guān)的問題：（1）三角形常用面積公式①S=12a?ha（ha表示邊②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面積問題的解法：①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．②割補法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個三角形，再由三角形