2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（每小題4分，共40分）1.在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.11 C.13 D.15【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知，解得，所以，所以.故選：C.2.已知為等比數(shù)列，公比，則（）A.81 B.27 C.32 D.16【正確答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.【詳解】根據(jù)可得，所以或，若，則不符合要求，若，則符合要求，故，故選：A3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.故選：B4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A.7 B.13 C.18 D.63【正確答案】A【分析】根據(jù)題意判斷得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而得到其基本量，從而利用等比數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列為等比數(shù)列，公比，又，解得，所以.故選：A5.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：利用導(dǎo)數(shù)除法法則，，正確；對(duì)于B選項(xiàng)：直接利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷，正確；對(duì)于C選項(xiàng)：利用導(dǎo)數(shù)乘法法則，，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，故不正確.故選：D.6.下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上的平均變化率最大的為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算即可比較大小求解.【詳解】對(duì)于A，在上的平均變化率為，對(duì)于B，在上的平均變化率為，對(duì)于C,在上的平均變化率為，對(duì)于D，在上的平均變化率為，由于，故在上的平均變化率最大，故選：B7.在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是{an}前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則n＝()．A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，由3a4＝7a7，得，代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)和可求得最大值．【詳解】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，由題意可知，a1>0，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向下，又因?yàn)?，所以?dāng)n=9時(shí)，取最大值．選C.等差數(shù)列常設(shè)首項(xiàng)為，公差為，這樣等差數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系，．8.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，使有最小值的一組和可以為（）A. B.C D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用并項(xiàng)求和推理判斷A；利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推理判斷B；利用負(fù)數(shù)和的意義判斷CD.【詳解】對(duì)于A，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的遞減等比數(shù)列，因此，隨著的增大逐漸減小，無(wú)最小值，A不是；對(duì)于B，，，當(dāng)時(shí)，，即，因此對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，有最小值，B是；對(duì)于CD，或，，因此，隨著的增大逐漸減小，無(wú)最小值，CD不是.故選：B9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.曲線在點(diǎn)處的切線斜率小于零B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減【正確答案】D【分析】由可判斷A；由圖得函數(shù)在區(qū)間上即可判斷B；由圖得區(qū)間上，區(qū)間上即可判斷C；由圖得函數(shù)在區(qū)間上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)導(dǎo)數(shù)值為0可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率等于零，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖可知在區(qū)間上，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖區(qū)間上，區(qū)間上，所以函數(shù)在處取不到極大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖可知函數(shù)在區(qū)間上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)導(dǎo)數(shù)值為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D10.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.已知這兩個(gè)函數(shù)圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1 B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1 D.函數(shù)的最小值為1【正確答案】A【分析】先由圖求出的正負(fù)情況，接著研究函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)情況即可得解判斷AB，研究函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)情況即可得解判斷CD.【詳解】由圖可知恒成立，且不存在導(dǎo)數(shù)連續(xù)為0情況，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以實(shí)線表示函數(shù)圖象的，虛線表示導(dǎo)函數(shù)的圖象，所以時(shí)，時(shí)，對(duì)于AB，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最大值為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無(wú)最值，故CD錯(cuò)誤；故選：A二、填空題（每小題4分，共20分）11.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【正確答案】【詳解】分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率k=f′（1），利用點(diǎn)斜式可得直線方程．詳解：∵f（x）=ex∴f（1）=e且f′（x）=ex根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率k=f′（1）=e∴函數(shù)f（x）=ex在x=1處的切線方程是y﹣e=e（x﹣1），即y=ex故答案為y=ex．點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．12.函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【正確答案】【分析】由單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系得在上恒成立，再分參利用函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上單調(diào)遞增，所以，即滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍是.故13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________．【正確答案】【分析】利用裂項(xiàng)相消法可直接求得結(jié)果.【詳解】，.故答案為.14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且.則______________；使得成立的的最小值為_______________.【正確答案】①.②.【分析】對(duì)于空1，由得即可求解；對(duì)于空2，依次求出并結(jié)合當(dāng)時(shí)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以由，所以，，又?dāng)時(shí)，所以使得成立的的最小值為.故；.15.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列不是等比數(shù)列;②若與都是遞增數(shù)列，則數(shù)列是遞增數(shù)列;③對(duì)任意的，不是等差數(shù)列;④存在數(shù)列，對(duì)任意的，且，使得不能構(gòu)成等比數(shù)列.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______.【正確答案】①③④【分析】通過分析每個(gè)結(jié)論，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合特殊例子來判斷其正確性.【詳解】結(jié)論①，設(shè)等差數(shù)列的公差為（），首項(xiàng)為，等比數(shù)列的公比為（），首項(xiàng)為.假設(shè)是等比數(shù)列，則.，，，，的平方不等于，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，結(jié)論①正確.結(jié)論②，例如是遞增等差數(shù)列，是遞增等比數(shù)列.，，，，所以不是遞增數(shù)列，結(jié)論②錯(cuò)誤.結(jié)論③，假設(shè)等差數(shù)列，則.，，，化簡(jiǎn)得，即，，這與不是常數(shù)列矛盾，所以對(duì)任意的不是等差數(shù)列，結(jié)論③正確.結(jié)論④，，則，若能構(gòu)成等比數(shù)列，則，化簡(jiǎn)得，所以，解得，與題干矛盾，所以結(jié)論④正確.故①③④.三、解答題（共40分）16.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)公差為，公比為，根據(jù)已知列出方程可求出，，代入通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；（2）分組求和，分別求出和的前項(xiàng)和，加起來即可求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)公差為，公比為，因?yàn)?，則由可得，，即，由可得，，解得，則.所以有，整理可得，解得或（舍去）.所以，則，解得（舍去負(fù)值），所以.所以有，.【小問2詳解】由（1）知，，，則..17.已知函數(shù).（1）過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程.（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）求在上的最大值和最小值.【正確答案】（1）切線方程為或；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）.【分析】（1）先求導(dǎo)和設(shè)切點(diǎn)，接著由導(dǎo)數(shù)幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)間斜率關(guān)系求出參數(shù)即可得切線切點(diǎn)和斜率，再由點(diǎn)斜式即可得解；（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況即可得解；（3）由（2）求出函數(shù)單調(diào)性，求出端點(diǎn)函數(shù)值和極值即可得解.【小問1詳解】由題，設(shè)過點(diǎn)與曲線相切的切線的切點(diǎn)為，則切線斜率或，所以切點(diǎn)為或，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線斜率為，則切線方程為；當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線斜率為，則切線方程為即；綜上，所求切線方程為或；【小問2詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】由（2）可知函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由分析計(jì)算即可求解；（2）由累加法即可求解；（3）由錯(cuò)位相減法計(jì)算求解即可.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，所以當(dāng)，；當(dāng)，；顯然滿足，所以.【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問3詳解】由（1）（2）得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以.所以.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，求此切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出的值，可求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出所求切線的方程；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間以及極大值、極小值；（3）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】因?yàn)?，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解得，則，所以，，故所求切線的方程，即.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，此時(shí)函數(shù)增區(qū)間