2024-2025學(xué)年廣東省梅縣高二下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省梅縣高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷說明：1．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答策不能答在試卷上．2．填空題直接把答案填寫在答題卡相應(yīng)橫線上．3．試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據(jù)已知分奇偶應(yīng)用遞推公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，，，故選：C.2.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算求得.【詳解】因?yàn)?，所以所?故選：A.3.若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.(0,1) B. C.(－∞，1) D.(0，＋∞)【正確答案】B【詳解】由題意得,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，且,即,且，∴，故選B.4.用這5個(gè)數(shù)組數(shù)，可以組成（）個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)．A.24 B.30 C.36 D.48【正確答案】B【分析】由個(gè)位數(shù)是否為0分類討論：①個(gè)位是0，則百位、十位從剩余的4個(gè)數(shù)字中選擇2個(gè)排列；②個(gè)位不是0，則從2、4中選擇一個(gè)放在個(gè)位，再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)數(shù)字（不包含0）中選擇1個(gè)放在百位，再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)數(shù)字中選擇1個(gè)放在十位即可.【詳解】由個(gè)位數(shù)是否為0分類討論：①個(gè)位是0，則無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)有：個(gè)；②個(gè)位不是0，則無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)有：個(gè)；所以共有個(gè).故選：B.5.已知數(shù)列滿足，若為遞增數(shù)列，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B分析】利用得到，求出時(shí)，取得最大值，得到答案.【詳解】要想為遞增數(shù)列，則恒成立，故，又時(shí)，取得最大值，最大值為，故，故選：B6.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，前2項(xiàng)之積為8，則（）A.2 B.-2 C.-1 D.2或-2【正確答案】D【分析】設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，由題意表求出和，利用求出公比，再結(jié)合求出即可.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，公比為，數(shù)列共有項(xiàng)，則滿足首項(xiàng)為，公比為，項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，因?yàn)樗许?xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，所以，所以，，故滿足，解得，又，所以.故選：D7.已知，對(duì)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的零點(diǎn)，再由不等式成立的必要條件求出，進(jìn)而代入并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由，得或1，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則“”成立的必要條件是且，得，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此對(duì)成立，所以.故選：C8.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化成在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到的單調(diào)區(qū)間，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化成在上恒成立，再分和兩種情況，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，轉(zhuǎn)化成求的最值，即可求解.【詳解】由題意知在上恒成立，即在上恒成立，令，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，，故，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故在上的最小值為，在上的最大值為．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D．【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)晴，不等式恒（能）成立問題與最值問題的轉(zhuǎn)化策略：恒成立，，能成立，，二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（）A.B.是數(shù)列中的項(xiàng)C.數(shù)列單調(diào)遞減D.數(shù)列前7項(xiàng)和最大【正確答案】ACD【分析】由等差數(shù)列，列方程組求得首項(xiàng)與公差，就可得到通項(xiàng)公式，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，解得，，故A選項(xiàng)正確，由，得，故B錯(cuò)誤，因，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故C正確，由數(shù)列通項(xiàng)公式可知，前7項(xiàng)均為正數(shù)，，所以前7項(xiàng)和最大,故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)D.直線是曲線的切線【正確答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)單調(diào)性確定極值點(diǎn)和零點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)存在極小值，所以A選項(xiàng)不正確，B，C選項(xiàng)正確；由得或，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，同理在點(diǎn)處的切線方程為，所以D選項(xiàng)不正確．故選：BC．11.已知函數(shù)，記的最小值為，則（）A. B.，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. D.【正確答案】BCD【分析】當(dāng)時(shí)，設(shè)，令，求得，得出的單調(diào)性與最小值，求得，可判定A；由，可判定B；由A選項(xiàng)，即可求出的最大值，可判定C；由，得到，進(jìn)而得到，從而可判定D．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，可得，其中，當(dāng)時(shí)，，所以，可得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C，由A選項(xiàng)知，，，所以的最大值為1，即的最大值為1，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又由，所以，即，所以，又，可得，所以，所以D正確．故選：BCD．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題A，C選項(xiàng)的關(guān)鍵是，通過換元構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最大值最小值，從而得解，對(duì)于B選項(xiàng)的關(guān)鍵是把對(duì)稱問題，轉(zhuǎn)化為證明等式恒成立問題，對(duì)于D選項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，再一次借助導(dǎo)數(shù)，證明不等式，從而借助不等式性質(zhì)，和數(shù)列求和即可得證.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為正整數(shù)，且，則有序自然數(shù)對(duì)有_______個(gè)．【正確答案】5【分析】根據(jù)題意，逐一列舉，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，且，所以或或或或，所以有序自然數(shù)對(duì)有5個(gè).

故513.若方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.【正確答案】或，【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】由可得，記，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，且當(dāng)，時(shí)，故作出的大致圖象如下：故有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，則或，故或，14.設(shè)數(shù)列滿足，，其中等于的個(gè)位數(shù)，則________．【正確答案】12108【分析】由，，于是，，進(jìn)一步有，，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，．一般地：．．于是，，進(jìn)一步有，．因此，．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知公比大于1的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）列出關(guān)于與公比的方程，代入計(jì)算，即可得到，從而得到通項(xiàng)公式；（2）由條件可得數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，解得或（舍）則.【小問2詳解】由（1）可得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則.16.已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求的值；（2）若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．【正確答案】（1）12（2）【分析】（1）直接求導(dǎo)代入得到，再驗(yàn)證即可；（2）計(jì)算出，，再比較兩者大小即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，，此時(shí)，所以在上，在上，在上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)為函數(shù)極值點(diǎn)，故所求的值為12.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范?17.如圖，某小區(qū)有一塊矩形地塊，其中，，單位：百米.已知是一個(gè)游泳池，計(jì)劃在地塊內(nèi)修一條與池邊相切于點(diǎn)的直路（寬度不計(jì)），交線段于點(diǎn)，交線段于點(diǎn).現(xiàn)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊滿足函數(shù)的圖象，若點(diǎn)到軸距離記為.（1）當(dāng)時(shí)，求直路所在的直線方程；（2）當(dāng)為何值時(shí)，地塊在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值時(shí)多少？【正確答案】（1）；（2）；面積的最大值為.【分析】（1）把代入函數(shù)，得的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，即可得到答案；（2）先求出面積的表達(dá)式為，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得到答案；【詳解】解：（1）把代入函數(shù)，得，∵，∴，∴直線方程為；（2）由（1）知，直線的方程為，令，，令，，∴，.∴，∴，令，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以所求面積的最大值為.本題考查函數(shù)模型解決面積問題、導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.18.已知是等差數(shù)列，公差，，且是與等比中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式（2）數(shù)列滿足，且.（?。┣蟮那皀項(xiàng)和.（ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，，．【分析】（1）由等差中項(xiàng)得到，由等比中項(xiàng)得到，解出，求得的通項(xiàng)公式；（2）（?。└鶕?jù)，由累加法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和；（ⅱ）假設(shè)存在，分別表示出，，，由等差中項(xiàng)得到，得到或，解得，符合題意.【小問1詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以．又是與的等比中項(xiàng)，所以，即．化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以．【小問2詳解】（i）由，得，所以（），又，當(dāng)時(shí)，，又也適合上式，所以，則，所以．（ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，顯然是25的正約數(shù)，又，則或，當(dāng)，即時(shí)，與矛盾；當(dāng)，即時(shí)，，符合題意，所以存在正整數(shù)使得，，成等差數(shù)列，此時(shí)，．方法點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法求和常見的裂項(xiàng)方法（1），特別地當(dāng)時(shí)，；（2），特別地當(dāng)時(shí)，；（3）（4）（5）19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式無整數(shù)解，求的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分三種情況討論的單調(diào)性；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的取值范圍，再結(jié)合不等式，討論的取值，即可求解.【小問1詳解】，當(dāng)，得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上可知，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，