初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專(zhuān)題27數(shù)形結(jié)合

專(zhuān)題27數(shù)形結(jié)合

閱讀與思考

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是“數(shù)”與“形”，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界

的事物，我們既可以從“數(shù)”的角度來(lái)研究，也可以從“形”的角度來(lái)探討，我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的性質(zhì)

時(shí)，離不開(kāi)“形”；而在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，也可以借助于“數(shù)”．我們把這種由數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形

性質(zhì)，或由圖形的性質(zhì)來(lái)探討數(shù)量關(guān)系，即這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想叫作

數(shù)形結(jié)合思想.

數(shù)形結(jié)合有下列若干途徑：

1．借助于平面直角坐標(biāo)系解代數(shù)問(wèn)題；

2．借助于圖形、圖表解代數(shù)問(wèn)題；

3．借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問(wèn)題；

4．借助于函數(shù)解幾何問(wèn)題.

現(xiàn)代心理學(xué)表明：人腦左半球主要具有言語(yǔ)的、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具

有非言語(yǔ)的、綜合的、直觀的、音樂(lè)的、幾何圖形識(shí)別的形象思維的功能．要有效地獲得知識(shí)，則需要

兩個(gè)半球的協(xié)同工作，數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題有利于發(fā)揮左、右大腦半球的協(xié)作功能.

代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因?yàn)槿绱?，笛卡爾?chuàng)立

了解析幾何，用代數(shù)方法統(tǒng)一處理幾何問(wèn)題．從而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)．幾何問(wèn)題代數(shù)化乃是數(shù)學(xué)的一

大進(jìn)步．

例題與求解

【例l】設(shè)yx22x2x24x13，則y的最小值為_(kāi)__________.（羅馬尼亞競(jìng)賽試題）

解題思路：若想求出被開(kāi)方式的最小值，則顧此失彼．yx121x229＝

2222

x101x203，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)C(x，0)，使它到兩

點(diǎn)A（－1，1）和B(2，3)的距離之和（即CA＋CB）最小.

【例2】直角三角形的兩條直角邊之長(zhǎng)為整數(shù)，它的周長(zhǎng)是x厘米，面積是x平方厘米，這樣的直角三

角形()

A．不存在B．至多1個(gè)C．有4個(gè)D．有2個(gè)

（黃岡市競(jìng)賽試題）

解題思路：由題意可得若干關(guān)系式，若此關(guān)系式無(wú)解，則可推知滿足題設(shè)要求的直角三角形不存在；

若此關(guān)系式有解，則可推知這樣的直角三角形存在，且根據(jù)解的個(gè)數(shù)，可確定此直角三角形的個(gè)數(shù)．

【例3】如圖，在△ABC中，∠A＝900，∠B＝2∠C，∠B的平分線交AC于D，AE⊥BC于E，

111

DF⊥BC于F.求證：.

BDDFAEBFAEBE

（湖北省競(jìng)賽試題）

解題思路：圖形中含多個(gè)重要的基本圖形，待證結(jié)論中的代數(shù)跡象十分明顯．可依據(jù)題設(shè)條件，分

別計(jì)算出各個(gè)線段，利用代數(shù)法證明．

【例4】當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程x25xa有且只有相異的兩實(shí)數(shù)根？

（四川省聯(lián)賽試題）

解題思路：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yx25x與函數(shù)ya(a≥0)圖象有且只有相

異兩個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)圖象，由圖象可直觀地得a的取值范圍．

【例5】設(shè)△ABC三邊上的三個(gè)內(nèi)接正方形（有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在

三角形另兩邊上）的面積都相等，證明：△ABC為正三角形．（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)△三邊長(zhǎng)分別為，，，對(duì)應(yīng)邊上的高分別為，，，△的面積

ABCabchahbhcABC

2S2S2S

為S，則易得三個(gè)內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)分別為，，，由題意得ahabhbchc，

ahabhbchc

2S2S2S2S

即abcL．則a，b，c適合方程xL.

abcx

2

2y

xxy25

3

2

y

【例6】設(shè)正數(shù)x，y，z滿足方程組z29，求xy2yz3zx的值．

3

22

zzxx16

（俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

能力訓(xùn)練

1.不查表可求得tan150的值為_(kāi)_________.

33

2.如圖，點(diǎn)A，C都在函數(shù)y(x0)的圖象上，點(diǎn)B，D都在x軸上，且使得△OAB，△

x

BCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

3．平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)P(－1，－2)和點(diǎn)Q(4，2)，取點(diǎn)R(1，m)，當(dāng)m________時(shí)，PR＋

RQ有最小值.

4.若a0，b0，要使xaxbab成立，x的取值范圍是__________.

5.已知AB是半徑為1的⊙O的弦，AB的長(zhǎng)為方程x2x10的正根，則∠AOB的度數(shù)是

______________.（太原市競(jìng)賽試題）

6.如圖，所在正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與x軸或y軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依

次為，，，，…，頂點(diǎn)依次用，，，，…表示，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是

2468A1A2A3A4A55()

A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)

第2題圖第6題圖

7．在△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4．在△ABD中，∠A＝900，AD＝12.點(diǎn)C和點(diǎn)D分居AB

DEm

兩側(cè)，過(guò)點(diǎn)D且平行于AC的直線交CB的延長(zhǎng)線于E．如果，其中，m，n是互質(zhì)的正整數(shù)，

DBn

那么mn=()

A.25B.128C.153D.243E.256

（美國(guó)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試題）

aab

8．設(shè)a，b，c分別是△ABC的三邊的長(zhǎng)，且，則它的內(nèi)角∠A，∠B的關(guān)系是()

babc

A．∠B＞2∠AB．∠B=2∠AC．∠B＜2∠AD．不確定

．如圖，，，，則

9SAFG5aSACG4aSBFG7aSAEG()

27282930

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)

11111111

10.滿足兩條直角邊邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無(wú)窮多個(gè)

如圖，關(guān)于的二次函數(shù)2的圖象與軸交于，，，兩點(diǎn)＞＞，

11.xyx2mxmxA(x10)B(x20)(x20x1)

與y軸交于C點(diǎn)，且∠BAC＝∠BCO.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

以點(diǎn)（，）為圓心⊙，與軸相切于點(diǎn)，過(guò)＝拋物線上一點(diǎn)，＞，＜

(2)D20DyOE(x3t)(t0x3

0)作x軸的平行線與⊙D交于F，G兩點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn)H．問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)t，使得EF＋GH＝

CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（武漢市中考題）

12.已知正數(shù)a，b，c，A，B，C滿足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求證：aB十bC＋cA＜k2.

13.如圖，一個(gè)圓與一個(gè)正三角形的三邊交于六點(diǎn)，已知AG＝2，GF＝13，F(xiàn)C＝1，HI＝7，求DE．

（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

14.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒，以點(diǎn)P為圓心，3cm為半

徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上）．請(qǐng)寫(xiě)出t可以取的一切值：_______________（單位：秒）．

15.如圖，已知D是△ABC邊AC上的一點(diǎn)，AD：DC＝2：1，∠C＝450，∠ADB＝600．

求證：AB是△BCD的外接圓的切線．

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

16.如圖，在△ABC中，作一條直線l∥BC，且與AB、AC分別相交于D，E兩點(diǎn)，記△ABC，△BED的

1

面積分別為S，K．求證：K≤S．（長(zhǎng)春市競(jìng)賽試題）

4

17.如圖，直線OB是一次函數(shù)y2x的圖象，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2).在直線OB上找點(diǎn)C，使得△ACO

為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（江蘇省競(jìng)賽試題）

專(zhuān)題27數(shù)形結(jié)合

例15提示:作出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'(2,-3)，連結(jié)AB'交x軸于C，則AB'=AC十CB'為所要求的

最小值.

1

例2D提示:設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，由題意得a+b+c=x，abx,又a2b2c2，得

2

42b2b0,42b0,

a..因a,h為邊長(zhǎng)且是整數(shù).故當(dāng)?shù)胋<2，取b1,a不是整數(shù);當(dāng)?shù)?/p>

4b4b0,34b0,

b>4，要使a,b為整數(shù)，只有兩種取法:若b=5時(shí)，a=12(或b=12,a=5);若b=8時(shí)，a=6(或b=6,a=8).

112

例3設(shè)AB=x，則BC=2x,AC=3x,BE=x,DF=DA=x,BDx..在RtAEB中求得

233

△

3

AE=x,BFx,代入證明即可.

2

例4如圖，作出函數(shù)yx25x圖象，由圖象可以看出:當(dāng)a=0時(shí)，

25

y=0與yx25x有且只有相異二個(gè)交點(diǎn);當(dāng)0a時(shí)，y=a與

4

25

yx25x圖象有四個(gè)不同交點(diǎn);當(dāng)a時(shí)，y=a與

4

yx25x圖象有三

25

個(gè)不同交點(diǎn)，當(dāng)a時(shí)，y=a與yx25x圖象有且只有相異二個(gè)交點(diǎn).

4

2s2s2s2s

例5由abcL①,知正數(shù)a,b,c適合方程xL.當(dāng)x0時(shí)，有

abcx

x2Lx2s0②，故a,b,c是方程②的根.但任何二次方程至多只有兩個(gè)相異的根，所以a,b,c中的

112s

某兩數(shù)必相同.設(shè)ab,若ca，由①得ac2sac，則ac=2s=ah，這樣ABC

caaca

△

就是以∠B為直角的直角三角形，b>a，矛盾，故a=c，得證.

例

6SAOBSBOCSAOCSABC,

1y1y11

xsin150zxzsin12043,

232322即

1y11y13

xzxz6,

2322322化簡(jiǎn)得xy2yz3zx243.

能力訓(xùn)練1.23提示:構(gòu)造含15的RtABC.

△

2.26，0提示:如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,C作x軸的垂線，垂足分別為E,F.設(shè)

OE=a,BF=b，則AE=3a,CF=3b，所以點(diǎn)A,C的坐標(biāo)為

3a233,

a,3a,2ab,3b.解得

3b2ab33,

a3,

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為26,0.

b63.

2

3.-提示:當(dāng)R,P，Q三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，PR+RQ有最小值.

5

4.bxa

5.36提示:由x2x10得x1x2<1，則有AB<OB.在OB上截取OC=AB=x，又由x2x10

x1ABOA

得，即，則OAB∽△ABC,AB=AC=OC.

1xxBCAB

提示由題所給的數(shù)據(jù)結(jié)合坐標(biāo)系可得，是第個(gè)正方形上的第三個(gè)頂點(diǎn)，位于第一象限，所

6.C:A5514

以的橫縱坐標(biāo)都是

A5514.

7.A

bac

8.B提示：由條件a2abacabb2,即b2aac,，延長(zhǎng)CB至D，使BD=AB，

ab

易證ABC∽△DAC，得∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC.

9.D

△

1

10.C提示:設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,bab,則aba2b2kab(a,b,k均為正

2

ka41,ka42,

整數(shù))，化簡(jiǎn)得ka4kb48,或解得

kb48kb44

k1,k2,k1,

a5,或a3,或a6,即有3組解.

b12b4b8

11.(1)yx22x1(2)過(guò)D作DM⊥EH于M，連結(jié)DG,

DMt,DGDO2,FG2MG22t2.若EF+GH=FG成立，則EH=2FG.由EF//x軸，設(shè)

為，又∵為拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，22即是方程

Hx4,tE,Hx32x31t,x42x41t,x3,x4

2的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，

x2x1tx3x42,x3x41t

22解得

EHx4x3x3x44x3x422t,22t222t,

971971

t,t(舍去).

1818

12.a十A=b+B=c十C=k，可看作邊長(zhǎng)為k的正三角形，而從k2聯(lián)想到邊長(zhǎng)為k的正方形的面積.如圖，

將aB+bC+cA看作邊長(zhǎng)分別為a與B,b與C,c與A的三個(gè)小矩形面積之和，將三個(gè)小矩形不重疊地嵌入

到邊長(zhǎng)為k的正方形中，顯然aB+bC+cA<k2.

13.AC=AG+GF+FC=16，由AH·AI=AG·AF，得AH

(AH＋7)＝2×(2＋13)，解得AH＝3，從而HI＝7，BI＝6．設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，則由圓冪定理得

CE?CD＝CF?CGy(16－x)＝1×14x＝10－22

，即.解得.故DE＝16－(x＋y)＝222.

BD?BE＝BI?BHx(16－y)＝6×13y＝6－22

14.t＝2或3≤t≤7或t＝8.提示：本題通過(guò)點(diǎn)的移動(dòng)及直線與圓相切，考查分類(lèi)討論思想.由題意知∠

AMQ＝60°，MN＝2．當(dāng)t＝2時(shí)，圓P與AB相切；當(dāng)3≤t≤7時(shí)，點(diǎn)P到AC的距離為3，圓P

與AC相切；當(dāng)t＝8時(shí)，圓P與BC相切．

15．設(shè)AD＝2，DC＝1，作BE⊥AC，交AC于E．又設(shè)ED＝x,則BE＝3x,BE＝EC＝3x．又1＋x＝3x,

3＋13＋33－33－33＋3

∴x＝,BE＝,AE＝AD－ED＝2－x＝，AB2＝AE2＋BE2＝（）2＋（）

22222

2＝6，而AD?AC＝6．∴AB2＝AD?AC.故由切割線定理逆定理知，AB是△BCD的外接圓的切線．

ADAES△ABEAES△BDEBDAB－AD

16．設(shè)