江西省鷹潭市2025年高考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江西省鷹潭市2025年高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|y=ln(?x2?x+2)}，B=[?2,0]A.(?2,0] B.[?1,0] C.{?1,0} D.{?2,?1}2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(2?i)z=3?i，那么z的虛部是(

)A.15 B.75 C.753.已知向量a=(2,6)，b=(m,?1)，若(a+A.3 B.3 C.?3 D.4.已知sin(α?β)=16，sinαcosβ=14A.79 B.19 C.?15.已知直線l1：mx+y+m=0和l2：x?my?3=0相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為(

)A.(x?1)2+y2=4 B.(x+16.已知(1+2x)n=a0+a1x+aA.81 B.242 C.243 D.807.過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點(diǎn)M作圓x2+y2=b2的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q.A.12 B.33 C.8.數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an=an?1+an?2(n≥3,n∈N?)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在正整數(shù)i1，i2，…，im，且i1<i2<…<im，使得ai1+aA.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知變量x和變量y的一組成對樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)的散點(diǎn)落在一條直線附近，x?=1ni=1nxiA.當(dāng)r>0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)成線性正相關(guān)

B.當(dāng)r越大時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

C.xn+1=x?，yn+1=y?時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n,n+1)的相關(guān)系數(shù)10.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為棱A1D1，BC的中點(diǎn)，P為正方形A1B1A.存在點(diǎn)P，使得直線A1B1與平面MNP垂直

B.平面MNP把正方體分割成的兩個(gè)幾何體的體積相等

C.QB?QD1的取值范圍為[?3,+∞)

D.若動(dòng)點(diǎn)11.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線C：(x2+y2)3=16x2y2被稱為“四葉玫瑰線”(如圖所示A.曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2

B.曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)(即橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

C.存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長為22的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)．

D.y三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=2x2+1,x≤0f(x?3),x>013.若正實(shí)數(shù)a，b滿足條件：ea+b=e(a+b)(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則ab的最大值是______．14.已知：在△ABC中，M，N，P三點(diǎn)分別在邊AB，BC，CA上，則△AMP，△BMN，△CNP的外接圓交于一點(diǎn)O，稱為密克點(diǎn).在梯形ABCD中，B=C=60°，AB=2AD=2，M為CD邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，△ABP與△CMP的外接圓交于點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)，則BQ的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=exsinx(e是自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，求不等式g(x)≥0的解集；

(2)若函數(shù)?(x)=f(x)?(x?π4)g(x)，求函數(shù)16.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，∠A1AB=∠A1AC=2π3．

(1)求證：BC⊥AA17.(本小題15分)

預(yù)防接種是預(yù)防掌握傳染病最經(jīng)濟(jì)、最有效的手段，是預(yù)防疾病傳播和保護(hù)群眾的重要措施.為了考查一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動(dòng)物(數(shù)量較大)進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)(單位：只)：發(fā)病沒發(fā)病合計(jì)接種疫苗71825沒接種疫苗19625合計(jì)262450(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？

(2)從該地區(qū)此動(dòng)物群中任取一只，記A表示此動(dòng)物發(fā)病，A?表示此動(dòng)物沒發(fā)病，B表示此動(dòng)物接種疫苗，定義事件A的優(yōu)勢R1=P(A)1?P(A)，在事件B發(fā)生的條件下A的優(yōu)勢R2=P(A|B)1?P(A|B)，利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，求R2R1的估計(jì)值．

(3)若把上表中的頻率視作概率，現(xiàn)從該地區(qū)沒發(fā)病的動(dòng)物中抽取3只動(dòng)物，記抽取的3P(0.0500.0100.001x3.8416.63510.82818.(本小題17分)

已知拋物線Γ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，過焦點(diǎn)作直線l交拋物線Γ于M，N兩點(diǎn)，且OM?ON=?12．

(1)求拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過拋物線Γ上的三個(gè)不同點(diǎn)A，B，C(B在A，C之間)，作拋物線的三條切線，分別兩兩相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn).是否存在常數(shù)λ，使得DA?FC=λDE?FE？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4時(shí)，以C為直角頂點(diǎn)，作拋物線的兩個(gè)內(nèi)接Rt△CPQ及19.(本小題17分)

設(shè)a為正數(shù)，若以a為首項(xiàng)的等比數(shù)列{an}滿足：a1+1，a2+2，a3+3也構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{an}為a所對應(yīng)的一個(gè)G型數(shù)列．

(1)若G型數(shù)列{an}存在并且唯一，求a的值；

(2)若an=a2n?1，n∈N?，其中12<a<1，{an答案解析1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)锳={x∈Z|y=ln(?x2?x+2)}，

所以?x2?x+2>0，即(x+2)(x?1)<0，所以?2<x<1，

所以A={x∈Z|y=ln(?x2?x+2)}={?1,0}，

2.【答案】A

【解析】解：由(2?i)z=3?i，可得z=3?i2?i=(3?i)(2+i)(2?i)(2+i)=75+15i，

所以3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(2,6)，b=(m,?1)，

可得a+b=(2+m,6?1)，a?b=(2?m,6+1)，

由(a+b)⊥(a?b)，則(a+b)?(a?b)=0，

可得(2+m)?(2?m)+(6?1)?(6?1)=04.【答案】A

【解析】解：由已知等式可得sinαcosβ?cosαsinβ=16，

又sinαcosβ=14，

可得cosαsinβ=112，

故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=14+112=13，

5.【答案】C

【解析】解：由直線l1：mx+y+m=0和l2：x?my?3=0相交于點(diǎn)P，可知m?1+1?(?m)=0，

則l1⊥l2，

由l1：(x+1)m+y=0，則直線l1過定點(diǎn)A(?1,0)，

由l2：x?3?my=0，則直線l2過定點(diǎn)B(3,0)，

易知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為AB為直徑的圓，圓心(1,0)，半徑r=2，

由題意易知直線l1的斜率存在，則交點(diǎn)P不能是(?1,0)6.【答案】B

【解析】解：由題意可得E(ξ)=1，D(ξ)=14，

又二項(xiàng)式(1+2x)n的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)a1=Cn1?2=2n，含x2項(xiàng)的系數(shù)為a2=Cn2?22=2n(n?1)，

所以a1a2=2n2n(n?1)=14，解得n=5，

則二項(xiàng)式為(1+2x)5=a0+7.【答案】C

【解析】解：橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點(diǎn)M作圓x2+y2=b2的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q.若直線PQ在x軸，y軸上的截距分別為m，n，如圖，

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，則x02a2+y02b2=1，

即a2y02+b2x02=a2b2，

又x128.【答案】D

【解析】解：對于①，由題意知數(shù)列中的項(xiàng)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，

可得1+5+13+34+89+233+610=985，故①正確；

對于②，若存在m∈N?，使得am，am+1，am+2成等比數(shù)列，

則am+12=amam+2，又am+2=am+1+am，

即am+12?amam+1?am2=0，

解得am+1=1±52am，

由a1=a2=1，an=an?1+an?2(n≥3,n∈N?)，

得an>an?1>an?2>?>a2=1>0，且an為整數(shù)，

所以am+1=1+52am，這與相鄰兩項(xiàng)為整數(shù)矛盾，故②錯(cuò)誤；

對于③，因?yàn)閍n+4=an+3+an+2，an+3=a9.【答案】ACD

【解析】解：已知變量x和變量y的一組成對樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)的散點(diǎn)落在一條直線附近，

x?=1ni=1nxi，y?=1ni=1nyi，相關(guān)系數(shù)為r，線性回歸方程為y?=b?x+a?，

對于A，r>0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)成線性正相關(guān)，A正確；

對于B，當(dāng)|r|越大時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，

r1=?0.98，r2=0.9時(shí)，r1對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，B錯(cuò)誤；

對于C，當(dāng)xn+1=x?，yn+1=y?時(shí)，10.【答案】BD

【解析】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，B1(2,2,2)，M(1,0,2)，N(1,2,0)，

對于A：A1B1=(0,2,0)，NM=(0,?2,2)，

A1B1?NM=?4≠0，即A1B1與MN不垂直，

而MN?平面MNP，因此直線A1B1與平面MNP不垂直，故A錯(cuò)；

誤對于B，線段MN的中點(diǎn)(1,1,1)為正方體ABCD?A1B1C1D1的中心，

平面MNP過該正方體的中心，

由對稱性，平面MNP把正方體分割成的兩個(gè)幾何體的體積相等，故B正確；

對于C，設(shè)點(diǎn)O為體對角線BD1的中點(diǎn)，OB=OD1=3，QO最小為1，

QB?QD1=QO2?OB2=QO2?3∈[?2,+∞)，故C錯(cuò)誤；

對于D，如圖，

以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q(x,y,0)，

由|QA|=2|QB|，

11.【答案】AD

【解析】解：對于選項(xiàng)A，不妨設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為曲線C：(x2+y2)3=16x2y2上的任一點(diǎn)，

則(x02+y02)3=16x02y02=4(2x0y0)2≤4(x02+y02)2，化簡得x02+y02≤4，

當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0時(shí)取等號，于是|OP|2=x02+y02≤4，即得|OP|≤2，

故可得曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B，由A可知0≤x2≤4，0≤y2≤4，x2+y2≤4，

當(dāng)x2=1，y2=1時(shí)，(x2+y2)3=16x2y2不成立，

當(dāng)x2=1，y2=0時(shí)，(x2+y2)3=16x2y2不成立，

當(dāng)x2=4，y2=0時(shí)，(x2+y2)3=16x2y2不成立，

當(dāng)x2=0，y2=4時(shí)，(x2+y2)3=16x2y2不成立，

當(dāng)x2=0，y2=1時(shí)，(x2+y2)3=16x2y2不成立，

12.【答案】9

【解析】解：∵f(x)=2x2+1,x≤0f(x?3),x>0，

∴f(4)=f(4?3)=f(1)

=f(1?3)=f(?2)=2×(?2)2+1=9，13.【答案】14【解析】解：正實(shí)數(shù)a，b滿足條件：ea+b=e(a+b)，

構(gòu)造函數(shù)y=ex，y=ex，

求y=ex在x=1處的切線方程，

y′=ex，此時(shí)切線斜率為e，切線方程為：y?e=e(x?1)，即y=ex，

畫出圖象，

所以由ea+b=e(a+b)可得：a+b=1，

所以a+b=1≥2ab，即ab≤14，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號，

所以ab的最大值是114.【答案】7【解析】解：延長BA，CD交于點(diǎn)E，則由題可知△EBC為正三角形，

由題設(shè)結(jié)論△ABP，△CMP，△AME的外接圓有唯一公共點(diǎn)，該公共點(diǎn)即為題中的點(diǎn)Q，

故點(diǎn)Q在△AME的外接圓上，如上圖，

又由題AD=DM=1，∠BAD=∠ADM=180°?∠BCD=180°?60°=120°，

所以∠AMD=30°，故∠EAM=180°?∠AMD?∠AED=180°?30°?60°=90°，

所以△AME是直角三角形，故其外接圓半徑R=AD=1，

在△ABD中，由余弦定理BD=22+12?2×2×1×cos120°=7，

所以BQ的最小值為7?1．

故答案為：7?1．

延長BA，CD交于點(diǎn)E得△EBC為正三角形，且得△ABP、△CMP、△AME的外接圓有唯一公共點(diǎn)為密克點(diǎn)Q，接著由題給條件推出15.【答案】[0,3π4]∪[7π4,2π]；

?(x)的極大值為【解析】解：(1)易知g(x)=f′(x)=ex(sinx+cosx)=2exsin(x+π4)，

令g(x)≥0，解得?π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ，k∈Z，

又x∈[0,2π]，所以g(x)≥0的解集為[0,3π4]∪[7π4,2π]．

(2)由題可知，?′(x)=f′(x)?g(x)?(x?π4)g′(x)=?2(x?π4)?ex?cosx，

當(dāng)x∈[0,π4)∪(π2,π]時(shí)，?′(x)>0，當(dāng)x∈(π416.【答案】證明見解析；

存在，D在靠近C1的三等分點(diǎn)處．【解析】解：(1)證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，A1E，

在△A1AB與△A1AC中，

因?yàn)锳B=AC，∠A1AB=∠A1AC，AA1=AA1，

所以△A1AB≌△A1AC，所以A1B=A1C，

又因?yàn)镋B=EC，所以A1E⊥BC，

同理，因?yàn)锳B=AC，BE=CE，所以AE⊥BC，

又因?yàn)锳1E∩AE=E，所以BC⊥平面A1AE，又AA1?平面A1AE，

所以BC⊥AA1；

(2)在△ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，則AE=CE=BE=2，

在△A1AB中，因?yàn)锳B=AA1=2，∠A1AB=2π3，所以A1B=23，同理A1C=23，

在等腰△A1BC，因?yàn)锳1B=A1C=23，BE=CE=2，∴A1E=10，

在△AEA1中，由余弦定理得：cos∠A1EA=2+10?42×2×10=255，

即sin∠A1EA=55，

在平面AEA1內(nèi)過E作Ez⊥AE，則Ez⊥平面ABC，于是直線EA，EB，Ez兩兩垂直，

以E為原點(diǎn)，直線EA，EB，Ez分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

在平面AEA1內(nèi)過17.【答案】接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)；

1439；【解析】解：(1)零假設(shè)H0：接種該疫苗與預(yù)防該疾病無關(guān)，

則χ2=50×(19×18?7×6)226×24×25×25≈11.538>10.828，

所以依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，

即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)；

(2)由于1?P(A|B)=1?P(AB)P(B)=P(B)?P(AB)P(B)=P(A?B)P(B)=P(A?|B)，

所以R2=P(A|B)1?P(A|B)=P(A|B)P(A?|B)，R1=P(A)1?P(A)=P(A)P(A?)，

R2R1=P(A|B)P(A?X0123P192727所以E(X)=3×34=94．

(1)求得卡方值，比較臨界值即可判斷；

(2)由條件概率計(jì)算公式即可求解；

(3)18.【答案】x2=8y；

存在，λ=1；

(?4,10)【解析】解：(1)設(shè)拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0)，直線MN的方程為y=kx+p2，

聯(lián)立x2=2pyy=kx+p2，消去y，得x2?2pkx?p2=0，Δ=4p2k2+4p2>0，

設(shè)M(x1,x122p)，N(x2,x222p),則x1+x2=2pk,x1x2=?p2，

所以O(shè)M?ON=x1x2+x12x224p2=?p2+p24=?3p24=?