湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第一中學(xué)2025屆高三3月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第一中學(xué)2025屆高三3月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合A=x?1≤x≤2,B=x∈Nx<2A.xx<2 B.0,1 C.?1,0,1 D.2.復(fù)數(shù)z1?i2022=1+i20252i2+i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)A.15 B.15i C.?3.如圖，在四面體A?BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線(xiàn)段EF上靠近點(diǎn)E的一個(gè)三等分點(diǎn)，令A(yù)B=a,AC=b,A.13a+16b+164.已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a2+a4+a6A.3 B.2 C.1 D.?15.四色猜想又稱(chēng)四色問(wèn)題、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.四色定理的內(nèi)容是“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”如圖，一矩形地圖被分割成了五塊，小剛打算對(duì)該地圖的五個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇(4種顏色不一定用完)，滿(mǎn)足四色定理的不同的涂色種數(shù)為

A.96 B.72 C.108 D.1446.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài)．圖(1)形成對(duì)稱(chēng)形態(tài)，圖(2)形成“右拖尾”形態(tài)，圖(3)形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖做出以下判斷，不正確的是(

)A.圖(1)的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B.圖(2)的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)

C.圖(2)的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù) D.圖(3)的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)7.已知函數(shù)y=sinx?fx+2是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且fx+1=f7?x，當(dāng)x∈0,2A.23 B.22 C.8.已知拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0)，O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F作斜率為3的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，B，直線(xiàn)AO，BO分別交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，D，則ABA.2 B.3 C.2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)fx=sin2x+A.fx的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=π6對(duì)稱(chēng)

B.fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π3,0對(duì)稱(chēng)

C.fx在?π310.已知a≠0,a,b∈R.設(shè)命題p：過(guò)點(diǎn)1,1恰可作一條關(guān)于y=ax3+bx的切線(xiàn).以下為命題p的充分條件的有A.b+a=1 B.b?a=1 C.a=eb 11.若平面點(diǎn)集，滿(mǎn)足：任意點(diǎn)x,y∈M，存在正實(shí)數(shù)t，都有tx,ty∈M，則稱(chēng)該點(diǎn)集為“t階集”，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若M={x,y|y=2x}是“t階集”，則t=1

B.若M={x,y|y=2x}是“t階集”，則t為任意正實(shí)數(shù)

C.若M={x,y|x2≤4y}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在以O(shè)為中心，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿(mǎn)足MF1=213.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)0.618就是黃金分割，這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為a=2sin18°，若a2+b=4，則14.在?ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，AB⊥AD，BD=3，CD=1，點(diǎn)M是?ABC外接圓上任意一點(diǎn)，則AB?AM最大值為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x3?a(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值．16.(本小題12分)已知：斜三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥AC，AA1與面ABC所成角正切值為2，AA1(1)求證：AC⊥EB；(2)F為棱AA1上一點(diǎn)，且二面角A?BC?F為30°17.(本小題12分)在矩形ABCD中，點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，且AB=5,CE=3,∠AEB=π(1)求BC；(2)若動(dòng)點(diǎn)M,N分別在線(xiàn)段EA,EB上，且?EMN與?EAB面積之比為2+1:4，試求18.(本小題12分)已知事件A,B滿(mǎn)足0<PA(1)若P(AB)P(B)+P(AB(2)PAB19.(本小題12分)設(shè)點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)C:x2?y23=1的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?1,2)，與C(1)求直線(xiàn)AP,AQ的斜率之和;(2)設(shè)在射線(xiàn)AQ上的點(diǎn)R滿(mǎn)足∠APQ=∠ARP，求直線(xiàn)PR的斜率的最大值．

參考答案1.B

2.A

3.A

4.B

5.D

6.C

7.B

8.A

9.BCD

10.BD

11.ABC

12.613.?114.3+315.(1)由題設(shè)f′x=3xfx=x所以點(diǎn)1,f1處的切線(xiàn)方程為y=x?1，即x?y?1=0(2)由(1)f′x由f′x>0，有x<0或x>23，由故在區(qū)間?∞,0,23,+∞上所以fx的極小值為f2316.(1)證明：取線(xiàn)段AC的中點(diǎn)M，連接EM、BM，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，所以，AC//A1C因?yàn)镋、M分別為A1C1、AC所以，EM//AA又因?yàn)锳A1//BB1，則EM//B因?yàn)锳B=BC，M為AC的中點(diǎn)，則BM⊥AC，因?yàn)镋M∩BM=M，EM、BM?平面BEM，所以，AC⊥平面BEM，因?yàn)镋B?平面BEM，所以，EB⊥AC．(2)解：由(1)可知，AC⊥平面EMBB過(guò)點(diǎn)E在平面BB1EM內(nèi)作EO⊥BM因?yàn)锳C⊥平面BB1EM，EO?平面B又因?yàn)镋O⊥BM，BM∩AC=M，BM、AC?平面ABC，則EO⊥平面ABC，所以，直線(xiàn)AA1與平面ABC所成的角為所以，tan∠EMO=EOOM因?yàn)镋M=EO2+O因?yàn)锳B=BC=22AC=2所以，AB2+B因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，所以，MB=1以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ox、OB、OE的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,?1,0、B0,1,0、M0,?1,0、CME=0,1,2，則即點(diǎn)A12,0,2，同理可得點(diǎn)B1設(shè)AF=λAA則CF=CA+設(shè)平面BCF的法向量為m=則m?CB=2x+2y=0m?CF=4x+λy+2λz=0所以，平面BCF的一個(gè)法向量為m=易知平面ABC的一個(gè)法向量為n=因?yàn)槎娼茿?BC?F為30則cosm,n因?yàn)?≤λ≤1，解得λ=8617.(1)過(guò)E作EH⊥AB于H，設(shè)BC=m，易知AH則tan∠AEH=2m整理得到m2?5m?6=0，解得m=6或m=?1(舍)，所以(2)由(1)易知AE=36+4=2又S?EMN得到ab=152+22所以MN≥15，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，故MN18.(1)因?yàn)锳B∪AB=B,AB∩AB=?，所以由PABPB+P而PA由PA=1?PA=1?PAB(2)一方面，PAB又因?yàn)锳B?B另一方面，P=PAB綜上所述，有PAB19.(1)由題知A(?1,0)．由于平移不改變斜率，作平移變換x′=x+1y′=y則A點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)锳(0,0)，點(diǎn)(?1,2)的坐標(biāo)變?yōu)?0,2)雙曲線(xiàn)C方程變?yōu)閤′?1設(shè)點(diǎn)x′,y′與A點(diǎn)連線(xiàn)的斜率為k，則k=y①式兩邊同除以x′2，得1?2由題知，直線(xiàn)PQ不過(guò)點(diǎn)A(0,0)，所以設(shè)直線(xiàn)PQ:m因?yàn)橹本€(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)P(0,2)，所以2n=1，