上海交通大學(xué)2015年線性代數(shù)試卷

(A卷)第9頁共6頁上海交通大學(xué)線性代數(shù)試卷(A)2015年6月22日姓名___________班級__________學(xué)號______________題號一二三四總分得分一、選擇題（每題3分，共15分）1．設(shè)為階可逆矩陣,的第二行乘以2為矩陣，則的為。(A)第二行乘以；(B)第二列乘以2；(C)第二行乘以；(D)第二列乘以2.設(shè)向量組線性無關(guān),線性相關(guān),則以下命題中，不一定成立的是。(A)不能被線性表示；(B)不能被線性表示；(C)能被線性表示；(D)線性相關(guān)3.設(shè),則二次型的矩陣為。(A)；(B)；(C)；(D)4．的伴隨矩陣為，。(A)1；(B)2；(C)3；(D)45.已知是線性空間的一個基，以下也是的基。(A)；(B)；(C)；(D)。二、填空題（每題3分，共15分）1．設(shè)是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則模＝_________。2．設(shè)矩陣為正交矩陣，則，。3.若實(shí)二次型為正定二次型,則的取值范圍為。4.已知是非齊次線性方程組線性無關(guān)的解，為矩陣，且秩。若是方程組的通解，則常數(shù)須滿足關(guān)系式。5.設(shè)為階實(shí)對稱矩陣，且，是的一重特征值，則行列式。三、計(jì)算題(每題9分,共54分)計(jì)算階行列式D，其中；2.設(shè)3階方陣滿足方程，試求矩陣以及行列式，其中。3.設(shè)為三階實(shí)對稱矩陣，且滿足已知向量,,是對應(yīng)特征值的特征向量，求，其中為自然數(shù)。4.已知實(shí)二次型=，求正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交變換。5.已知線性空間的基到基的過渡矩陣為，且，，；試求出在基下有相同坐標(biāo)的全體向量。6.設(shè)線性方程組為，問：、取何值時，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。四、證明題(第一題6分，第二題10分)1．設(shè)為維列向量，且，矩陣，證明：行列式。設(shè)是實(shí)矩陣,是維實(shí)列向量，證明：（1）秩；（2）非齊次線性方程組有解。線性代數(shù)參考答案一、選擇題1.(D)2.(B)3.(C)4.(A)5.(C){B卷；CADDB}二、填空題1.；2.；3.；4.為任意常數(shù)；5..{B卷；1.；2.；3.；4.為任意常數(shù)；5..}三、計(jì)算題{B卷；2，1，3，6，5，4}1. 9分2.2分8分9分3.，特征值1、1、－2，2分，特征向量，所以3分5分9分4.的矩陣，有特征值2分 對應(yīng)的線性無關(guān)的和單位正交的特征向量6分，，；，，于是正交變換，即8分化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形9分5．設(shè),,則。設(shè)所求向量的坐標(biāo)為，則，即，4分因?yàn)闉榭赡婢仃?，得，由得?分故9分6. 3分當(dāng)－2時，方程組有唯一解當(dāng)－2，－1時，方程組無解 5分當(dāng)－2，－2時，＝2<3，方程組有無窮多組解,其通解為，為任意常數(shù)。9分四、證明題1．證：