湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024年春季湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體期中考試高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：天門市陸羽高級中學(xué)命題教師：黃文華審題學(xué)校：天門市岳口高級中學(xué)審題教師：饒金平考試時間：2024年4月28日8:0010:00試卷滿分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、考號、班級、姓名等填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答在試題卷、草稿紙上無效．3．填空題和解答題的作答：用0．5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知，則（）A.3或9 B.9 C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)列式計算.【詳解】因為，所以或，得.故選：C.2.下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則依次求導(dǎo)即可判斷.【詳解】對于A項，因是常數(shù)，故，即A項錯誤；對于B項，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，故B項錯誤；對于C項，，故C項錯誤；對于D項，由求導(dǎo)法則易得故D項正確.故選：D.3.有3個旅游愛好者分別從4個不同的景點中選擇一處游覽，則不同的選擇方法數(shù)為（）A.81 B.64 C.24 D.12【答案】B【解析】【分析】由分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】3個旅游愛好者分步去選擇景點游覽得種不同的選擇方法數(shù).故選：B.4.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個極值點，若，則的值為（）A.3 B. C. D.9【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及求出，再根據(jù)函數(shù)存在極值點條件求解即可．【詳解】因為為等比數(shù)列，，所以，解得或（不合題意，舍去），所以，，令，即，由題意得，是方程的兩個相異正根，則，，符合題意，故選：D．5.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前項和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷．【詳解】是等差數(shù)列，∴，又，所以，公差，因此中，當(dāng)時遞減，是最小值，從開始，遞增，又，，所以使得的最大的為11，故選：C．6.已知的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二項展開式的通項求出展開式前三項的系數(shù)，列出方程求出的值，由二項式系數(shù)的性質(zhì)求出答案.【詳解】展開式中的第項為，所以前三項的系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，即.故選：C.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，設(shè)，，．則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)不等式想到構(gòu)造函數(shù)，知其在上單調(diào)遞增，再由，可得，最后再利用函數(shù)的單調(diào)性整理即得.【詳解】由可知，兩邊除以，，即，設(shè)，則由可得在上單調(diào)遞增.因，則有，即，因為增函數(shù)，故有，即，故.故選：A.8.對任意，存在，使得，則的最小值為（）A. B. C.1 D.e【答案】C【解析】【分析】令，把用表示，然后引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值即得．【詳解】由題，令，則所以，令，則，令，則，則即在時單調(diào)遞增，又，則時時，所以時取得極小值也即為最小值，最小值，即的最小值為1．故選：C．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，以及組合數(shù)恒等式，就能對選項進行化簡證明.【詳解】由，選項A是正確的；由，選項B是錯誤的；由，而，顯然，所以選項C是錯誤的；由而，所以成立，即選項D是正確的；故選：AD.10.已知數(shù)列滿足，，則（）A.為等比數(shù)列 B.的通項公式為C.為遞增數(shù)列 D.的前n項和【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項結(jié)合等比數(shù)列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B不正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：AD.11.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上存在極大值B.函數(shù)沒有最值C.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為D.若，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】分別對函數(shù)和，利用求導(dǎo)，分析其單調(diào)性即得A項錯誤，B項正確；對于C項，需運用的單調(diào)性將不等式化成，再利用參變分離法即可求得參數(shù)范圍；對于D項，由已知結(jié)合同構(gòu)思想得，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值即得.【詳解】對于A項，，設(shè)，則，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.故，則在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極大值，即A項錯誤；對于B項，，令，則，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.故，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故函數(shù)沒有最值，即B項正確；對于C項，由B項知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，于是對任意，不等式等價于，則有，對任意，，由A項可得，在上單調(diào)遞增，故，則，故實數(shù)的最大值為，即C項正確；對于D項，若，則，即，因，則，由A項得，在上單調(diào)遞增，于是，，故，令，則，當(dāng)時，，則函數(shù)在上遞增；當(dāng)時，，則函數(shù)在上遞減，從而，故的最大值為，即D項正確.故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：本題主要考查函數(shù)極值和參數(shù)的最值問題，屬于難題.一般地，已知函數(shù)（1）若，總有成立，則；（2）若，總有成立，則；（3）若，使得成立，則；（4）若，使得成立，則.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若展開式中的系數(shù)為70，則實數(shù)___________．【答案】2【解析】【分析】先得到的通項公式，進而得到的展開式中含的項為，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的通項公式為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的展開式中含的項為，由題意知，解得．故答案為：213.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)值恒大于或等于0來研究原函數(shù)單調(diào)性，即可解決問題.【詳解】由得：，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以，即，故答案為：.14.記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)，且，數(shù)列為牛頓數(shù)列．設(shè)，已知，則______，數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，則的最大值為______．【答案】①.4②.【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)，可得，再由求出，即可得到，從而求出，又，則，可求出數(shù)列的通項公式與前項和為，參變分離可得對任意的恒成立，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)出即可.【詳解】因為，則，則，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數(shù)列是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以，，因為對任意的恒成立，又且單調(diào)遞增，所以對任意的恒成立，令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，所以，所以的最大值為．故答案為：4；.【點睛】思路點睛：由與的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合“牛頓數(shù)列”的定義，由求出，再得到，從而求出，得出數(shù)列的特征，求出，最后的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.若，且.（1）求實數(shù)a的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）1【解析】【分析】（1）利用二項展開式的通項公式計算可得答案；（2）利用賦值法求出，再取可得答案.【小問1詳解】依題意，展開式的通項為=，由，=2得，所以，，解得，所以實數(shù)a的值是1.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此=1.16.某班有6名同學(xué)報名參加校運會的四個比賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法．（用數(shù)字回答）（1）每項限報一人，且每人至多參加一項，每個項目均有人參加；（2）每人限報一項，人人參加，且每個項目均有人參加．【答案】（1）種（2）種【解析】【分析】（1）在6人中任選4人，安排其參加四個比賽項目即可；（2）先將6人分成4組，再將分好的四組安排參加4項比賽，根據(jù)分步乘法及分類加法計數(shù)原理計算即可．【小問1詳解】在6人中任選4人，安排其參加四個比賽項目，有種報名方法．【小問2詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6人分成4組，若分為3、1、1、1的四組，有種分組方法，若分為2、2、1、1的四組，有種分組方法，則一共有種分組方法；②將分好的四組安排參加4項比賽，有種情況，所以共有種報名方法．17.已知數(shù)列的前項和為，.（1）求的值，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）2，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式可得時，，采用作差的方法可得，結(jié)合累乘法即可求得答案；（2）由（1）可得的通項公式，利用裂項求和的方法，即可求得，從而證明結(jié)論..【小問1詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當(dāng)時，也符合上式，綜上，．小問2詳解】由（1）可知，，則，因為，所以，所以．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在處有極值為時：①求的值；②若的導(dǎo)函數(shù)為，討論方程的零點的個數(shù)．【答案】（1）（2）①；②答案見解析【解析】【分析】（1）將函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)在處的切線斜率，即得切線方程；（2）①根據(jù)函數(shù)的極值點和極值定義列出方程組，求出參數(shù)值，利用導(dǎo)函數(shù)進行驗證即得；②利用（2）的結(jié)論，求得，推出，利用求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得極值點和極值，判斷函數(shù)在R上的變化趨勢，結(jié)合其圖象判斷與其的交點情況即得.【小問1詳解】由題知定義域為，，當(dāng)時，，，切線方程為即；【小問2詳解】①由題意得，解得或，令，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，此時恒成立，不符合題意，故．②由①得設(shè)則令，得或當(dāng)和時，，單調(diào)遞增；在時，，單調(diào)遞減.，,又時，；時，，如圖所示.所以，當(dāng)時，方程沒有零點；當(dāng)或時，方程有一個零點；當(dāng)或時，方程有兩個零點；當(dāng)時，方程有三個零點．19.已知函數(shù)．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）時，求在上的最大值；（3）當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）當(dāng)時，在上的最大值是；當(dāng)時，在上的最大值是.（3）4【解析】【分析】（1）求，分和兩種情況，判斷的符號，即可求解；（2）通過討論在上的單調(diào)性，即可求最大值；（3）通過分離參數(shù)，得到，令，借助隱零點求出在上的最小值的范圍，即可求解.【小問1詳解】由函數(shù)可得，當(dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以，即在上的最大值是，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，即在上的最大值是，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以最大值可能在或處取得