山西省長治市部分學校2024-2025學年高一下學期3月月考數學試卷（原卷版+解析版）

2024~2025學年第二學期高一3月夯基考數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊第六章~第七章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數，則（）A2 B. C.10 D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.4已知，，，則（）A. B. C. D.5.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（）A. B. C. D.6.如圖，為了測量M，N兩點之間的距離，某數學興趣小組的甲、乙、丙三位同學分別在N點、距離M點600米處的P點、距離P點200米處的G點進行觀測．甲同學在N點測得，乙同學在P點測得，丙同學在G點測得，則M，N兩點間的距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米7.如圖，某八角樓空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為4，O是線段的中點，P為正八邊形內的一點（含邊界），則的最大值為（）A. B. C. D.8.已知，，且，，則（）A.1 B.3 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則10.已知，均為復數，且，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則是實數C.若，則是純虛數 D.若，則11.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若，則是銳角三角形C.若，，則面積最大值為D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________．13.已知，則值為________．14.在中，D是的中點，點E滿足，與交于點O，則的值為________；若，則的值是________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，復數．（1）若z在復平面內對應的點位于第四象限，求的取值范圍；（2）若z滿足，，求的值．16.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，的面積為，求邊上的高．17.已知二次函數滿足，函數滿足，且不等式的解集為．（1）求的解析式；（2）若關于x的不等式對任意的恒成立，求實數m的取值范圍．18.如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點，且，P是線段上的一個動點．（1）若，求的值；（2）求的長；（3）求的取值范圍．19.定義：若非零向量，函數的解析式滿足，則稱為的伴隨函數，為的伴隨向量．（1）若向量為函數的伴隨向量，求；（2）若函數為向量的伴隨函數，在中，，，且，求的值；（3）若函數為向量伴隨函數，關于x的方程在上有且僅有四個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．

2024~2025學年第二學期高一3月夯基考數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊第六章~第七章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數，則（）A.2 B. C.10 D.【答案】D【解析】【分析】利用復數的除法運算求得復數，利用復數的模的意義可求得的值.【詳解】因為，所以.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，結合交集的定義，將集合中元素代入不等式驗證求解.詳解】集合，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以.故選：C3.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用向量垂直的坐標表示，列式求出.【詳解】向量，，由，得，所以.故選：A4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用指數函數、對數函數性質比較大小.【詳解】依題意，，所以.故選：B5.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.【詳解】在中，由，得，由正弦定理得，所以故選：A6.如圖，為了測量M，N兩點之間的距離，某數學興趣小組的甲、乙、丙三位同學分別在N點、距離M點600米處的P點、距離P點200米處的G點進行觀測．甲同學在N點測得，乙同學在P點測得，丙同學在G點測得，則M，N兩點間的距離為（）A米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用余弦定理列式計算得解.【詳解】由，得，而，，由余弦定理得（米）.故選：C7.如圖，某八角樓空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為4，O是線段的中點，P為正八邊形內的一點（含邊界），則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量數量積的幾何意義，即投影向量的意義計算即得.【詳解】如圖過點作直線，交于點，因，又，則，而即在直線上投影的數量，要使取最大值，則需使在直線上投影的數量最大，由圖知，當點與點或重合時投影向量的數量最大.因，由對稱性知，，在中，，因，解得，則，故的最大值為.故選：B.8.已知，，且，，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數，根據函數單調性分析出，代入求解即可.【詳解】令，則在定義域上單調遞增.則，，所以，則有，故.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】根據向量的相關概念，可得答案.【詳解】向量為矢量，既有大小又有方向，不等比較大小，故A錯誤；相等向量的方向與大小都相同，所以也共線，也具有傳遞性，故BD正確；當時，向量不一定共線，故C錯誤.故選：BD.10.已知，均為復數，且，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則是實數C.若，則是純虛數 D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據復數運算公式，以及概念，即可判斷選項.【詳解】因為，又，所以，A正確；設，則，所以為實數，B正確；設，則，又，所以，，所以是純虛數，C正確；若，，則滿足，而，D錯誤.故選：ABC.11.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若，則是銳角三角形C.若，，則面積的最大值為D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦化簡判斷A；利用余弦定理推理判斷B；利用余弦定理及三角形面積公式求解判斷C；舉例說明判斷D.【詳解】對于A，由及正弦定理得，即，則或，即或，是等腰或直角三角形，A錯誤；對于B，由，得，則是的最大內角，又，則，為銳角，是銳角三角形，B正確；對于C，由，及余弦定理得，當且僅當時取等號，因此，C正確；對于D，取，滿足，而，則，即，D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________．【答案】【解析】【分析】根據數量積的定義，利用投影向量的公式，可得答案.【詳解】由題意可得在上的投影向量為.故答案為：.13.已知，則的值為________．【答案】【解析】【分析】根據對數運算法則求出，將化為，再利用齊次式弦化切即可求得答案.【詳解】，.故答案為：.14.在中，D是的中點，點E滿足，與交于點O，則的值為________；若，則的值是________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用表示向量，再利用共線向量定理的推論求得；利用表示向量，再利用數量積的運算律求得.【詳解】在中，由，得，則，令，又D是的中點，則，而共線，因此，解得，所以；，于是，所以.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，復數．（1）若z在復平面內對應的點位于第四象限，求的取值范圍；（2）若z滿足，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出復數對應點的坐標，進而列出不等式組求解.（2）利用給定條件，結合復數相等求出，再利用復數除法及模的意義求解.【小問1詳解】復數在復平面內對應的點為，由z在復平面內對應的點位于第四象限，得，解得，所以的取值范圍是.【小問2詳解】依題意，，又，則，解得，，所以.16.在中，內角A，B，C對邊分別為a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，的面積為，求邊上的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，推得，代入消元計算即得所求式的值；（2）由的面積推得，結合（1）的結論求出，利用余弦定理求得，根據三角形面積公式即可求得邊上的高.【小問1詳解】由和余弦定理，可得：，化簡得，則得，故；【小問2詳解】由可得，由（1）已得，解得，由余弦定理，，解得，設邊上的高邊上的高為，則由，解得，故邊上的高為.17.已知二次函數滿足，函數滿足，且不等式的解集為．（1）求的解析式；（2）若關于x的不等式對任意的恒成立，求實數m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數，設出的解析式，利用給定的解集求出參數得解析式.（2）由（1）的結論，等價變形不等式，分離參數，利用指數函數值域及基本不等式求出最小值即可求解.小問1詳解】由，得，則，由二次函數滿足，設，不等式，即，依題意，是方程的二實根，且，于是，解得，所以的解析式為.【小問2詳解】由（1）知，，不等式，依題意，不等式對任意的恒成立，而，，當且僅當，即時取等號，因此，解得，所以實數m的取值范圍是.18.如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點，且，P是線段上的一個動點．（1）若，求的值；（2）求的長；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據向量的線性運算，結合圖形的幾何性質，可得答案；（2）利用同一組基底表示向量，根據數量積的運算律，可得答案；（3）利用同一組基底表示向量，根據數量積的運算律，結合二次函數的性質，可得答案.【小問1詳解】由分別為的中點，則，，由圖可得，則，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，由，則，，可得，解得.【小問3詳解】由圖可得，，，由，則.19.定義：若非零向量，函數的解析式滿足，則稱為的伴隨函數，為的伴隨向量．（1）若向量為函數的伴隨向量，求；（2）若函數為向量的伴隨函數，在中，，，且，求的值；（3）若函數為向量的伴隨函數，關于x的方程在上有且僅有四個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用和角公式與誘導公式化簡，依題即得，求其模長即可；（2）利用伴隨函數定義和題設條件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和