初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題29 幾何變換

專題29幾何變換

閱讀與思考

幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形變換成另一個(gè)幾何圖形的方法，若僅改變圖形的位置，而不改

F1F2

變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是常見(jiàn)的合同變換.

1.平移變換

如圖，如果把圖形上的各點(diǎn)都按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形后，則由到的變換叫

1F1F2F1F2

平移變換.

平移變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等且平行，對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致.

2.對(duì)稱變換

如圖，將平面圖形變換到與它成軸對(duì)稱的圖形，這樣的幾何變換就叫做關(guān)于直線（對(duì)稱軸）

2F1F2l

的對(duì)稱變換.

對(duì)稱變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，其對(duì)稱軸是連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)線段的垂直平分線.

3.旋轉(zhuǎn)變換

如圖，將平面圖形繞這一平面內(nèi)一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，得到圖形，這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)

3F1MF2

變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，叫旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

例題與求解

【例l】如圖，∠AOB=450，角內(nèi)有點(diǎn)P，PO=10，在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q，R（均不同于O），則△PQR

的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______________.（黃岡市競(jìng)賽試題）

解題思路：作P點(diǎn)關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，確定Q，R的位置，化折線為直線，求△PQR的最小值.

【例2】如圖，P是等邊△ABC的內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5:6:7，則以PA，

PB，PC為邊的三角形的三個(gè)角的大小之比（從小到大）是（）

A.2:3:4B.3:4:5

C.4:5:6D.不能確定

（全國(guó)通訊賽試題）

解題思路：解本例的關(guān)鍵是如何構(gòu)造以PA，PB，PC為邊的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的

任一個(gè)，繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)600，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.

【例3】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD.

（天津市競(jìng)賽試題）

解題思路：用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法證明，實(shí)質(zhì)都利用AD翻折造全等.

【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，對(duì)邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD

＞0，求證：該六邊形的各角都相等.

（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)法能將復(fù)雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)條件有平行

條件，考慮實(shí)施平移變換.

【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，∠MCN=450

（1）如圖1，當(dāng)M、N在AB上時(shí)，求證：MN2AM2BN2

（2）如圖2，將∠MCN繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M在BA的延長(zhǎng)線時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（天津市中考試題）

解題思路：MN2AM2BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將△ACM沿直線CM對(duì)

折，得△DCM.連DN，只需證DN=BN，∠MDN=900；或?qū)ⅰ鰽CM(或△BCM)旋轉(zhuǎn).

【例6】如圖，∠DAC=120，∠DBC=240，∠CAB=360，∠ABD=480，求∠DCA的度數(shù).

（日本算術(shù)奧林匹克試題）

解題思路：已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù)，360240600，這使我們想到構(gòu)作正三角形.

能力訓(xùn)練

1.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移3個(gè)單位后得到△ABC，則BAA的度數(shù)是

_______.

（泰安市中考試題）

(第1題)（第2題）（第3題）

2.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=6，PB=8，PC=10，則∠APB=_________.

4k49

3.如圖，直線yx與雙曲線y(k0)交于點(diǎn)A，將直線yx向右平移個(gè)單位后，與雙曲

132x132

kAO

線y交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C.若2，則k=______________.（武漢市中考試題）

2xBC

4.如圖，△ABC中，∠BAC=450，AD⊥BC，DB=3，DC=2，則△ABC的面積是___________.

5.如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若PA:PB:PC1:2:3，則∠APB的度數(shù)是（）.

A.1200B.1350C.1450D.1500

6.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，把邊BA、CD分別繞點(diǎn)B、C同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600，

1

得四邊形ABCD,下列結(jié)論：①四邊形ABCD為菱形；②SS正方形；③線段OD的

四邊形ABCD2ABCD

長(zhǎng)為31.其中正確的結(jié)論有（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

7.如圖，A，B兩個(gè)電話機(jī)離電話線l的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由L上一點(diǎn)分別向A，B

連電話線，最短為（）.

A.11米B.10米C.9米D.8米

8.如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若記xPAPBPC，yABAC，

則（）.

A.xyB.xyC.xyD.x與y的大小關(guān)系不確定

9.如圖，已知D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥DF，分別交AB于E，交AC于F，求證：

BECFEF.

（天津市競(jìng)賽試題）

10.如圖，△ABC，△ABC其各邊交成六邊形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，F(xiàn)G∥KD，

KHEFFGKDDEGH0.求證：△ABC，△ABC均為為正三角形.

（“縉云杯”邀請(qǐng)賽試題）

11.如圖，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分別為AC，AB上的點(diǎn)，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.

（北京市競(jìng)賽試題）

12.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,3)，B(4,1).

(1)若P(x,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最短時(shí)，求x的值；

（2）若C(a,0),D(a3,0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求a的值；

（3）設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M(m,0)和N(0,n)，使四邊形ABMN

的周長(zhǎng)最短？若存在，求出m,n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（浙江省湖州市中考試題）

13.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)

線段AD的垂直平分線l交線段EF于點(diǎn)M，EP⊥l于