初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題19平行四邊形、矩形、菱形

專題19平行四邊形、矩形、菱形(吳梅錄入)

閱讀與思考

平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對邊、對角、對角線三個方面探討

的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是

由鄰邊相等來體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過來，

判定一個四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件.

連對角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、

矩形、菱形相關(guān)問題時，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四

邊形的背景下思考問題，運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定

定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

熟悉以下基本圖形：

例題與求解

【例l】如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝

15°，那么∠BOE＝________.

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手.

【例2】下面有四個命題：

①一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；

②一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；

③一組對角相等且這一組對角的頂點所連結(jié)的對角線平分另一條對角線的四邊形是平

行四邊形；

④一組對角相等且這一組對角的頂點所連結(jié)的對角線被另一條對角線平分的四邊形是

平行四邊形；

其中，正確的命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定

平行四邊形的命題，關(guān)鍵在于對假命題能突破正規(guī)的、標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形構(gòu)造反例否定.

【例3】如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD＝2，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個動

點且滿足AE+CF＝2.

（1）判斷BEF的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍.

△

△

(煙臺中考試題)

解題思路：對于（1）由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對于（2），只需求出BE的取值范圍.

【例4】如圖，設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點，PE⊥AC于點E，PF

⊥BC于點F，PG⊥EF于點G，延長GP并在春延長線上取一點D，使得PD＝PC.

求證：BC⊥BD，BC＝BD.

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：只需證明CPB≌△DPB，關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì).

△

【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點

F.

（1）在圖1中證明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；

（3）若∠ABC＝120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G＝CE，分別連結(jié)DB，DG（如圖3），求∠BDG

的度數(shù).

(北京市中考試題)

解題思路：對于（1），由角平分線加平行線的條件可推出圖中有3個等腰三角形；

對于（2），用測量的方法可得∠BDG=45°，進(jìn)而想到等腰直角三角形，連CG，BD，只需證

明BGC≌△DGF，這對解決（3），有不同的解題思路.

對于（3）

△

【例6】如圖，ABC中，∠C＝90°，點M在BC上，且BM＝AC，點N在AC上，且

AN＝MC，AM與BN相交于點P.

△

求證：∠BPM＝45°.

(浙江省競賽試題)

解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式，由于條件中有直角和

相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是平移AN或AC，即作ME⊥AN，

ME＝AN，構(gòu)造平行四邊形.

能力訓(xùn)練

A級

1.如圖，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分別為E、F，若CE＝2，DF＝1，∠

EBF＝60°，則□ABCD的面積為________.

2.如圖，□ABCD的對角線相交于點O，且AD≠CD，過點O作OM⊥AC，交AD于點

M，若CDM周長為a，那么□ABCD的周長為________.

△

(浙江省中考試題)

3.如圖，在RtABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，過C作CF∥AB，連結(jié)AF與BC

相交于G，若GF＝2AC，則∠BAG的大小是________.

△

(“希望杯”競賽試題)

4.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，則∠CEF的大小是________.

(“希望杯”邀請賽試題)

5.四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，c為對邊，且滿足

a2b2c2d22ab2cd，則這個四邊形一定是（）

A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形

C.對角線互相垂直的四邊形D.對角線相等的四邊形

6.現(xiàn)有以下四個命題：

①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個角為直角

且對角線互相平分的四邊形為矩形；④菱形的對角線的平方和等于邊長的平方的4倍.

其中，正確的命題有（）

A.①②B.③④C.③D.①②③④

7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，AF平分∠DAB，過點C作CE⊥BD

于E，延長AF，EC交于點H，下列結(jié)論中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝

3ED.正確的是（）

A.②③B.③④C.①②④D.②③④

(齊齊哈爾中考試題)

1

8.如圖，矩形ABCD的長為a，寬為b，如果SS(SS)，則S＝（）

122344

3321

A.abB.abC.abD.ab

8432

(“縉云杯”競賽試題)

9.已知四邊形ABCD，現(xiàn)有條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；

⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.從中取兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的

有哪幾種情形？請具體寫出這些組合.

(江蘇省競賽試題)

10.如圖，ABC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點，且CD＝BF，以AD

為邊作等邊ADE.

△

△

（1）求證：ACD≌△CBF；

（2）當(dāng)D在線段BC上何處時，四邊形CDEF為平行四邊形，且∠DEF＝30°，證明你

△

的結(jié)論.

(江蘇省南通市中考試題)

11.如圖，在RtABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D為BC上任一點，DF⊥AC于F，

DE⊥AC于E，M為BC中點，試判斷MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.

△

△

(河南省中考試題)

12.如圖，ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，ABD，ACE，BCF都是等邊三角

形，求四邊形AEFD的面積.

△△△△

(山東省競賽試題)

B級

1.如圖，已知ABCD是平行四邊形，E在AC上，AE＝2EC，F(xiàn)在AB上，BF＝2AF，

如果BEF的面積為2cm2，則□ABCD的面積是________.

△

(“希望杯”競賽試題)

2.如圖，已知P為矩形ABCD內(nèi)一點，PA＝3，PD＝4，PC＝5，則PB＝________.

(山東省競賽試題)

3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將矩形折疊，使B點與D點重合，

則折痕EF長為________.

(武漢市競賽試題)

4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，使點D落在點D處，

CD交AB于點F，則重疊部分AFC的面積為________.

△

(山東省競賽試題)

5.如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD

于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為________.

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

6.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點，P點在BD上，

則PE+PC的最小值為________.

(“希望杯”邀請賽試題)

7.如圖，ABC的周長為24，M是AB的中點，MC＝MA＝5，則ABC的面積是（）

A.30B.24C.16D.12

△△

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

8.如圖，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，則

∠AED的大小是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

如圖，已知∠＝∠，，，均垂直于，＝，＝，

9.ABAA1PP1BB1A1B1AA117PP116BB1

＝20，A1B1＝12，則AP+PB的值為（）

A.15B.14C.13D.12

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

10.如圖1，ABC是直角三角形，∠C＝90°，現(xiàn)將ABC補(bǔ)成矩形，使ABC的兩個

頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可

△△△

畫出兩個：矩形ACBD和矩形AEFB（如圖2）.

解答問題：

（1）設(shè)圖2中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S1，S2，則S1________S（2填“＞”、

“＝”或“＜”）.

（2）如圖3，ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的

矩形可以畫出________個，利用圖3畫出來.

△

（3）如圖4，ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補(bǔ)

成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出________個，利用圖4畫出來.

△

（4）在（3）中所畫出的矩形中，哪一個的周長最小？為什么？

(陜西中考試題)

11.四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝120°，M為BC上一點，N為CD

上一點.求證：若AMN有一個內(nèi)角等于60°，則AMN為等邊三角形.

△△

12.如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝

ED－AB＝AF－CD＞0.

求證：該六邊形的各角相等.

(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

專題19平行四邊形、矩形、菱形

例175°例2A只有命題③正確.

例3（1）△BEF為正三角形提示：由△ABD和△BCD為正三角形，可證明△BDE≌△

BCF，

得：BE=BF，∠DBE=∠CBF.

∵∠DBC=∠CBF+∠DBF=∠DBE+∠DBF=60°，即∠EBF=60°，故△BEF為等邊三角形.

3

(2)設(shè)BEBFEFx，則可得：Sx2，

4

當(dāng)BE⊥AD時，x有最小值為3.

323

∴

Smin33.

44

當(dāng)BE與AB重合時，x有最大值為2，

323

∴S23.∴3S3.

max44

例4提示：PC=EF=PD，CPB45PFC45EPGGPABPD，可

證明

△CPB≌△DPB.

例5（1）略（2）45°（3）60°如圖，延長AB至H，使AH=AD，連DH，則

△AHD是等邊三角形.

∵AH=AD=DF，∴BH=GF，

又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF，

∴△DBH≌△DGF，∠BDH=∠GDF，

∴

BDGADCADBGDFADCADBBDH1206060

例6如圖過M作MEAN，連NE，BE，則四邊形AMEN為平行四邊形，得NE=AM，ME

⊥BC.

∵M(jìn)E=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.

∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE.

∴△BEN為等腰直角三角形，∠BNE=45°.

∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°.

A級

1.1232.2

3.26°提示：作FG邊上中線，連接EC，則EF=EC=AC.

4.20°提示：連接AC，則△AFC≌△AEB，△AEF為等邊三角形.5.C6.B7.D

8.A提示：E、F分別為AB、BC中點.

9.從6個條件中任取2個，只有15種組合，其中能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有以

下9種

情形：①與③；②與④；⑤與⑥；①與②；③與④；①與⑤；①與⑥；③與⑤；③與⑥.

10.提示：（2）當(dāng)D為BC中點時，滿足題意.

11.提示：連AM，證明△AMF≌△BME，可證△MEF為等腰直角三角形.

12.6提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四邊

形AEFD為平行四邊形.又∠BAC=90°，則∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，則

∠∠30°，則到的距離為2，故

ADF=AEF=FADSAEFD326.

B級

15

1.9cm22.32提示：可以證明PA2PC2PB2PD2.3.cm

2

4.10提示：可先證：AF=CF.設(shè)AFCFx，則BF8x，

211

∴x28x42.∴x5.∴SAFBC5410.