初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題12心中有數(shù)

專題12心中有數(shù)

閱讀與思考

現(xiàn)代社會是一個(gè)數(shù)字化的社會，我們每個(gè)人每天都要和各種各樣的數(shù)字打交道，從國民生產(chǎn)總值、

人均消費(fèi)水平、人口自然增長率、股市綜合指數(shù)，到家庭的水、電、煤氣的月平均數(shù)，學(xué)生的身高、體

重、考試成績，都與數(shù)字有關(guān).“用數(shù)據(jù)說話”已成為從事許多工作的基本要求，能用數(shù)據(jù)說話的人必

須具備一定的統(tǒng)計(jì)知識.

對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、計(jì)算、分析，并在此基礎(chǔ)上作出科學(xué)的推斷，這就是數(shù)據(jù)分析，是統(tǒng)計(jì)學(xué)

研究的基本范疇和方法，收集數(shù)據(jù)、量化處理的目的在于運(yùn)用統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行判斷和決策.

統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想就是用樣本對總體進(jìn)行估計(jì)、推理，即用樣本的平均水平、波動情況、分布規(guī)律

等特征估計(jì)總體的平均水平、波動情況和分布規(guī)律，是從局部看整體的思想方法.

例題與求解

【例l】在對某班的一次數(shù)學(xué)測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析中，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取正整數(shù)，

滿分100分）.請觀察圖形，并回答下列問題：

（1）該班有________名學(xué)生.

（2）69.5~79.5這一組的頻數(shù)是_________，頻率是_________.

（3）請估算該班這次測驗(yàn)的平均成績.

（黃岡市中考試題）

解題思路：從頻率直方圖中捕捉相關(guān)信息.

【例2】某學(xué)生通過先求x與y的平均值，再求得數(shù)與z的平均值來計(jì)算x，y，z三個(gè)數(shù)的平均數(shù).

當(dāng)xyz時(shí)，這個(gè)學(xué)生的最后得數(shù)是（）

A.正確的B.總小于AC.總大于A

D.有時(shí)小于A，有時(shí)等于AE.有時(shí)大于A，有時(shí)等于A

（第二屆美國中學(xué)生邀請賽試題）

解題思路：按不同方法計(jì)算平均值，作差比較它們的大小.

【例3】某校九年級學(xué)生共有900人，為了解這個(gè)年級學(xué)生的體能，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行1min

的跳繩測試，并指定甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對這次測試結(jié)果的數(shù)據(jù)作出整理，下圖是這四名同學(xué)提供

的部分信息：

甲：將全體測試數(shù)據(jù)分成6組繪成直方圖（如圖）；

乙：跳繩次數(shù)不少于105次的同學(xué)占96%；

丙：第①、②兩組頻率之和為0.12，且第②組與第⑥組頻數(shù)都是12；

丁：第②、③、④組的頻數(shù)之比為4：17：15．

根據(jù)這四名同學(xué)提供的材料，請解答如下問題：

（1）這次跳繩測試共抽取多少名學(xué)生？各組有多少人？

（2）如果跳繩次數(shù)不少于135次為優(yōu)秀，根據(jù)這次抽查的結(jié)果，估計(jì)全年級達(dá)到跳繩優(yōu)秀的人數(shù)為多

少.

（3）以每組的組中值（每組的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)據(jù)）作為這組跳繩次數(shù)的代表，估計(jì)這批學(xué)生1min跳繩次

數(shù)的平均值．

（安徽省中考試題）

解題思路：本題考查了頻率、頻數(shù)的概念和對頻數(shù)直方圖的認(rèn)識，要理解各組頻率之和為1，各組頻數(shù)

之和等于總數(shù)，掌握好這些知識點(diǎn)，自然可以解決問題.

【例4】編號為1到25的25個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子A和B中，15號彈珠在籃子A中，把這個(gè)彈

1

珠從籃子A移至籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，籃子B中彈珠號

4

1

碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加．問原來在籃子A中有多少個(gè)彈珠？

4

（第十六屆江蘇競賽試題）

解題思路：用字母分別表示籃子A，B中的彈珠數(shù)及相應(yīng)的平均數(shù)，運(yùn)用方程（組）來求解.

【例5】某次數(shù)學(xué)競賽共有15道題，下表是對于做對n（n=0，1，2，…，15）道題的人數(shù)的一個(gè)統(tǒng)

計(jì)，如果又知其中做對4道題和4道以上的學(xué)生每人平均做對6道題，做對10道題和10道題以下的學(xué)

生每人平均做對4道題，問這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？

問這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？

n0123…12131415

做對n道題的人數(shù)781021…15631

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：從統(tǒng)計(jì)表中可知做對0~3道題、12~15道題的相應(yīng)總?cè)藬?shù)和總題數(shù)，結(jié)合已知條件，運(yùn)用方

程（組）、不等式（組）等知識方法求解.

【例6】一次中考模擬考試中，兩班學(xué)生數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下：

分?jǐn)?shù)5060708090100

三（3）251013146

人數(shù)

三（4）441621212

請你根據(jù)學(xué)過的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，判斷這兩個(gè)班在這次模擬考試中的數(shù)學(xué)成績誰優(yōu)誰次？并說明理由.

解題思路：這是一道開放性試題，看考慮問題是從哪一個(gè)側(cè)面入手.本題因未說明從何種角度來考慮，

故我們應(yīng)多想幾套方案.

能力訓(xùn)練

A級

1.大連是一個(gè)嚴(yán)重缺水的城市，為鼓勵市民珍惜每一滴水，某居委會表彰了100個(gè)節(jié)約用水模范戶，5

月份這100戶節(jié)約用水的情況如下表：

每戶節(jié)水量（單位：噸）11.21.5

節(jié)水戶數(shù)523018

那么，5月份這100戶平均節(jié)約用水的噸數(shù)為（精確到0.01噸）_________噸.

（大連市中考試題）

2.某班全體學(xué)生進(jìn)行了一次籃球投籃練習(xí)，每人投球10個(gè)，每投進(jìn)一球得1分．得分的部分情況如下

表所示：

得分012…8910

人數(shù)754…341

已知該班學(xué)生中，至少得3分的人的平均得分為6分，得分不到8分的人的平均得分為3分，那么該班

學(xué)生有___________人．

（江蘇競賽試題）

3.甲、乙兩名學(xué)生在相同的條件下各射靶10次，命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78686591074

乙：9578768677

所以應(yīng)確定_______去參加射擊比賽.

4.在綜合實(shí)踐課上，六名同學(xué)做的作品的數(shù)量（單位：件）分別是：5，7，3，x，6，4，若這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________件.

（包頭市中考試題）

.如果一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是，則另一組數(shù)據(jù)，，，，

5x1x2x3x4x5xx1x21x32x43x54

的平均數(shù)是（）

5

A.xB.x2C.xD.x10

2

（天津市中考試題）

6.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．設(shè)這些零

件數(shù)的平均數(shù)為a，眾數(shù)為b，中位數(shù)為c，那么（）

A.abcB.bcaC.acbD.bac

（寧夏中考試題）

7.為了了解某區(qū)九年級7000名學(xué)生，從中抽查了500名學(xué)生的體重.就這個(gè)問題而言，下列說法正確的

是（）

A．7000名學(xué)生是總體B．每個(gè)學(xué)生是個(gè)體

C．500名學(xué)生是樣本D．樣本容量為500

5

8.已知1~99中有49個(gè)偶數(shù)，從這49個(gè)偶數(shù)中取出48個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為49，則未取的數(shù)字是（）

12

A．20B．28C．72D．78

（臺灣省中考試題）

9.甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示：

（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價(jià).

（安徽省中考試題）

10.某校要從九年級（1）班和（2）班中各選取10名女同學(xué)組成禮儀隊(duì)，選取的女生身高如下：（單位：

厘米）

（1）班：168167170165168166171168167170

（2）班：165167169170165168170171168167

（1）補(bǔ)充完成下面的統(tǒng)計(jì)分析表

班級平均數(shù)方差中位數(shù)極差

（1）班1681686

（2）班1683.8

（2）請選一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量作為選擇標(biāo)準(zhǔn)，說明哪一個(gè)班能被選取.

（2013寧夏回族自治區(qū)中考試題）

11.為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量，2011年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本.這些

飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：

0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.

（1）通過對樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350個(gè)營業(yè)日計(jì)算）；

（2）2013年又對該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店

每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2012年、2013年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每

年增長的百分率（2012年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與2011年相同）；

（3）在（2）的條件下，若生產(chǎn)一套中小學(xué)生桌椅需木材0.07m3，求該縣2013年使用一次性筷子的木

材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅?

計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為0.5×103kg/m3；

（4）假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識去做，簡要地用

文字表述出來．

12.由9位裁判給參加健美比賽的12名運(yùn)動員評分.每位裁判對他認(rèn)為的第1名運(yùn)動員給1分，第2名

運(yùn)動員給2分，…，第12名運(yùn)動員給12分，最后評分結(jié)果顯示：每個(gè)運(yùn)動員所得的9個(gè)分?jǐn)?shù)中高、低

之差都不大于.設(shè)各運(yùn)動員的得分總和分別為，，…，，且，求的最大值.

3c1c2c12c1c2c12c1

(第十九屆江蘇省競賽試題)

B級

1.為制定本市初中七、八、九年級學(xué)生校服的生產(chǎn)計(jì)劃，有關(guān)部門準(zhǔn)備對180名初中男生的身高作調(diào)查，

現(xiàn)有三種調(diào)查方案：

A、測量少體校中180名男子籃球、排球隊(duì)員的身高；

B、查閱有關(guān)外地180名男生身高的統(tǒng)計(jì)資料；

C、在本市的市區(qū)和郊縣各任選一所完全中學(xué)、兩所初級中學(xué)，在這六所學(xué)校有關(guān)年級的（1）班中，用

抽簽的方法分別選出10名男生，然后測量他們的身高．問：

（1）為了達(dá)到估計(jì)本市初中這三個(gè)年級男生身高分布的目的，你認(rèn)為采用上述哪一種調(diào)查方案比較合

理，為什么？

答：選________；理由：______________________________________________________________

（2）下表中的數(shù)據(jù)是使用了某種調(diào)查方法獲得的：

初中男生身高情況抽樣調(diào)查表

人數(shù)年級總計(jì)

七年級八年級九年級

身高(cm)（頻數(shù)）

143~1531230

153~1631896

163~173243339

173~18361512

183~193003

（注：每組可含最低值，不含最高值）

①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填寫表中的空格；

②根據(jù)填寫的數(shù)據(jù)繪制頻數(shù)分布直方圖．

（上海市中考試題）

2.為了檢查一批產(chǎn)品的合格率，從中檢查了100個(gè)產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：

數(shù)據(jù)a1a2a3a4a5a6a7a8

個(gè)數(shù)51015202015105

其中，，，…，是從小到大排列的兩位數(shù)，且每個(gè)兩位數(shù)與它的反序數(shù)（的反序數(shù)是）

a1a2a3a81221

之和都為完全平方數(shù)，樣本的方差是________.

（遼寧錦州市競賽試題）

3.五名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為

abcd

b米，前兩名的平均身高為c，后三名的平均身高為d，則與比較（）

22

abcd

A.大B.大C.兩者相等D.無法確定

22

（“五羊杯”邀請賽試題）

.已知數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，

4x1x2x3ay1y2y3b2x13y12x23y2

的平均數(shù)為（）

2x33y3

2

A.2a3bB.abC.6a9bD.2ab

3

（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

5.小林?jǐn)M將1，2，…，n這n個(gè)數(shù)輸入電腦，求平均數(shù).當(dāng)他認(rèn)為輸入完畢時(shí)，電腦顯示只輸入(n1)個(gè)

5

數(shù)，平均數(shù)為35，假設(shè)這(n1)個(gè)數(shù)輸入無誤，則漏輸入的一個(gè)數(shù)是（）

7

A.10B.53C.56D.67

（江蘇省競賽試題）

6.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，

使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．設(shè)該矩形的長QM=ymm，寬MN=xmm．

3

（1）求證：y120x；

2

（2）當(dāng)矩形PQMN的面積最大時(shí)，它的長和寬是關(guān)于t的一元二次方程t210pt200q0的兩個(gè)根，

而p、q的值又恰好分別是a，10，12，13，b這5個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求a與b的值．

（廣西壯族自治區(qū)中考試題）

7.某班參加一次智力競賽，共a，b，c三道題，每題或者得滿分或者得0分．其中題a滿分20分，b、

c題滿分都為25分，競賽結(jié)果：每個(gè)學(xué)生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的

有15人，答對題a的人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29；答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25；

答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20，問這個(gè)班的平均成績是多少.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8.元旦聯(lián)歡會某班布置教室，同學(xué)們利用彩紙條粘成一環(huán)套一環(huán)的彩紙鏈，小敏測量了部分彩紙鏈的長

度，她得到的數(shù)據(jù)如下表：

紙環(huán)數(shù)x（個(gè)）1234…

彩紙鏈長度y(cm)19365370…

（1）把上表中x、y的各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜

想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；

（2）教室天花板對角線長10m，現(xiàn)需沿天花板對角線各拉一根彩紙鏈，則每根彩紙鏈至少要用多少個(gè)

紙環(huán)？

（濟(jì)南市中考試題）

9.某射擊運(yùn)動員在一次比賽中，前6次射擊已經(jīng)得到52環(huán)，該項(xiàng)目的記錄是89環(huán)（10次射擊，每次射

擊環(huán)數(shù)只取1～10中的正整數(shù)）．

（1）如果他要打破記錄，第7次射擊不能少于多少環(huán)？

（2）如果他第7次射擊成績?yōu)?環(huán)，那么最后3次射擊中要有幾次命中10環(huán)才能打破記錄？

（3）如果他第7次射擊成績?yōu)?0環(huán)，那么最后3次射擊中是否必須至少有一次命中10環(huán)才有可能打

破記錄？

（山東省中考試題）

10.“中國夢”關(guān)乎每個(gè)人的幸福生活.為進(jìn)一步感知我們身邊的幸福，展現(xiàn)成都人追夢的風(fēng)采，我市某

校開展了以“夢想中國，逐夢成都”為主題的攝影大賽，要求參賽學(xué)生每人交一件作品．現(xiàn)將參賽的50

件作品的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如下：

等級成績（用s表示）頻數(shù)頻率

A90s100x0.08

B80s9035y

Cs80110.22

合計(jì)501

請根據(jù)上表提供的信息，解答下列問題：

（1）表中的x的值為________，y的值為_______；

（2）將本次參賽作品獲得A等級的學(xué)生依次用A1，A2，A3，…表示，現(xiàn)該校決定從本次參賽作品中獲

得A等級學(xué)生中，隨機(jī)抽取兩名學(xué)生談?wù)勊麄兊膮①愺w會，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到學(xué)生A1和

A2的概率．

（2013年成都市中考試題）

專題12心中有數(shù)

18

例1（1）60（2）0.3（3）71（分）

60

例2C

例3（1）第①組頻率為1-96%=0.04，∴第②組頻率為0.12-0.04=0.08.故總?cè)藬?shù)為12÷0.08=150（人），

又第②、③、④組的頻數(shù)之比為4：17：15，可算得第①⑥組的人數(shù)分別為6、12、51、45、24、12.

（2）第⑤⑥兩組的頻率之和為0.16+0.08=0.24，由于樣本是隨機(jī)抽取的，可估計(jì)全年級有900×0.24=216

（人）達(dá)到優(yōu)秀.

例4設(shè)原來籃子A中有彈珠x個(gè)，則籃子B中有彈珠（25-x）個(gè)，又設(shè)原來A彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為

ax(25x)b1225325

a,B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)b，則ax151，解得x=9.

a

x14

b(25x)151

b

26x4

即原來籃子A中有9個(gè)彈珠.

例5提示：由統(tǒng)計(jì)表可知：做對0～3道題的總?cè)藬?shù)為7+8+10+21=46（人），他們做對題目數(shù)的總和為7

×0+8×1+10×2+21×3=91（題）；做對12～15道題的總?cè)藬?shù)為15+6+3+1=25（人），他們做對題目數(shù)的

和為15×12+6×13+3×14+1×15=315（題）．

以x0，x1，…，x15分別表示做對0道、1道、…、15道題目的人數(shù)，由題意得

4x5x15x0x2x10x

45156，12104

x4x5x15x0x1x2x10

即；

4x45x515x15=6(x4x5x15)0x12x210x10=4

（）

x0x1x2x10

兩式相減得…）…

11x11+12x12+15x15-(x1+2x2+3x3)=6(x4x5x15)-4(x0x1x2x10=6(x11+x12+

+x15)-4(x0+x1+x2+x3)+2(x4+x5+…+x10)=4(x11+x12+…+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2(x0+x1+…

+x15)=4x11+4(x12+x13+x14+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2（x0+x1+…+x15）

而x0+x1+x2+x3=46,x12+x13+x14+x15=25,0+x1+2x2+3x3=91,12x12+13x13+14x14+15x15=315

代入上式得llx11+315-91=4x11+4×25-6×46+2(x0+x1+…+x15)．

故x0+x1+…+x15=200+3.5x11(x11≥0)，因此，當(dāng)x11=0時(shí)，統(tǒng)計(jì)的總?cè)藬?shù)x0+x1+…+x15最少為200人.

例6方案一從平均數(shù)的角度，其解為

1

x[50260570108013

9014100680

三350

1

x504604701680290121001280

三450

因此，從平均數(shù)的角度來看，兩班成績一樣好．

方案二從選拔人才的角度考慮：三(3)班高于90分的人數(shù)有20人，三(4)班有24人；同時(shí)三(4)

班滿分人數(shù)比三(3)班多6人，這說明三(4)班尖子生比三(3)班多.

因此，從選拔人才的角度看，三(4)班比三(3)班成績好．

方案三從眾數(shù)的角度來思考：三(3)班成績的眾數(shù)為90，三(4)班成績的眾數(shù)為70，

因此．從成績的眾數(shù)來看，三(3)班優(yōu)于三(4)班．

方案四從方差或標(biāo)準(zhǔn)差的角度來考慮．

1222222

∵s25080260805708010808013908014100806172

三350

21222222∴

s三50

80460

804708016808029080121008012256

450

2＜2，即三班成績較三班波動要小，從而說明三班成績優(yōu)于三班．

s三3s三4(3)(4)(3)(4)

方案五從中位數(shù)的角度來考慮．三(3)、三(4)兩班成績的中位數(shù)都為80分．三(3)班成績在中位數(shù)

以上（包括中位數(shù)）有33人，三(4)班成績在中位數(shù)以上（包括中位數(shù)）有26人，從這一角度來看，

三(3)班學(xué)生成績整體較好．

A級

1.1.152.43設(shè)共有x人．由(x-4-5-7)×6+2×4+1×5+0×7=(x-3-4-1)×3+8×3+9×4+10×1，得x=43.

3．乙4.55．B6．C7．D8．D

22

9．(l)x甲x乙13,S甲4,S乙0.8(2)乙的成績較穩(wěn)定，從折線圖看，乙的成績則在平均線上下波

動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．、

10.（1）

班級平均數(shù)方差中位數(shù)極差

(1)班1683.21686

(2)班1683.81686

(2)(1)班

0.0052.42100600350

11.x=2.02×600×350=420000(盒)(2)10%(3)7260(套)

0.51030.07

(4)略

12.9名裁判不可能給某5位或5位以上的運(yùn)動員都評為1分，因?yàn)閷τ?位或5位以上的運(yùn)動員中，至

少有一名運(yùn)動員被某裁判評的分不小于5．而按照題意，這5名運(yùn)動員中的每一位被各裁判所評的分不

大于4，矛盾．因此，9名裁判至多給某4名運(yùn)動員都評為1分，下面分情形討論．

(l)如果所有裁判都給某一名運(yùn)動員評為1分，那么C1=9;

(2)如果9名裁判評出的9個(gè)1分集中在兩位運(yùn)動員名下，那么其中必有一名運(yùn)動員至少被5名裁判都

評為1分，于是由題設(shè)可知，其余裁判給該運(yùn)動員的評分不大于4，從而Cl≤5×1+4×4=21；

(3)如果裁判評出的9個(gè)1分集中在三位運(yùn)動員名下，那么，這三名運(yùn)動員各自所得的總分之和不大

于9×1+9×3+9×4=72，從而3c1≤cl+c2+c3≤72，故c1≤24；

(4)如果9個(gè)1分為4名運(yùn)動員擁有，那么這4名運(yùn)動員各人所得總分之和等于9×1+9×2+9×3+9×

4=90，從而4c1≤90，故c1<23.綜上可知，c1≤24．c1=24這種情形是可以實(shí)現(xiàn)的，見下表．

B級

1．（１）Ｃ（２）略

．設(shè)滿足條件的兩位數(shù)為＋，＋＋＋＝（＋）為完全平方數(shù)，則＋＝，從而，

210xy10xy10yx11xy