初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題28 縱觀全局

專題28縱觀全局——整體思想

閱讀與思考

解數(shù)學(xué)問題時(shí)，人們習(xí)慣了把它分成若干個(gè)較為簡單的為，然后在分而治之，各個(gè)擊破。與分解、分部

處理問題相反，整體思想是將問題看成一個(gè)完整的整體，從大處著眼，有整體入手，突出對問題的整體

結(jié)構(gòu)的分析和改造，把一些看似彼此孤立、實(shí)質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為整體考慮，從整體上把握問題的內(nèi)

容和解題方向的策略，往往能找到簡捷的解題方法，解題中運(yùn)用整體思想解題的具體途徑主要有：

1.整體觀察

2.整體設(shè)元

3.整體代入

4.整體求和

5.整體求積

注：既看局部，又看整體；既見“樹木”，又見“森林”，兩者互用，這是分析問題和解決問題的普遍而

有效的方法．

例題與求解

【例1】某市抽樣調(diào)查了1000戶家庭的年收入，其中年收入最高的只有一戶，是38000元。由于將這個(gè)

數(shù)據(jù)輸入錯(cuò)了，所以計(jì)算機(jī)顯示的這1000戶的平均年收入比實(shí)際平均年收入高出了342元，則輸入計(jì)

算機(jī)的那個(gè)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)是．

（北京市競賽題）

解題思路：有1000個(gè)未知量，而等式只有兩個(gè)，顯然不能分布求出每個(gè)未知量，不妨從整體消元．

注：有些問題要達(dá)到求解的目的，需要設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，但在解答的過程中，這些未知數(shù)只起到溝通已知

與未知的輔助的作用，因此可“設(shè)而不求”，通過整體考慮，直接獲得問題的答案．

【例2】設(shè)a、b、c是不全相等的任意數(shù)，若xa2bc,yb2ac,zc2ab，則x、y、z

（）

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一個(gè)小于零D.至少有一個(gè)大于零

解題思路：由于a、b、c的任意性，若孤立地考慮x、y、z，則很難把握的x、y、z正負(fù)性，應(yīng)該考慮

整體求出xyz的值．

2a53a43a39a25a1

【例3】如果a滿足等式2a23a10，試求的值．

3a1

(天津市競賽題)

解題思路：不能直接求出a的值，可尋求待求式子分子分母與條件等式的聯(lián)系，然后把條件等式整體代

入求值．

注：整體思想在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何證明等方面有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加

疊乘、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、幾何補(bǔ)形等都是整體思想的體現(xiàn)．

11

【例4】已知x2,y4，代數(shù)式ax3by51997，求當(dāng)x4,y時(shí)，代數(shù)式

22

3ax24by34986的值．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

解題思路：a、b的值無法求出，將給定的x、y值分別代入對應(yīng)的代數(shù)式，尋找已知式與待求式之間的

聯(lián)系，整體代入求值．

【例5】已知實(shí)數(shù)a、b、c、d、e、f滿足方程組．

2abcdef20①

a2bcdef40②

ab2cdef80③

abc2def160④

abcd2ef320⑤

abcde2f640⑥

求fedcba的值．

（上海市競賽題）

解題思路：將上述六個(gè)式子看成整體，通過⑥－⑤，④－③，②－①分別得到fe,dc,ba．

【例6】如圖，將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個(gè)數(shù)分別填入圖中的十個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意連續(xù)相鄰的五個(gè)圓

圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某一個(gè)整數(shù)M，求M得最小值并完成你的填圖．

（北京市“迎春杯”競賽試題）＼

解題思路：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出≤，這是本題的突破口．

S(a1a2a10)10M

注：在解答有同一結(jié)構(gòu)的問題時(shí)，可將這一相同結(jié)構(gòu)看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母代換，以此達(dá)到體現(xiàn)式

子結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，化繁為簡的目的．

能力訓(xùn)練

1．已知密碼：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每個(gè)字母都表示一個(gè)十進(jìn)制數(shù)字，將這個(gè)密碼翻譯成式子

是

2．若a，b，c的值滿足(3a2bc4)2(a2b3c6)2≤0，則9a2b7c

(“城市杯”競賽試題)

1

3．角，，中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算（）的值時(shí)，全班得

15

到23.5°，24.5°，25.5°這樣三個(gè)不同結(jié)果，其中確有正確的答案，則正確的答案是

4．如果x22x3，那么x47x38x213x15=

（“希望杯”邀請賽試題）

．已知都是正數(shù)，設(shè)，

5a1,a2,,a1991M(a1a2a1990)(a2a3a1991)

，那么與的大小關(guān)系是

N(a1a2a1991)(a2a3a1990)MN

MN．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

ax2bx10

6．若方程組bx2xa0有解，則ab

2

xaxb0

（湖北省武漢市選拔賽試題）

11

zxy2z

6

35

7．若正數(shù)x，y，z滿足不等式xyzx，則x，y，z的大小關(guān)系是（）

23

511

yxzy

24

A．xyzB．yzxC．zxyD．不能確定

8．若3x12ax5bx4cx3dx2exf，則abcdef的值是（）

A．32B．32C．1024D．1024

9．在一家三口人中，每兩個(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別得到47,61,60，那么這三人中最大

年齡與最小年齡的差是（）

A．28B．27C．2D．2

πππ

10．設(shè)a，b，c，滿足等式xa22b,yb22c,zc22a，則x，y，z中至少有

362

一個(gè)值（）

A．大于0B．等于0C．不大于0D．小于0

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

111111

11．（1）abc0,化簡a()b()c()3.

bccaab

ab1bc1ca1abc

(2)已知,,，則的值為多少？

ab15bc17ca16abbcca

12．有一個(gè)四位數(shù)，把它從中間分成兩半，得到前、后兩個(gè)兩位數(shù)，將前面的兩位數(shù)的末尾添一個(gè)零，

然后加上前后兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，恰好等于原來的四位數(shù)，又知道原數(shù)的個(gè)位數(shù)字為5，試求這個(gè)

四位數(shù)．

（江蘇省競賽試題）

13．代數(shù)式rvzrwysuzswxtuytvx中，r，s，t，u，v，x，y，z可以分別取+1或-1．

（1）證明代數(shù)式的值都是偶數(shù)．

（2）求這個(gè)代