初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題15一次方程的應(yīng)用（解析版）

專(zhuān)題15一次方程組的應(yīng)用

閱讀與思考

1、求代數(shù)式的值

一些表面與方程組無(wú)關(guān)的問(wèn)題，借助相關(guān)概念、性質(zhì)、對(duì)題意的理解等將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組而獲解

2、列方程組解應(yīng)用題

不同的應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)采用不同的解決手段或方法，對(duì)于含有多個(gè)未知量的問(wèn)題，利用方程組求解常常比

單設(shè)一個(gè)未知數(shù)建立一元方程容易，列方程組解應(yīng)用題的步驟與列一元方程應(yīng)用題的步驟類(lèi)似，他們的

不同之處在于：

首先，列方程所解決的應(yīng)用題中含有多個(gè)未知量，須設(shè)多個(gè)未知數(shù)，而列方程只能設(shè)一個(gè)未知數(shù)，其他

未知量只能用這一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；其次，列方程組解應(yīng)用題應(yīng)列出彼此獨(dú)立的方程來(lái)組成方程

組，而列方程解應(yīng)用題只需列出一個(gè)方程.

例題與求解

【例1】小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過(guò)一輛18路公交車(chē)，每隔3分鐘從迎面駛來(lái)一

輛18路公交車(chē)，假設(shè)每輛18路公交車(chē)行駛速度相同，并且18路公交車(chē)總站每間隔固定時(shí)間發(fā)一輛車(chē)，

那么發(fā)車(chē)間隔的時(shí)間是__________分鐘.

（2013年“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯競(jìng)賽試題）

解題思路：根據(jù)同向行駛的相鄰兩車(chē)的間距保持不變，且小王行走速度和公交車(chē)行駛速度是固定的，列

方程組分析.

【例2】如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)矩形，則每個(gè)長(zhǎng)方形地磚的面積為（）

A、200平方厘米B、300平方厘米C、600平方厘米D、2400平方厘米

（黑龍江中考試題）

解題思路：設(shè)每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為x厘米，寬為y厘米，則根據(jù)圖形可列出關(guān)于x，y的二元一次方

程組.

【例3】某班進(jìn)行個(gè)人投籃比賽，下表記錄了在規(guī)定時(shí)間內(nèi)投進(jìn)幾個(gè)球人數(shù)分布情況.

進(jìn)球n012345

投進(jìn)n個(gè)球的人數(shù)1272

同時(shí)，已知進(jìn)球3個(gè)或3個(gè)以上的人平均每人投進(jìn)3.5個(gè)球，進(jìn)球4個(gè)或4個(gè)以下的人平均每人投進(jìn)2.5

個(gè)球，問(wèn)投進(jìn)3個(gè)球和4個(gè)球的各有多少人？

（上海市中考試題）

解題思路：已知兩種進(jìn)球情況下的人均進(jìn)球數(shù)，根據(jù)平均每人投進(jìn)的球數(shù)＝投進(jìn)總球數(shù)/總?cè)藬?shù)列出方程

組.

【例4】某工程由甲、乙兩隊(duì)合作6天完成，廠家需支付甲、乙兩隊(duì)共8700元；乙、丙兩隊(duì)合作10天

完成，廠家需支付乙、丙兩隊(duì)共9500元；甲、丙兩隊(duì)合作5天完成全部工程的2/3，廠家需支付甲、丙

兩隊(duì)共5500元.

(1)求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？

(2)若工期要求不超過(guò)15天完成全部工程，問(wèn)可由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢(qián)最少？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（天津市中考試題）

【例5】有甲、乙、丙三種規(guī)格的鋼條，已知甲種2根，乙種1根，丙種3根，共長(zhǎng)23米；甲種1根，

乙種4根，丙種5根，共長(zhǎng)36米，問(wèn)甲種1根、乙種2根、丙種3根，共長(zhǎng)多少米？

（天津市競(jìng)賽試題）

解題思路：三個(gè)未知量卻只有兩個(gè)等量關(guān)系，需運(yùn)用相關(guān)的解方程組的技巧，如視某個(gè)變量為常量、整

體思想等.

【例6】星期天，媽媽帶著小丁去買(mǎi)了2斤蘋(píng)果核6斤橘子，共用去12元，媽媽說(shuō)：”上星期天也是買(mǎi)

了2斤蘋(píng)果核6斤橘子，也是花了12元，可是今天的蘋(píng)果價(jià)格下調(diào)了，橘子價(jià)格上漲了，并且上漲和

下調(diào)的幅度相同.”試求上星期天蘋(píng)果核橘子每斤的價(jià)格.

（2013年七年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)上星期天蘋(píng)果每斤x元，橘子每斤y元，價(jià)格調(diào)整的幅度為m，列出方程組.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1、若買(mǎi)2支圓珠筆、1本日記本需4元；買(mǎi)1支圓珠筆、2本日記本需5元，則買(mǎi)4支圓珠筆、4本日

記本需要________元.

（浙江省紹興市中考試題）

2、全國(guó)足球甲A聯(lián)賽前12輪（場(chǎng)）的比賽后，前三名比賽成績(jī)?nèi)缦卤?，則每隊(duì)勝乙場(chǎng)、平一場(chǎng)、負(fù)一

場(chǎng)分布的_________分

勝場(chǎng)平場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分

大連萬(wàn)達(dá)隊(duì)82226

上海申花隊(duì)65126

北京國(guó)安隊(duì)57022

（江蘇省南京市中考試題）

3、若x＋2y＋3z＝14，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z＝.

4、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，放入六個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分

的面積為.

2

5、已知4xmnymnx7my1n是同類(lèi)項(xiàng)，則m，n的值分別為（）

3

2965

A.m＝－1，n＝－7B.m＝3，n＝1C.m＝，n＝D.m＝，n＝－2

1054

6、某商店出售甲、乙兩種商品，售價(jià)都是1800元，其中，甲商品能盈利20%，乙商品將虧損20%，如

果同時(shí)售出甲、乙商品個(gè)一件，那么（）

A、共盈利150元B、共虧損150元C、不盈利也不虧損D、以上答案都不對(duì)

（山東省競(jìng)賽試題）

7、方程x2y3xy11的整數(shù)解得個(gè)數(shù)是（）

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

8、甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，那么（）

A、甲比乙大5歲B、甲比乙大10歲C、乙比甲大10歲D、乙比甲大5歲

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

9、某紙品加工廠為了制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒（如圖①），利用邊角料裁出正方形和長(zhǎng)方形兩

種硬紙片，長(zhǎng)方形的寬與正方形邊長(zhǎng)相等（如圖②），現(xiàn)將150張正方形硬紙片和300張長(zhǎng)方形硬紙片

全部用于這種小盒，求可做成甲、乙兩種小盒各多少個(gè)？

（上海中考試題）

10、某超市為“開(kāi)業(yè)三周年”舉行店慶活動(dòng)，對(duì)A、B兩種商品實(shí)行打折出售，打折前，購(gòu)買(mǎi)5件A商

品和1件B商品需用84元；購(gòu)買(mǎi)6件A商品和3件B商品需用108元，而店慶期間，購(gòu)買(mǎi)50件A商

品和50件B商品僅需960元，這比不打折少花多少錢(qián)？

（新疆烏魯木齊中考試題）

11、項(xiàng)王故里的票價(jià)規(guī)定如下表：

購(gòu)票人數(shù)1~50人51~100人100人以上

每人門(mén)票價(jià)5元4.5元4元

某校七年級(jí)甲、乙兩班共103人（其中甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)）去游項(xiàng)王故里，如果兩班都以班為單位

分別購(gòu)票，則共付486元.

（1）如果兩班聯(lián)合起來(lái)，作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，則可以節(jié)約多少元？

（2）兩班各有多少名學(xué)生？

（江蘇省宿遷市中考試題）

12、甲、乙、丙三人各有糖若干塊，要求相互贈(zèng)送，先由甲給乙、丙，所給的糖的塊數(shù)等于乙、丙原來(lái)

各自的糖塊數(shù)，依同樣的方法再由乙給甲、丙現(xiàn)有的糖塊數(shù)；后由丙給甲、乙現(xiàn)有的糖塊數(shù)，相互贈(zèng)送

后，每人恰好各有糖64塊，問(wèn)三人原來(lái)各有糖多少塊？

（天津市競(jìng)賽試題）

B級(jí)

1、設(shè)x，y滿足x3y3xy19,2xy6，則x＝y(tǒng)＝

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

2、《數(shù)理天地》（初中版）月刊，全年12期，每期定價(jià)2.5元，某中學(xué)七年級(jí)組織集體訂閱，有些學(xué)生

訂半年而另一些學(xué)生訂全年，共需訂費(fèi)1320元，若訂全年的改訂半年，訂半年的改訂全年的時(shí)，則共

需訂費(fèi)1245元，則該中學(xué)七年級(jí)訂閱《數(shù)理天地》的學(xué)生共有人

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3、江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷的涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺(tái)抽水機(jī)抽水，

40分鐘可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完，如果要在10分鐘抽完水，那么至少需要抽水

機(jī)臺(tái).

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4、購(gòu)買(mǎi)五中數(shù)學(xué)用品A1，A2，A3，A4。A5的件數(shù)和用錢(qián)總數(shù)如下表：

件數(shù)

總錢(qián)數(shù)

品名A1，A2A3，A4A5

第一次購(gòu)件數(shù)134561992（元）

第二次購(gòu)件數(shù)1579112984(元)

則五種數(shù)學(xué)用品各買(mǎi)一件共需元.

5、買(mǎi)20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本需32元；買(mǎi)39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本需58元，則買(mǎi)5

支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本需（）

A、20元B、25元C、30元D、35元

（江蘇省競(jìng)賽試題）

6、在一家三口人中，每?jī)扇说钠骄挲g加上余下一人的年齡分別得到47，61，60，那么這三個(gè)人中最

大年齡與最小年齡的差是（）

（“希望杯”邀請(qǐng)?jiān)囶}）

A、28B、27C、26D、25

7、為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方將明文加密為密文傳送給接收文，接收方收到密文后，

解密還原為明文，已知某種加密規(guī)則為：明文a，b對(duì)應(yīng)的密文為a－2b，2a＋b，例如1，2對(duì)應(yīng)的密文

為－3，4，當(dāng)接收文收到密文是1，7時(shí)，解密得到的，明文是（）

A.－1，1B、1，3C、3，1D、1，1

8、在車(chē)站開(kāi)始檢票時(shí)，有a（a＞0)名旅客在候車(chē)室排隊(duì)等候檢票進(jìn)站，檢票開(kāi)始后，仍有旅客繼續(xù)前

來(lái)排隊(duì)檢票進(jìn)站，設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的.若開(kāi)放一個(gè)檢票口，則需

30分鐘才可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開(kāi)放兩個(gè)檢票口，則只需10分鐘便可將排隊(duì)等候

檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在5分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來(lái)到站的旅

客能隨到隨檢，至少要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢票口？

（廣東省廣州市中考試題）

9、如圖，正方形中的每個(gè)小圖形表示一個(gè)數(shù)字，相同的圖形表示相同的數(shù)字，不同的圖形表示不同的

數(shù)字，正方形外的數(shù)字表示該行或該列的數(shù)字的和，求x，y的值

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

10、編號(hào)為1到25的25個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子A和B中，15號(hào)彈珠在籃子A中把這個(gè)彈珠從籃子

1

A移至籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號(hào)數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，B中彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)也等

4

1

于原平均數(shù)加，問(wèn)原來(lái)在籃子A中有多少個(gè)彈珠？

4

（江蘇省競(jìng)賽試題）

11、某單位職工參加市工會(huì)組織的健身操比賽進(jìn)行列隊(duì)，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人

一列不多不少，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)單位參加健身操比賽的職工至少有多少人？

（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題）

專(zhuān)題15一次方程組的應(yīng)用

例14提示：設(shè)18路公交車(chē)的速度為x米/分，小王行走的速度為y米/分，同向行駛的相鄰兩車(chē)間

6x6yS①，S

距離為S米，依題意得①＋②×2得S＝4x．所以間隔時(shí)間為4分鐘．

3x3yS②.x

xy40,x30,

例2B提示：設(shè)每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm．依圖形可知解得故每

x3y,y10.

個(gè)長(zhǎng)方形地磚的面積為30×10＝300cm2．

例3設(shè)投進(jìn)3個(gè)球的有x人，投進(jìn)4個(gè)球的有y人．依題意得

3x+4y52=3.5(xy2），x9,

解得

21+32+3x+4y=2.5(1+2+7+xy)，y3.

例4（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做x天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做y天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做z天完成，則

111

，

xy6

x10，

111

，解得y15，

yz10

z30．

1121

，

xz35

（2）設(shè)甲隊(duì)做一天應(yīng)付給a元，乙隊(duì)做一天應(yīng)付給b元，丙隊(duì)做一天應(yīng)付給c元，則

6(ab)8700，a800，

10(bc)9500，解得b650，

5(ac)5500，c300．

因10a＝8000元，15b＝9750元，故甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢(qián)最少．

例5提示：設(shè)甲、乙、丙三種規(guī)格的鋼條每根長(zhǎng)分別為x米，y米，z米，由題意得

2xy3z23①，

x4y5z36②，

①×2＋②×3，得7x14y21z＝154，即7(x2y3z)＝154，故x2y3z＝22米．

例6設(shè)上星期天蘋(píng)果每斤x元，橘子每斤y元，價(jià)格調(diào)整的幅度為m，則

2x6y12①，

2x(1m)6y(1m)12②，

①－②，得2m(x3y)＝0．

∵m≠0，

∴x3y＝0，即x＝3y．

把x＝3y代入①中得，23y6y＝12，解得y＝1．

把y＝1代入x＝3y中，得x＝3．

故上星期天蘋(píng)果每斤3元，橘子每斤1元．

A級(jí)

1．12提示：設(shè)1支圓珠筆x元，1本日記本y元，依題意

2xy4x1

可得，解得，故4支圓珠筆，4本日記本需要4x＋4y＝4×1＋4×2＝12.

x2y5y2

2.3，1，03.54.44cm25.B

6.B提示：設(shè)甲進(jìn)價(jià)為x元，乙進(jìn)價(jià)50為y元.則x·（1＋20%）＝1800，y·（1－20%）＝1800，解

得x＝1500，y＝2250.所以商店盈利為1800×2－（1500＋2250）＝－150，即商店虧損150元.

7.A

8.A提示：設(shè)甲、乙現(xiàn)在的年齡分別為x、y歲，則

y(xy)10x20

，解得.

x(xy)25y15

x2y150

9.甲、乙各30個(gè)、60個(gè).提示：設(shè)可做成甲、乙兩種小盒分別為x、y個(gè)，則.

4x3y300

5xy84x16

10.設(shè)打折前，1件A商品x元，1件B商品y元，則，解得，則5不打折時(shí)，

6x3y108y4

50件A商品和50件B商品需用50×16＋50×4＝1000元，而1000－960＝40元，故店慶期間，購(gòu)

買(mǎi)50件A商品和50件B商品比不打折少花40元.

11.（1）74元.

（2）設(shè)甲班人數(shù)為x，乙班人數(shù)為y，則x＞y，令51＜x＜100，1＜y＜51，則

xy103x58

，解得.

4.5x5y486y45

12.三人各有104塊、56塊、32塊.提示：列表反映數(shù)量關(guān)系.

B級(jí)

1

1.，5提示：①－②×2得－3x＋y＋|3x－y|＝17.

2

1

2x4y19x

故3x－y＜0.原方程組可變形為，解得2.

2xy6

y5

2.57

3.6提示：設(shè)開(kāi)始抽水前管涌已經(jīng)涌出的水量為a立方米，管涌每分鐘涌出的水量為b立方米，又

設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每分鐘可抽水c立方米（c≠0），

160

ac

a40b240c3

則，解得.

a16b416c2

bc

3

4.10005.C6.A7.C

8.設(shè)檢票開(kāi)始后每分鐘新增加的旅客為x人，檢票的速度為每個(gè)檢票口每分鐘檢y人.5分鐘內(nèi)檢票完

畢要同時(shí)開(kāi)放n個(gè)檢票口，

a

a30x30y①x

30aa

則a10x210y②，由①，②得，代入③得an，解得n≥3.5，即至少要

a63

a5xn5y③y

15

同時(shí)開(kāi)放4個(gè)窗口.

9.易知y=28.設(shè)第一行所表示的數(shù)依次是a、b、c、b，第二行第4列的數(shù)字是d