初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題26奇偶分析（解析版）

專題26奇偶分析

閱讀與思考

整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，一個整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，因此奇偶性是一個整數(shù)的固有屬

性，即奇數(shù)≠偶數(shù)．

由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性，因此可以說奇偶性是整數(shù)的一種不變性，通過分析整數(shù)的奇偶性

來解決問題的方法叫奇偶分析．

運用奇偶分析解題，常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)：

1.奇數(shù)≠偶數(shù).

2.奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個奇數(shù)

的和為偶數(shù)，若干個偶數(shù)的和是偶數(shù).

3.若干個奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù).

4.若a是整數(shù)，則a與a，a，an（n為自然數(shù)）有相同的奇偶性.

5.設(shè)a，b是整數(shù)，則ab，ab，ab，ab都有相同的奇偶數(shù).

6.偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1.

例題與求解

【例1】數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列規(guī)律是：前兩個數(shù)是1，從第三個數(shù)

開始，每一個數(shù)是它前面兩個數(shù)的和，這個數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2004個數(shù)中

共有____個偶數(shù)．

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：本例關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項奇偶性的規(guī)律.

【例2】如果a，b，c都是正整數(shù)，且a，b是奇數(shù)，則3a(b1)2c是().

A．只當(dāng)c為奇數(shù)時，其值為奇數(shù)

B．只當(dāng)c為偶數(shù)時，其值為奇數(shù)

C．只當(dāng)c為3的倍數(shù)時，其值為奇數(shù)

D．無論c為任意正整數(shù)時，其值均為奇數(shù)

（五城市聯(lián)賽試題）

解題思路：直接運用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇．

【例3】能否找到自然數(shù)a和b，使a22002b2.

（“華羅庚金杯”邀請賽試題）

解題思路：假設(shè)存在自然數(shù)a和b，使等式成立，則(ab)(ab)2002，從ab，ab的奇偶

性展開推理．

【例4】在6張紙片的正面分別寫上整數(shù)1，2，3，4，5，6，打亂次序后，將紙片翻過來，在它

們的反面也隨意寫上1~6這6個整數(shù)，然后計算每張紙片正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對值，得出6個

數(shù)，請你證明：所得的6個數(shù)中至少有兩個是相同的.

（北京市競賽試題）

解題思路：從反面入手，即設(shè)這6個數(shù)兩兩都不相等，利用aibi與aibici=1，2，3，4，5，6

的奇偶性相同，引入字母進行推理證明.

【例5】表甲是一個英文字母電子顯示盤，每一次操作可以使某一行4個字母同時改變，或者使某一列

4個字母同時改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個英文字母變成它下一個字母（即A變

成B，B變成C…最后字母Z變成A）.問：能否經(jīng)過若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請寫出變

化過程，如不能，說明理由.

SOBRKBDS

TZEPHEXG

HOCNRTBS

ADVXCFYA

表甲表乙

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：表甲與表乙看上去沒有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕?，看是否?/p>

成功？如果是不能，就應(yīng)找出不能的理由，解題的關(guān)鍵是如何將問題“數(shù)字化”，挖掘操作變化過程中

的不變量或不變性.

【例6】設(shè)x1，x2，…xn為＋1或－1，并且x1x2x3x4x2x3x4x5x3x4x5x6xn3xn2xn1xn

xn2xn1xnx1xn1xnx1x2xnx1x2x30.證明n能被4整除.

解題思路：應(yīng)用整數(shù)的奇偶性解題，常需變化角度去考察問題，從而化難為易．

能力訓(xùn)練

1．若按奇偶分類，則11223320112011是______數(shù).

2．已知a是質(zhì)數(shù)，b是奇數(shù)，且a2b2001，則ab_______.

（江蘇省競賽試題）

3．若質(zhì)數(shù)m，n滿足5m7n129，則mn的值為____________.

（河北省競賽試題）

4．在12，22，32，…，952這95個數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____________個.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

5．將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和

都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么，滿足要求的排法有()種.

A.2B.3C.4D.5

6．設(shè)a，b為整數(shù)，給出下列四個結(jié)論

（1）若a5b是偶數(shù)，則a3b是偶數(shù)

（2）若a5b是偶數(shù)，則a3b是奇數(shù)

（3）若a5b是奇數(shù)，則a3b是偶數(shù)

（4）若a5b是奇數(shù)，則a3b是奇數(shù)

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()．

A.0B.2C.4D.1或3

（“五羊杯”競賽試題）

abbcca

7．如果a，b，c是三個任意整數(shù)，那么，，()．

222

A.都不是整數(shù)B.至少有兩個是整數(shù)

C.至少有一個是整數(shù)D.都是正數(shù)

（“T1杯”全國競賽試題）

8．將1000到1997這998個自然數(shù)任意排成一行，然后依次地求出三個相鄰數(shù)的和，在這些和中，

奇數(shù)的個數(shù)至多有()．

A.499個B.496個C.996個D.995個

9．設(shè)a1，a2，…a1999是1，2，3，…，1999的一個排列，求證：(a11)(a22)(a19991999)

為偶數(shù).

10．在黑板上記上數(shù)1，2，3，…，1974，允許擦去任意兩個數(shù)，且寫上它們的和或差.重復(fù)這樣

的操作手續(xù)，直至在黑板上留下一個數(shù)為止.求證：這個數(shù)不可能為零．

（數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）

11．你能找到三個整數(shù)a，b，c，使得關(guān)系式(abc)(abc)(abc)(bca)3388成

立嗎？如果能找到，請舉一例；如果找不到，請說明理由.

（“希望杯”邀請賽試題）

12．設(shè)標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G記號的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關(guān).現(xiàn)在A，C，

E，G四盞燈開著，其余三盞燈是關(guān)的，小剛從燈A開始，順次拉動開關(guān)，即從A到G，再從A開始順

次拉動開關(guān)，即又從A到G，…，他這樣拉動了1999次開關(guān)后，問哪幾盞是開的？

專題26奇偶分析

例1668提示：裴波拉數(shù)列各項的奇偶性規(guī)律是：從第一個數(shù)開始，每組連續(xù)的3個數(shù)中，前兩個

數(shù)是奇數(shù)，第三個數(shù)是偶數(shù)，又因為2004÷3＝668.所以前2004個數(shù)中共有668個偶數(shù).

例2D

22

例3假設(shè)存在自然數(shù)a和b，使a2002b.則（a＋b）(a－b)＝2002＝2×1001，若a，b同為奇

數(shù)或同為偶數(shù)，則（a＋b）×（a－b）必定是“偶數(shù)×偶數(shù)”；若a，b為一奇一偶，則(a＋b)(a－b)必

定是“奇數(shù)×奇數(shù)”.上述兩種情況均與等式右邊的“偶數(shù)×奇數(shù)”相矛盾，故找不到自然數(shù)a和b，使

22

a2002b.

a,a,a,a,a,ab,b,b,b,b,b

例4提示：設(shè)6張卡片正面寫的數(shù)是123456，反面寫的數(shù)對應(yīng)為123456，則這

ab,ab,...,ab

6張卡片正面寫的數(shù)與反面寫的數(shù)的絕對值分別為112266.

ab,ab,...,ab

設(shè)這6個數(shù)兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，…，5這6個值，于是112266

＝0＋1＋2＋…＋5＝15是個奇數(shù).

ababab+ab...ab

又ii與ii（i＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以112266

abab...aba...abb...b0

與11226616126的奇偶性

相同，是個偶數(shù)，導(dǎo)致矛盾.

例5提示：不能，理由如下：

將表中的英文字母分別用它們在字母表中的序號代替（即A用1，B用2，…，Z用26代替），這樣

表甲和表乙就分別變成了表丙和表?。?/p>

1915218112419

202661685247

8153141820219

表丙表丁

這樣，每一次操作中字母的置換就相當(dāng)于下面的置換：

1→2，2→3，…，25→26，26→1.

顯然，每次操作不改變這16個數(shù)字和的奇偶性，但表丙、表丁16個數(shù)字的和分別為213，174，它

們的奇偶性不同，故表丙不能變成表丁，即表甲不能變成表乙．

xxxx,xxxx,...,xxxx

例6由于乘積12342345n123都是＋1或－1，且總和為0．所以一定有偶數(shù)項，即n

一定是偶數(shù)2m.

m

1

將上面的n個數(shù)相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m個，所以它們的乘積為，另一方面，

m

x,x,...,x11

在乘積中，12n作為因數(shù)都出現(xiàn)四次，所以乘積為＋1，于是，m為偶數(shù)，故n

是4的倍數(shù)．

【能力訓(xùn)練】

1．偶

22

2.1999提示：由a＋b＝2001知a，b必為一奇一偶．又∵a是質(zhì)數(shù)且a為偶數(shù)．∴a＝2，b＝997，

故a＋b＝1999.

3.19或25

2,2,...222

4.19提示：在1210中，十位數(shù)字是奇數(shù)的只有4＝16，6＝36，兩位數(shù)的平方可以表示為

2

10ab222

=100a＋20ab＋b，它的十位數(shù)的奇偶性與b十位數(shù)字的奇偶性相同，因此，b

只能取4與6，即相鄰的每10個數(shù)中有兩個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)．

a,a,a,a,aa,a,a,a,

5．D提示：設(shè)12345是1，2，3，4，5中一個滿足要求的數(shù)列，首先，對于1234不能

a

連續(xù)兩個都是偶數(shù)，否則這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾，其次，如果i(1≤i≤3)是偶數(shù)，

aa

i1是奇數(shù)，則i1是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個

a,a,a,a,a

奇數(shù)是最后一個數(shù)．所以，12345只能是偶奇奇偶奇，故有如下5種情形滿足條件：①2，

1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2，5；⑤4，5，3，2，1.

6．B7．C8．D

a1a2...a1999aa