初中數學自主招生難度講義-7年級專題13位置確定（解析版）

專題13位置確定

——平面直角坐標系

閱讀與思考

在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系．從而坐標平面上的點與有序

數對（x，y）之間建立了一一對應關系．利用平面直角坐標系是確定位置的有效方法之一，解與此相

關的問題需注意：

（1）理解點的坐標意義；

（2）熟悉象限內的點、坐標軸上的點、對稱軸的坐標特征；

（3）善于促成坐標與線段的轉化．

例題與求解

【例1】（1）已知點A(2a＋3b，－2)和B(8，3a＋2b)關于x軸對稱，那么ab＝______________．

(四川省中考試題)

（2）在平面直角坐標系中，若點M(1，3)和點N(x，3)之間的距離為5，則x的值是____________．

(遼寧省沈陽市中考試題)

解題思路：對于（1）縱坐標互為相反數，對于（2），M，N在平行于x軸的直線上787．

【例2】如圖的象棋盤中，“卒”從A點到B點，最短路徑共有()

A．14條B．15條

C．20條D．35條

(全國初中數學競賽預賽試題)

解題思路：以點A為起點，逐漸地尋找到達每一個點的不同走法的種數，找到不同走法的規(guī)律．

例2題圖例3題圖

【例3】如圖，已知OABC是一個長方形，其中頂點A，B的坐標分別為(0，a)和(9，a)，點E在

11

AB上，且AEAB，點F在OC上，且OFOC．點G在OA上，且使△GEC的面積為20，△

33

GFB的面積為16，試求a的值．

（“創(chuàng)新杯”競賽試題）

解題思路：把三角形的面積用a表示，列出等式進而求出a的值．

【例4】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為：A(0，0)，B(7，0)，C(9，5)，

D(2，7)．

（1）在坐標系中，畫出此四邊形．

（2）求此四邊形的面積．

（）在坐標軸上，你能否找一個點，使？若能，求出點坐標；若不能說明理由．

3PSPBC50P

解題思路：對于（2），過C，D兩點分別向x軸，y軸引垂線，由坐標得到相關線段．對于（3），

由于P點位置不確定，故需分類討論．

【例5】如果將電P繞頂點M旋轉1800后與點Q重合，那么稱點P與點Q關于電M對稱，定點M

叫作對稱中心，此時，點M是線段PQ的中點，如圖，在平面直角坐標系中，△ABO的頂點A，B，O

的坐標分別為，，，，，，點，，，…中相鄰兩點都關于△的一個頂點對稱，

(10)(01)(00)P1P2P3ABO

點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關

P1P2AP2P3BP3P4OP4P5

于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，…對稱中心分別是，，，，

AP5P6BP6P7OABCA

，，…且這些對稱中心依次循環(huán)，已知的坐標是，．試寫出點，，的坐標．

BCP1(11)P2P7P100

（江蘇省南京市中考試題）

解題思路：在操作的基礎上，探尋點的坐標變化規(guī)律．

【例6】如圖①，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為(－1，0)，(3，0)，現同時將點A，B

分別向上平移2個單位．再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD．

（）求點，的坐標及四邊形的面積．

1CDABDCS四邊形ABDC

（）在軸上是否存在一點，連接，，使，若存在這樣一點，求出點

2yPPAPBSPABS四邊形ABDCP

的坐標，若不存在，試說明理由．

（3）如圖②，點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO．當點P在BD上移動時（不與B，D

DCPBOP

重合），的值是否變化？若不變，求其值．

CPO

解題思路：（1）由平移知C(0，2)，D(4，2)．另求出四邊形面積．（2）設OP＝h，用h表示出

可求出的值．若為整數，則是軸上的點，若不是，則說明該點不存在．

SPABS四邊形ABDChy

能力訓練

A級

1．如圖，△AOB繞點O逆時針旋轉900，得到A'OB'，若點A的坐標為(a，b)，則點A'的坐標

為______.

（吉林省中考試題）

2．△ABC的坐標系中的位置如圖所示，若A'B'C'與△ABC關于y軸對稱，則點A的對應點

A'的坐標為______.

（山東省青島市中考試題）

3．線段CD是由線段AB平移得到的，點A(－1，4)的對應點為C(4，7)，則點B(－4，－1)的對應

點D的坐標是____________.

（內蒙古包頭市中考試題）

4．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數點．其順序按圖中“→”方向排列，如(1，0)，

(2，0)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根據這個規(guī)律探究可得，第100個點的坐標為____________.

（四川省德陽市中考試題）

5．若點A(－2，n)在x軸上，則點B(n－1，n＋1)在()．

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（江西省南昌市中考試題）

6．若點M(a＋2，3－2a)在y軸上，則點M的坐標是()．

A.(－2，7)B.(0，3)C.(0，7)D.(7，0)

（重慶市中考試題）

7．如圖，若平行四邊形的頂點A，B，D的坐標分別是(0，0)，(5，0)，(2，3)，則頂點C的坐標是

()．

A.(3，7)B.(5，3)C.(7，3)D.(8，2)

（江蘇省南京市中考試題）

8．如果點P(m，1－2m)在第四象限，那么m的取值范圍是()．

111

A.0mB.m0C.m0D．m

222

（陜西省中考試題）

9．如圖，已知A(8，2)，B(2，2)，E，F在AB上且∠EOA＝∠EAO，OF平分∠BOE．

（1）求∠FOA．

（2）若將A點向右平移，在平移過程中∠OAB:∠OEB的值是否發(fā)生變化？請說明理由．

．如圖，智能機器貓從平面上的點出發(fā)，按下列規(guī)律走：由向東走到，再由向

10OO12cmA1A1

北走到，由向西走到，由向南走到，由向東走到，…，

24cmA2A236cmA3A318cmA4A460cmA5

問：智能機器貓到達點與點的距離是多少？

A6O

（“華羅庚金杯”數學競賽試題）

11．中國象棋棋盤中蘊含這平面直角坐標系，如右圖是中國象棋棋盤的一半，棋子“馬”走的規(guī)律

是沿“日”形的對角線走．例如：圖中“馬”所在的位置可以直接走到點A，B處．

（1）如果“帥”位于點(0，0)，“相”位于點(4，2)，則“馬”所在的點的坐標為，點C的

坐標為，點D的坐標為．

（2）若“馬”的位置在C點，為了達到D點，請按“馬”走的規(guī)律，在圖中畫出一種你認為合理

的行走路線，并用坐標表示．

（浙江省舟山市中考試題）

B級

1．點A(－3，2)關于原點的對稱點為B，點B關于x軸的對稱點為C，則點C的坐標為______.

（廣西壯族自治區(qū)競賽試題）

2．在平面直角坐標系中，已知A(3，－3)，點P是y軸上一點，則使△AOP為等腰三角形的點P

共有

______個．

（內蒙古自治區(qū)包頭市中考試題）

3．如圖，在直角坐標系中，已知點A(－3，0)，B(0，4)，且AB＝5，對△OAB連續(xù)作旋轉變換，

依次得到三角形①，②，③，④，…，則三角形⑩的直角頂點的坐標為______．

（浙江省嘉興市中考試題）

3mx2y3

4．若關于x，y的方程組的解為坐標的點(x，y)在第二象限，則符合條件的實數m

x3my9

的范圍是()．

111

A.mB.m2C.2mD．m9

992

（四川省競賽試題）

5．在平面直角坐標系中，對于平面內任一點(a，b)，若規(guī)定以下三種變換：

①f(a,b)(a,b)．如f(1,3)(1,3)；

②g(a,b)(b,a)．如g(1,3)(3,1)；

③h(a,b)(a,b)．如h(1,3)(1,3)．

按照以上變換由：f[g(2,3)]f(3,2)(3,2)，那么f[h(5,3)]等于()．

A.(－5，－3)B.(5，3)C.(5，－3)D．(－5，3)

（山東省濟南市中考試題）

6．設平面直角坐標系的軸以1cm作為長度單位，△PQR的頂點坐標為P(0，3)，Q(4，0)，R(k，5)，

其中0k4，若該三角形的面積為8cm2，則k的值是()．

8131

A.1B.C.2D．E．

342

（澳洲數學競賽試題）

7．如圖，四邊形ABCO各個頂點的坐標分別為(－2，8)，(－11，6)，(－14，0)，(0，0)．

（1）求這個四邊形的面積．

（2）若把原來四邊形ABCO各個頂點縱坐標保持不變，橫坐標增大a，則所得的四邊形面積又是

多少？

8．如圖，平面直角坐標系中A(－2，0)，B(2，－2)，線段AB交軸于點C．

（1）求點C的坐標．

（2）若D(6，0)，動點P從D點開始在x軸上以每秒3個單位向左運動，同時，動點Q從C點開

始在軸上以每秒個單位向下運動．問：經過多少秒鐘，？

y1SAPCSAOQ

．某校數學課外小組，在坐標紙上為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第棵樹種植在

9KP(xk,yk)

處，其中，當時，

x11,y11k2

k1k2

xkxk115([][])

55

k1k2

yy[][]

kk155

[a]表示非負實數a的整數部分，例如[2.6]2,[0.2]0，按此方案，求第2009棵樹種植點的坐

標．

（浙江省杭州市中考試題）

10．如圖①，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(－1，0)，現將點A向上平移2個單位，再向右

平移1個單位，得到點A的對應點B，點C的坐標為(3，2)．

（）判斷與軸的位置關系，并求出△的面積．

1BCxABCSABC

1

（2）在y軸上是否存在一點P，連接PA，PC，使SS，若存在這樣的點，求出點P

PBC2ABC

的坐標，若不存在，試說明理由．

（3）如圖②所示，點D是線段AC上的一個動點，過D作DE⊥AC交x軸于點E，過E點作∠DEF

＝∠DEA交AC于F點，試求出∠ACB與∠1之間的數量關系，并證明你的結論．

專題13位置確定

——平面直角坐標系

2a3b8a2

例1（1）2提示：由題意知，解得，故a+b=(－

3a2b2b4

2)+4=2．

（2）6或－4提示：由題意知|1－x|=5，解得x=6或－4．

例2D提示：如右圖，從點A出發(fā)，每次向上或向右走一步，到達每一點

的最短路徑條數如圖中所標數字，如：到達點P，Q的最短路徑條數分別為2和3，以此類推，到達點

B的最短路徑條數為35條．

例3如圖：設G點坐標為（0，b），b>0，因為S長方形OABC－SΔGEC=SΔOGC+SΔAGE+SΔBEC，所以9a－

111320

20=9b3(ab)6a，解得ba．同理，由S長方形OABC－SΔGFB=SΔABG+SΔOGF+SΔBFC，得

22223

111320

9a169(ab)3b6a，解得3a=32－6b．把ba

22223

代入上式中，得3a=72－9a，解得a=6

例4（1）略（2）S四邊形ABCD=44（3）①當點P在x軸上，

1

設P（x,0)．∴PB=|x－7|，∴S|x7|5=50．∴x=27或－

PBC2

13．∴P1（27，0），P2（－13，0）．②當P點在y軸上，延長CB交y軸于E點，

11

過點C作CF⊥y軸于F．設E（0，yE），S=（5-y)9,S7(y)，

CFE2EBOE2E

1

S梯形CFOB=(79)5．又S=SS梯形，解得

2CFEBOECFOB

353535

y．E(0,)，設P（0，y)，當P點在E點上方時，PE=y+，∴

E222

6535

SSS，解得y；當P點在E點下方時，PE=y，∴

PBCPECPEB22

13565135

SSS，解得y．綜上：P1（27，0），P2（－13，0），P3（0，），P4（0，）

PBCPECPEB222

滿足題意．

例5點P7與點P1重合，6個點構成一個循環(huán)，P2（1，－1），P7（1，1）．∵100=6×16+4，∴點P100

與點P4坐標相同，為（1，－3）．

例6（1）由平移知C（0，2），D（4，2）．S四邊形ABCD=4×2=8．

11

（2）∵SΔPAB=S四邊形ABDC=8，設OP=h，則SABh8．又AB=4，∵AB=4，4h8，解得

PAB22

h=4．故點P的坐標為（0，4）或（0，－4）．

DCPBOP

（3）∵CD∥AB，∴∠OPC=∠DCP+∠POB，的值為1．

CPO

A級

1．（－b，a)2．（4，2）3．（1，2）4．（14，8）提示：第一列1個點，第二列2個點，……，

(113)13

前13列一共91個點，第100個點位于第14列第9個點，坐標為（14，8）．

2

5．B6．C7．C8．D9．（1）∠FOA=22．50．（2）會變化．A點向右平移，∠OEB

不會發(fā)生變化，但∠OAB會變化．

10．依規(guī)律第6次由A5向北走72cm到A6，OP=12－36+60=36cm，PA6=24－48+72=48cm，

222222

OA6=OP+PA6=36+48=60，得OA6=60cm，即A6與O點的距離為60cm．

11．(1)(－3，0)（1，3）（3，1）（2）略

B級

1．（3，2）提示：由題意知，點B坐標為（3，－2），點B關于x軸的對稱點C的坐標為（3，2）．

2．43．（36，0）提示：圖形擺放形狀每3個一循環(huán)，第10個圖形與第1個圖形擺放形狀相同，

橫坐標為（4+5+3）×3=36．

4．B5．B6．B7．兩個四邊形面積都為80

．（）由面積公式可知：（，－）．（）設經過秒后，．∴－，則

81C012tSAPCSADQPA=|83t|

111

S|83t|1，OQ=1+t，則S(1t)2.|83t|

APC2