初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題14一次方程組（解析版）

專題14一次方程組

閱讀與思考

一次方程組是在一元一次方程的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，解一次方程組的基本思想是“消元”，即通過(guò)消元

將一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解，常用的消元方法有代入法和加減法．

解一些復(fù)雜的方程組（如未知數(shù)系數(shù)較大，方程個(gè)數(shù)較多等），需觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，從整體

上思考問(wèn)題，運(yùn)用整體疊加、整體疊乘、輔助引元、換元等技巧．

方程組的解是方程組理論中的一個(gè)重要概念，求解法、代解法是處理方程組解的基本方法．

a1xb1yc1

對(duì)于含有字母系數(shù)的二元一次方程組，總可以化為的形式，方程組的解由

a2xb2yc2

的取值范圍確定，當(dāng)?shù)娜≈捣秶唇o出時(shí)，須討論解的情況，基本

a1,b1,c1,a2,b2,c2a1,b1,c1,a2,b2,c2

思路是通過(guò)換元，將方程組的解的討論轉(zhuǎn)化為一元一次方程解的討論．

例題與求解

xy2

【例1】若m使方程組的解x，y的和為6，則m＝______________．

x2ym

(湖北黃岡市競(jìng)賽試題)

解題思路：用含m的式子分別表示x，y，利用x＋y＝6的關(guān)系式，求解m．

5x22y2z2

【例2】若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（xyz0）．則代數(shù)式的值等于()

2x23y210z2

119

A．B．C．－15D．－13

22

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解題思路：把z當(dāng)作常數(shù)，解關(guān)于x，y的方程組．

【例3】解下列方程組．

xyz

（1）456

2x3y4z3

（“縉云杯”邀請(qǐng)賽試題）

1995x1997y5989

（2）

1997x1995y5987

（北京市競(jìng)賽試題）

x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991

（3）

x1x2x1998x19991999

（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用不同的解題方法，或脫去絕對(duì)值符號(hào)，或設(shè)元引參，或整

體疊加．

ax2y1a

【例4】已知關(guān)于x，y的方程組分別求出a為何值，方程組的解為：

2x2(a1)y3

（1）有唯一一組解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多組解．

（湖北省荊州市競(jìng)賽試題）

解題思路：通過(guò)消元，將方程組的解的情況討論轉(zhuǎn)化為一元一次方程解的情況討論．

bcdefacdefabdefabcef1

【例5】已知正數(shù)a，b，c，d，e，f滿足4，9，16，，

abcd4

abcdf1abcde1

，．求(abe)(bdf)的值．

e9f16

（“CADIO”武漢市競(jìng)賽試題）

解題思路：利用疊乘法求出abcdef的值．

【例6】已知關(guān)于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)就有

一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解．

（1）求出這個(gè)公共解．

（2）請(qǐng)說(shuō)明，無(wú)論a取何值，這個(gè)公共解都是二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0的解．

（2013年“實(shí)中杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

解題思路：分別令a取兩個(gè)不同的值，可得到二元一次方程組，求出公共解．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

m

1．若3x3m5n94y4m2n12是關(guān)于x，y的二元一次方程，則的值等于______.

n

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

23x17y63

2．方程組，的解為_(kāi)___________.

17x23y57

（遼寧省中考試題）

ax5y15?

3．已知方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為x＝－3，y＝－

4xby2?

1；乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為x＝5，y＝4．若按正確的a，b計(jì)算，則原方程組的解

為_(kāi)__________.

（四川省聯(lián)賽試題）

4．已知關(guān)于x的方程a(x3)b(3x1)5(x1)有無(wú)窮多個(gè)解，則a＝，b＝________.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

xyxy

5．已知(4)2(2)20，則有()．

3232

A.x＝2，y＝3B.x＝－6，y＝3

C.x＝3，y＝6D.x＝－3，y＝6

3x2y6

6．如果方程組的解也是方程4x＋y＋2a＝0的解，那么a的值是()．

3x2y2

9191

A.B.C.－2D.2

36

a2b3c0abbcca

．設(shè)非零實(shí)數(shù)，，滿足，則的值為．

7abc222()

2a3b4c0abc

11

A.B.0C.D.1

22

（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

2a3b13a8.32(x2)3(y1)13

8．若方程組的解為則方程組的解為()．

3a5b30.9b1.23(x2)5(y1)30.9

x8.3x10.3x6.3x10.3

A.B.C.D．

y1.2y2.2y2.2y0.2

（山東省棗莊市中考試題）

2x3y2k1

9．已知關(guān)于x，y的方程組的解x，y的值的和為6，求k的值．

3x2y4k3

（上海市競(jìng)賽試題）

10．解方程組．

361x463y102

（1）

463x361y102

（云南省昆明市競(jìng)賽試題）

12

1

x16y3

（2）

11

1

2x22y1

（浙江省競(jìng)賽試題）

xy7

（3）

2x3y1

．若滿足下列方程組

11x1~x5

2x1x2x3x4x56

x12x2x3x4x512

，求的值．

x1x22x3x4x5243x42x5

xxx2xx48

12345

x1x2x3x42x596

（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

B級(jí)

1．已知對(duì)任意有理數(shù)a，b，關(guān)于x，y的二元一次方程(ab)x(ab)yab有一組公共解，

則公共解為_(kāi)_____.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

2xy3z23

2．設(shè)，則3x－2y＋z＝．

x4y5z36

（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

6xmy18

3．若關(guān)于x，y的方程組有自然數(shù)解，則整數(shù)m可能的值是．

3xy0

（2013年浙江省湖州市競(jìng)賽試題）

(a1)xy5

4．已知方程組，當(dāng)a，b時(shí)，方程組有唯一一組解；當(dāng)

xyb

a，b時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)a，b時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)組解．

（“漢江杯”競(jìng)賽試題）

5．“△”表示一種運(yùn)算符號(hào)，其意義是a△b＝2a－b，如果x△（1△3）＝2，則x＝()．

13

A.1B.C.D．2

22

（江蘇省競(jìng)賽試題）

135x2y

6．已知，則的值為()．

xyzzx2yz

331

A.1B.C.D．

224

（重慶市競(jìng)賽試題）

ax2by23ax5by9

7．已知關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組和具有相同的解，那么a，b的值是

2xy73xy11

()．

a3a2a2a3

A.B.C.D．

b2b3b3b2

8．若a，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，則a＋b＋c＋d的最大值

是()．

A.－1B.－5C.0D．1

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

9．解方程組

xy1

（1）

x2y3

（江蘇省競(jìng)賽試題）

ab1

bc2

（2）cd3

de4

ea6

（上海市競(jìng)賽試題）

ab1bc1ca1abc

10．已知，，，求的值．

ab15bc17ca16abbcca

（山西省太原市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

．已知，，，…，中每一個(gè)數(shù)值只能取－，，中的一個(gè)，且滿足求的值＋＋

11x1x2x3xn201x1x2

＋…＋＝－，2＋2＋2＋…＋2＝．求3＋3＋…＋3的值．

x3xn17x1x2x3xn37x1x2xn

（“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題）

5x4y7

12．已知k是滿足1910k2010的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解，問(wèn)：

4x5yk

這樣的整數(shù)k有多少個(gè)？

（“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題）

專題14一次方程組

m24m

例18②一①得3y=m-2，∴y．①×2+②得3x=4+m，∴x．又由x+y=6得

33

4mm2

+=6，解得m=8.

33

4x3y6zx3z5(3z)22(2z)2z2

例提示：由題意知得代入原式中，得

2D22213.

x2y7zy2z2(3z)3(2z)10z

x12

xyz

例3（1）y15，提示：令k，則x=4k,y=5k,z=6k.

456

z18

x1

(2),提示：將方程分別相加、相減得x+y=3,x-y=-1.

y2

AB1

（3）由題意可設(shè)x1=x3=x5=…=x1999=A,x2=x4=x6=…=x1998=B，則

1000A999B1999

解得A=1000，B=-999，即xl=x3=x5=…=x1999=1000,x2=x4=x6=…=x1998=-999.

(a2)(a1)x(a2)(a2)

例4提示：由方程組得

2(a2)(a1)ya2

(1)當(dāng)（a-2）(a+1)≠o，即a≠2且a≠-l時(shí)，原方程組有唯一解；

(2)當(dāng)(a-2)(a+l)=0且(a-2)(a+2)與a-2中至少有一個(gè)不為0時(shí)，方程組無(wú)解，故當(dāng)a=-1時(shí)，原方程

組無(wú)解；

(3)當(dāng)(a-2)(a+l)=(a-2)(n+2)=（a-2)=0,即a=2時(shí)，原方程組有無(wú)數(shù)組解．

11

例5提示：依題意可得(abcdef)4=1即abcdef=1，從而a4，故a，同理可得

42

111117

b,c,d2,e3,f4，那么(ace)(bdf)(3)(24)2

3424312

x7

例6(1)分別令a取兩個(gè)不同的值，可得到二元一次方程組，解出公共解為．

y3

(2)把(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0可變形為(x+2y-1)a-3x-5y+6=0．依題意可得

x2y10x7

,解得.

3x5y60y3

∴無(wú)論a取何值，這個(gè)公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解．

A級(jí)

x14

3x2

1.2.3.294.215．C6．B

19y1y

5

1

7．A提示：由已知得a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c)=0，故(a+b+c)2=0，于是ab+bc+ca(a2b2c2)，

2

1

則原式的值為．

2

x28.3x6.3

8.C提示：依題中方程組知解得

y11.2y2.2

161123

9.5提示：xk,yk．

13131313

x1

10.(1)

y1

7

x

311

(2)提示：設(shè)A，B.

11x12y1

y

6

x14x24x34x44

(3),,

y13y23y33y43

11.181提示：將各個(gè)方程相加得x1+x2+x3+x4+x5

＝31．

B級(jí)

x0xy10

1.提示：由a(x－y－1)－b(x＋y＋1)＝0知

y1xy10

2.10提示：3x－2y＋z＝2(2x＋y＋3z)－(x＋4y＋5z)＝2×23－36＝46－36＝10

6

3.－1，0，1，4提示：把y＝3x代入6x＋my＝18中得6x＋3my＝18,整理得x＝，又因?yàn)閤，

m2

y為自然數(shù)，故符合條件的m取值為－1，0，1，4。

4.2為任意有理數(shù)＝25＝2＝5

5.B

6.B提示：運(yùn)用奇數(shù)、偶數(shù)性質(zhì)分析。

2xy7x4

7.B提示：由得方程組的解為

3xy11y1

8.B提示：由條件得a＝－3b,c＝－2b,d＝－b

5511

x1x2x3x4

3333

2244

9.(1)yyyy

13233343

x－y

提示：當(dāng)xy0時(shí)，x＋y＝x＋y，當(dāng)xy0時(shí)，x＋y＝