數(shù)學(xué)（全國甲卷）（理科）（考試版A4）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（

）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)滿足,是的共軛復(fù)數(shù),則等于（

）A． B． C． D．3．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．直線與圓相交于A，B兩點，則“”是“”的（

）A．既不充分又不必要條件B．充分而不必要條件C．充分必要條件D．必要而不充分條件5．塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合發(fā)布《關(guān)于扎實推進污染物治理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（

）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A．20 B．16 C．12 D．76．杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力城市”為主題，全長8公里．從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種7．已知，，，，若存在非零實數(shù)使得，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．128．在三棱錐中，，，，平面平面，若三棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的半徑為（

）A． B．3 C． D．49．知實數(shù)a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．10．高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．202311．已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點，，點為它們在第一象限的交點，動點在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點的坐標為，則的最大值為（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，，當時，（且），且．則（

）A．28 B．32 C．36 D．40第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．已知等差數(shù)列前3項和，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差．14．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．15．已知點在拋物線上，為拋物線的焦點，圓與直線相交于兩點，與線段相交于點，且．若是線段上靠近的四等分點，則拋物線的方程為．16．法國數(shù)學(xué)家傅里葉用三角函數(shù)詮釋美妙音樂．代表任何周期性聲音和震動的函數(shù)表達式都是形如的簡單正弦型函數(shù)之和，這些正弦型函數(shù)各項的頻率是最低頻率的正整數(shù)倍（頻率是指單位時間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，是描述周期運動頻繁程度的量）．其中頻率最低的一項所代表的聲音稱為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3倍……例如，某小提琴演奏時發(fā)出聲音對應(yīng)的震動模型可以用如下函數(shù)表達：（其中自變量t表示時間），每一項從左至右依次稱為第一泛音、第二泛音、第三泛音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)（從左至右依次為第一泛音，第二泛音），其中所有正確結(jié)論的序號是.①的一個周期為；②的最大值為；③的圖象關(guān)于直線對稱；④在區(qū)間上有3個零點三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）為了解某一地區(qū)新能源電動汽車銷售情況，一機構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽車銷量（單位：萬臺）關(guān)于（年份）的線性回歸方程，且銷量的方差為，年份的方差為．(1)求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動汽車銷量與年份的線性相關(guān)性的強弱．(2)該機構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購買非電動汽車購買電動汽車總計男性39645女性301545總計692190依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為購買電動汽車與車主性別有關(guān)？(3)在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記這3人中男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．①參考數(shù)據(jù)：．②參考公式：線性回歸方程為，其中；相關(guān)系數(shù)，若，則可判斷與線性相關(guān)較強；，其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，若.(1)求角的大?。?2)若為上一點，，，求的最小值.19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．(1)求證：B，D，E，四點共面；(2)求二面角的余弦值．

20．（12分）已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實數(shù)a和b的值；(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點P．且點P在橢圓上，試探究梯形的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．21．（12分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22．（10分）在直角坐