黑龍江省龍東地區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

綜合檢測(cè)卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為分鐘，滿分分85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，則（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以,所以.故選：D.2.正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.1B.0C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.【詳解】,故選：A3.已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是第1頁(yè)/共18頁(yè)（）A.或B.或C.或D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式計(jì)算即可.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.故選：D4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)點(diǎn)再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，可得,x不為0，所以.第2頁(yè)/共18頁(yè)故選：D.5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)即可得到答案.【詳解】．故選：C．6.已知直線交圓C：于M，N兩點(diǎn)，則“為正三角形”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出圓的圓心及半徑后，結(jié)合正三角形的性質(zhì)可計(jì)算出當(dāng)為正三角形時(shí)的值，結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由C：可得其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，若為正三角形，則有，即，即，解得或，故“為正三角形”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為3時(shí)，（A.B.C.D.第3頁(yè)/共18頁(yè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，利用模長(zhǎng)公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】分別作，，垂足為，則．由，可得，所以．因?yàn)?，則即，故，故選：B．8.已知數(shù)列滿足：，（）.正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)于每個(gè)，，且，，成等比數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用數(shù)列的累乘法求得，再由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可得，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和.【詳解】（第4頁(yè)/共18頁(yè)可得，由，可得，可得，由，，成等比數(shù)列，可得，可得，則，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，等比數(shù)列，累乘法，數(shù)列求和，屬于中檔題.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列直線中，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過點(diǎn)的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】討論直線的斜率，結(jié)合方程聯(lián)立，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率存在且時(shí),設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得，令，解得，則直線的方程為；第5頁(yè)/共18頁(yè)當(dāng)時(shí),直線的方程為，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸,且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)不存在時(shí),直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為.故選：ABD10.已知數(shù)列，滿足，且，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，直接由已知得到，即可說明A錯(cuò)誤；對(duì)于B，證明，結(jié)合即可驗(yàn)證；對(duì)于C，說明即可；對(duì)于D，驗(yàn)證，再利用即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，由已知有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由于，且，故是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由，歸納即知.所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由于，故.所以，從而是遞增數(shù)列，故D正確.故選：BCD.已知三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E為中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.異面直線與所成的角的余弦值為C.與平面所成的角的正弦值為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD第6頁(yè)/共18頁(yè)【解析】【分析】對(duì)于A：取AC的中點(diǎn)F，連接PF,BF，證明出面，即可得到.對(duì)于B、C：先證明出，，.可以以P為原點(diǎn)，為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.D球.即可求解.【詳解】對(duì)于A：在三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2AC的中點(diǎn)FPF,BF.又，所以面，所以.故A正確.對(duì)于B：因?yàn)椋?所以面，所以，.在三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，所以.所以.可以以P為原點(diǎn)，為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.第7頁(yè)/共18頁(yè)則，，，，.所以,.設(shè)異面直線與所成的角為，則.即異面直線與所成的角的余弦值為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，.設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則,不妨設(shè)x=1，則.設(shè)與平面所成的角為，則.即與平面所成的角的正弦值為.故C正確.對(duì)于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.設(shè)其半徑為R，由正方體的外接球滿足,所以.第8頁(yè)/共18頁(yè)所以球的表面積為.故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知雙曲線的離心率為，則_________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線中的平方關(guān)系、離心率公式列出等式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意，從而雙曲線的離心率為，結(jié)合，解得滿足題意.故答案為：.13.已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，則=______．【答案】81【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求出進(jìn)而秋季即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，即，則解得或所以，解得，所以，故答案為：81第9頁(yè)/共18頁(yè)14.已知點(diǎn)列，其中，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，．記，則．______；______．【答案】①.##②.【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合題意可求出，從而可求出，再由以及等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與求和公式即可求出.【詳解】因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以，因?yàn)?，，所以，即，所以?shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以第10頁(yè)/共18頁(yè)，故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的遞推式化簡(jiǎn)變形得數(shù)列是以為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.【答案】（1）（2），【解析】1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）依題意可得，利用分組求和法計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，根據(jù)題意可得，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】第11頁(yè)/共18頁(yè)因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且關(guān)于x的方程，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的通項(xiàng)公式；（2的前n項(xiàng)和為對(duì)任意的的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】1）利用方程有等根可知判別式為0，求出，根據(jù)關(guān)系即可得出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，再分離參數(shù)后求解即可.【小問1詳解】由關(guān)于方程，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得，即，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，第12頁(yè)/共18頁(yè)，①，②得：，所以．又對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，故，因數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．所以實(shí)數(shù)最大值為3．17.已知三棱柱，側(cè)棱底面，底面是等邊三角形，是的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析第13頁(yè)/共18頁(yè)（2）【解析】1）首先根據(jù)題目所給信息，求出面，再利用線面垂直推出線線垂直即可求解.（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面與面的法向量，再利用向量求角的公式即可求解.【小問1詳解】∵底面為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，又面，∴，又，面，又面，∴．【小問2詳解】取中點(diǎn)，∴、、兩兩垂直．如下圖，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，∴，，，∴，∴，∴，∴設(shè)面的法向量為，∴，令，∴，同理面法向量，∴，∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．18.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為.（1）求的方程;第14頁(yè)/共18頁(yè)（2）過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）由題意得，求出，從而可求出橢圓方程；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式列方程可求出，從而可求出直線方程.【小問1詳解】依題意：，解得，所以E的方程為．【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，與題意不符，舍去；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立，消y得：，整理得：，，則，，第15頁(yè)/共18頁(yè)則，即，則，即，解得或，則直線l的方程為或．19.給定數(shù)列，若對(duì)任意m，且，是中項(xiàng)，則稱為“H數(shù)列”．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）若，試判斷數(shù)列是否為“H數(shù)列”，并說明理由；（2）設(shè)既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且，，，求公差d的所有可能值；（3）設(shè)是等差數(shù)列，且對(duì)任意，是中的項(xiàng)，求證：是“H數(shù)列”．【答案】（1）是“H數(shù)列”；理由見解析（2）1，2，3，6；（3）證明見解析【解析】1）根據(jù)“H數(shù)列”定義判斷即可.（2）由等差數(shù)列和“H數(shù)列”的定義得到公差的等式關(guān)系即可求解.（3）由等差數(shù)列的定義與求和公式，進(jìn)行分情況討論，即可證明是“H數(shù)列”.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，第16頁(yè)/共18頁(yè)當(dāng)時(shí)，也成立，所以，對(duì)任意m，且，，是“H數(shù)列”.【小問2詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，由已知得也為?shù)列中的項(xiàng)，令，即，所以，所以d為6正因數(shù)，故d的所有可能值為1，2，3，6.【小問