數(shù)學歸納法課件-高二下學期數(shù)學北師大版選擇性

*§5數(shù)學歸納法南陽市五中要點數(shù)學歸納法(1)概念：用來證明某些與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的一種方法．(2)步驟：①證明：當n取第一個值n0(n0是一個確定的正整數(shù)，如n0＝1或2等)時，命題成立；②假設當n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立，證明當n＝k＋1時，命題也成立．根據(jù)①②可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立．1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)推證n＝k＋1時可以不用n＝k時的假設．(

)(2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明．(

)(3)不管是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(

)(4)用數(shù)學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.(

)×××√

答案：D

3．用數(shù)學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的過程中，第二步n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1答案：D解析：因為將式子：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中n用k＋1替換得：當n＝k＋1時，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.故選D.

用數(shù)學歸納法證明等式的策略應用數(shù)學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結(jié)構，即：(1)n＝n0時，等式的結(jié)構．(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結(jié)構：n＝k＋1時的代數(shù)式比n＝k時的代數(shù)式增加(或減少)的項．這時一定要弄清三點：①代數(shù)式從哪一項(哪一個數(shù))開始，即第一項．②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律．③代數(shù)式中最后一項(最后一個數(shù))與n的關系．

用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1.(2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導過程中，一定要用歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法，因為缺少歸納假設．(3)用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小．對第二類形式往往要先對n取前k個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個k值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學歸納法證明．(4)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時成立，得n＝k＋1時成立，主要方法有比較法、放縮法等．

(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并且用數(shù)學歸納法證明你的猜想．

2．“歸納—猜想—證明”解決的主要問題(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項公式或前n項和．(2)由一些恒等式，不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在．(3)給出一些簡單命題(n＝1，2，3……)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題．提醒：①計算特例時，不僅僅是簡單的算數(shù)過程，有時要通過計算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律；②猜想必須準確，絕對不能猜錯，否則將徒勞無功．③如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關，一般用數(shù)學歸納法證明．跟蹤訓練3

設數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2n·an}的前n項和Sn.解析：(1)由題知，a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.證明如下：①當n＝1時，顯然成立．②假設當n＝k(k∈N＋)，ak＝2k＋1(k∈N＋)成立，則當n＝k＋1時，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，∴當n＝k＋1時也成立，由①②知an＝2n＋1，猜想成立．(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①從而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋