中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)考情分類專項(xiàng)復(fù)習(xí)第12講 反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用（全國版含答案）

第12講反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用

錄

考點(diǎn)三反比例系數(shù)k的幾何意義

一、考情分析

題型01一點(diǎn)一垂線

二、知識(shí)建構(gòu)題型02一點(diǎn)兩垂線

考點(diǎn)一反比例函數(shù)的相關(guān)概念

題型03兩點(diǎn)一垂線

題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系

題型04兩點(diǎn)兩垂線

題型判斷反比例函數(shù)

02題型05兩點(diǎn)和原點(diǎn)

題型03根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值

題型06兩曲一平行

考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

題型判斷反比例函數(shù)圖象

01題型01一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象綜

題型反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

02合

題型03已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式

題型02一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題

題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

題型03一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用

題型05由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值考點(diǎn)五反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限

題型01行程問題

題型已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取

07題型U2工程問題

值范圍

題型03物理問題

題型08已知反比例函數(shù)增減性，求k值

題型04分段問題

題型09由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小

題型05幾何問題

題型10求反比例函數(shù)解析式

題型11與反比例函數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究問題

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0000)

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

反比例函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都

反比例函數(shù)相

>理解與掌握反比例函數(shù)相關(guān)概念.會(huì)考，總分值為15分左右，?？伎键c(diǎn)為：反

關(guān)概念

比例函數(shù)圖象的性質(zhì)k的幾何意義、雙曲線

>能畫反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的

達(dá)式y(tǒng)=3也*0）探索并理解k>0和交點(diǎn)問題以及反比例函數(shù)的應(yīng)用與綜合題

反比例函數(shù)的

k<0時(shí)圖象的變化情況.等.其中前三個(gè)考點(diǎn)多以選擇、填空題的形

圖象與性質(zhì)

>能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表式出題，后三個(gè)考點(diǎn)則是基礎(chǔ)解答題以及壓

達(dá)式.軸題的形式出題.在填空題中，對(duì)反比例函

數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征考察的比較多，而且難度逐

反比例系數(shù)k的

>理解與掌握反比例系數(shù)k的幾何意義.漸增大，常結(jié)合其他規(guī)則幾何圖形的性質(zhì)一

幾何意義

起出題，多數(shù)題目的技巧性較強(qiáng)，復(fù)習(xí)中需

反比例函數(shù)與要多加注意.另外壓軸題中也常以反比例函

一次函數(shù)綜合數(shù)為背景，考察一些新定義類問題.

綜合反比例函數(shù)以上特點(diǎn)，考生在復(fù)習(xí)

反比例函數(shù)的

>能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題該考點(diǎn)時(shí)，需要準(zhǔn)備堂握其各性質(zhì)規(guī)律，并

實(shí)際應(yīng)用bl多注意其與幾何圖形結(jié)合題的思考探究.

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一般地，形如y二k/x（k為常數(shù)，kwO）的函數(shù)稱為反比例曲數(shù).

xy=k（k#0.xy*O）

反比例函數(shù)-------y=kx'1（k豐。）題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系

題型判斷反比例函數(shù)

的相關(guān)概念02

等號(hào)左邊星由數(shù)y,等號(hào)右邊星一個(gè)分式題型03根據(jù)反比例由數(shù)的定義求字母的值

特征匕0

分母中含有自變量x,目指激為1

反比例函數(shù)的匿象是雙曲線，它的圖象與X軸.y軸都

題型01判斷反比例函數(shù)圖象

題型02反比例由數(shù)點(diǎn)的生樂特征

反比例的數(shù)的使象既是，由對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱型形迪03已知反比例隹數(shù)圖僚，判斷其解析式

在每個(gè)象限內(nèi)，y題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

k>0一、三象眼隨x的增大而減小題型05由反比例函數(shù)圖象分右象限，求k值

\題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限

反反比例函數(shù)的靖在每個(gè)象跟內(nèi)，y題型07已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取值范圍

4Hk<0二、四象跟隨x的增大而增大

比圖象與性質(zhì)題型08已知反比例函數(shù)增減性，求k值

即型09由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小

例反比例函數(shù)的羽像關(guān)于直線y=±>：成軸對(duì)

對(duì)稱性稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.題型10求反比例函數(shù)解限

函題型11與反比例函數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究向即

雄定反比例函數(shù)解析式設(shè)、代、解、代

數(shù)

的

圖題型01一點(diǎn)一垂線

題型02一點(diǎn)兩垂線

象

題型03兩點(diǎn)一垂線

六種篌型（電難點(diǎn)I

性反比例系數(shù)k

遢型04兩點(diǎn)兩垂線

的幾何意義

質(zhì)皿05兩點(diǎn)和原點(diǎn)

遨型06兩曲一平行

及

應(yīng)

涉及自發(fā)量只需觀察一次函數(shù)的圖象與反比例兩數(shù)圖象的那

用

取信的圍分所對(duì)應(yīng)的x的挹國

k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)

一次函數(shù)匿象與反匕例函數(shù)圖象綜合

反比例函數(shù)與從圖象上看

k值導(dǎo)0,兩個(gè)函數(shù)可弄點(diǎn)點(diǎn)，施型一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問煦

一次函數(shù)綜合02

求一次函數(shù)與反比可有一個(gè)交點(diǎn)，可有兩個(gè)交點(diǎn)題型03一次函數(shù)與反比例函數(shù)紇合應(yīng)用

例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)

一次的數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取

決于兩函數(shù)所姐成的方程組的解的情

從計(jì)菖上看況

題生01行程問題

題里02工程問題

市、設(shè)、歹!I、寫、解題型03物理問甄

」反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

題型04分段問題

題生05幾何問題

考點(diǎn)一反比例函數(shù)的相關(guān)概念

.鋌JJ絳蝌知識(shí)梳理________

反比例函數(shù)的概念：一般地，形如y=：（上為常數(shù)，kw（D的函數(shù)稱為反比例函數(shù).反比例函數(shù)的解析式也可以

寫成xy=k（kWO、xyWO）、y=kx~r（kHO）的形式.

反比例函數(shù)解析式的特征：①等號(hào)左邊是函數(shù)y,等號(hào)右邊是一個(gè)分式；

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②k牛0；

③分母中含有自變量x,且指數(shù)為1.

易混易錯(cuò)

1.反比例函數(shù)y=：（kH0）的自變量》的取值為一切非零實(shí)數(shù)，函數(shù)y的取值是一切非零實(shí)數(shù).

2.反比例函數(shù)的表達(dá)式中，分子是不為零的常數(shù)k,分母不能是多項(xiàng)式，只能是x的一次單項(xiàng)式.

3.反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之枳是定值k.

題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系

【例1】（2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件“，要使杠桿平衡，作用在杠桿上

的兩個(gè)力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即?也1=芻42?如圖，鐵架臺(tái)左側(cè)鉤碼的個(gè)數(shù)與位置都不

變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側(cè)力廠與力臂上滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.反比例函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系

【變式1-1］（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）下面的三個(gè)問題中都有兩個(gè)變量:

①矩形的面積一定，一邊長(zhǎng)y與它的鄰邊代

②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積S與全村總?cè)丝谛?/p>

③汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時(shí)間￡.

其中，兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.??C.（2X3）D.①②③

【變式『2】（2022?北京海淀?北京市十一學(xué)校校考二模）右圖是一種古代計(jì)時(shí)裝置（稱為“漏刻”）的示意圖:

水從上面的貯水壺慢慢漏入下方的受水壺中，假設(shè)漏水量是均勻的，受水壺中的浮子和標(biāo)尺就會(huì)均勻升高,

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那么，就可以根據(jù)標(biāo)尺上的刻度來反映浮子的高度從而計(jì)時(shí).現(xiàn)向貯水壺內(nèi)注水，則在受水壺注滿水之前,

浮子的高度與對(duì)應(yīng)注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

D.無法確定

題型02判斷反比例函數(shù)

【例2】（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（）

A.?v=--XB.Jy=-/XC.-v=—x-lD.3x-v=2

【變式2-1］（2022?福建南平?統(tǒng)考一模）下面四個(gè)函數(shù)中，圖象為雙曲線的是（）

A.y=5xB.y=2x+3

C.y=（D.y=%2+2x+1

題型03根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值

【例3】（2022上.山東棗莊.九年級(jí)?？计谀┮阎瘮?shù)、=0+1）丫*-5是關(guān)于丫的反比例函數(shù).則帆的值

是.

【變式3-1］（2022?江蘇南京?校聯(lián)考一模）已知反比例函數(shù)），=，的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,3）、（〃［，〃），則〃的

值為.

【變式3-2］（2023?浙江杭州??？级＃┮阎c(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上，則租=—.

【變式3-3］（2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十七中學(xué)統(tǒng)考二模）如果反比例函數(shù)y=曰的圖象經(jīng)過點(diǎn)

X

（一2,1）,則女的值是（）

A.1B.-2C.-1D.3

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考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

.夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

一、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，它的圖象與X軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩

個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸.

圖象特征2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線y=±x,對(duì)稱中心為原

點(diǎn).

表達(dá)

/y=X-（k為常數(shù)，kHO）

式

441r

圖象

性k>0k<0

質(zhì)經(jīng)過一、三象限（x、y同號(hào)）二、四象限（x、y異號(hào)）

象限

增減在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

性

①圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（-a,-b）在雙曲線的另一支上；

對(duì)稱②圖象關(guān)于直線y=%對(duì)稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（b,a）在雙曲線的另一支上；

性③圖象關(guān)于直線y=一無對(duì)稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（-b,-a）在雙曲線的另一支上.

即：反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=±x成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

反比待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：

例函1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=：（k為常數(shù)，kWO）；

數(shù)解

2）把已知的一對(duì)x,y的值帶入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程：

析式3）解方程求出待定系數(shù)k：

的確4）將所求的k值代入所設(shè)解析式中.

定方【說明】由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐

法

標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式.

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易混易錯(cuò)

1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時(shí)，?定要有“在其每個(gè)象限內(nèi)”

這個(gè)前提.當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨X的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0

時(shí)，y隨x的增大而減小.同樣，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大.

2.反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性，都是由常數(shù)k的符號(hào)決定的，反過來，由雙曲線所在位置

和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)。

3.雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，一般不說兩個(gè)分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的

兩個(gè)分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）.

.提升?必考題型歸納

題型01判斷反比例函數(shù)圖象

【例1】（2022?黑龍江綏化??？既＃┊?dāng)長(zhǎng)方形的面積5是常數(shù)時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。與寬之間關(guān)系的函數(shù)圖

象是（）

【變式1T】（2O23?安徽亳州?統(tǒng)考三模）如圖，在△力BC中，/-BAC=20°,AB=AC=2,且始終保持NPAQ=

100°.設(shè)8P=%,CQ=yC）

【變式「2】（2023?河北滄州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中,BD是對(duì)角線,AE1BD,CFlBDt

垂足分別為￡、"，已知56=2,KZC/JF=^LEAF,設(shè)=%,DF=yf假設(shè)；v、），能組成函數(shù)，則），與x

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的函數(shù)的圖象為（）

【變式1-3］（2023?河南信陽?統(tǒng)考一模）參照學(xué)習(xí)函數(shù)y=2的過程與方法，探究函數(shù)丫=三（工工2）的圖象

XXN

與性質(zhì).

1357

X??.-2-10123456??

2222?

24424121

y=?..-1-2■421???

x3537253

212421

?..-1m-2-4■421???

％-2~2-3332

（2）請(qǐng)畫出函數(shù)y=X-Z02）的圖象；

（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當(dāng)“V2時(shí)，），隨x的增大而；（填“增大”或“減小”）

②:y=三的圖象是由y=?的圖象向平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的;

③圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.（填點(diǎn)的坐標(biāo)）

題型02反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【例2】（2023?廣西北海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)、=:圖象上的是（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,3）D.（-1,-2）

【變式2-1］（2023.福建寧德?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)點(diǎn)中，有三個(gè)點(diǎn)在同?反比例函數(shù)y==的圖象上,

**

則不在這個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（）A.（1,6）B.（-pl2）,C.（-2,-3）

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D?84)

【變式2-2］（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考一模）如圖，直線y=kx（k>0）與雙曲線y=￡交于4,8兩點(diǎn),若力（2,m）,

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A.（2,2）B.（-2,-1）C.（-2,-2）D.（-1,-4）

【變式2-3］（2019?吉林長(zhǎng)春?中考模擬）如圖，函數(shù)），=ja>0）、y=：（x>0）的圖象將第一象限分成了A、

8、C三個(gè)部分.下列各點(diǎn)中，在B部分的是（）

A.(1,1)B.(2,4)C.(3,1)D.(4,3)

【變式2-4］（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）已知正比例函數(shù)、=QX（。為常數(shù)，QX0）與反比例函數(shù)y=?的

圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【變式2-5］（2022?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知直線y=2%與雙曲線y=（相交于A,6兩點(diǎn).若點(diǎn)八（2,血），

則點(diǎn)4的坐標(biāo)是.

【變式2-6］（2022?陜西西安?交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）己知直線產(chǎn)匕與雙曲線廣^的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)是2,則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是—.

題型03已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式

【例3】（2023?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，下列解析式能表示圖中變量％,y之間關(guān)系的是（）

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A.y=七B.|y|=iC,y=-^D.|y|=-^

【變式3-1］（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（Q,b）,若Q歷>0,則稱點(diǎn)尸為“同號(hào)

點(diǎn)若某函數(shù)圖象上不存在“同號(hào)點(diǎn)”，其函數(shù)表達(dá)式可以是.

題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

【例4】（2023?山西晉城?統(tǒng)考一模）已知反比例函數(shù)y=—（則下列描述正確的是（）

A.圖象位于第一、三象限

B.），隨x的增大而增大

C.圖象不可能與坐標(biāo)軸相交

D.圖象必經(jīng)過點(diǎn)%

【變式4-1］（2022?江西九江?校考二模）關(guān)于反比例函數(shù)y=：（k￥0）的圖象與性質(zhì)，下列結(jié)論中不正確的

是（）

A.該函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，乂是中心對(duì)稱圖形

B.當(dāng)k<0時(shí)，該函數(shù)的圖象在第二、四象限

C.該函數(shù)的圖象與直線y=kx+b有且只有兩個(gè)交點(diǎn)

D.當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨匯的增大而減小

題型05由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值

【例5】（2023?貴州貴陽??？家荒＃┓幢壤瘮?shù)y=（（k手0）的圖象如圖所示，貝抹的值可能是（）

A.5B.12C.-5D.-12

【變式5-1］（2023?河北滄州?統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=：（kKO）的圖象如圖所示,

則太的值可能是（）

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D.5

題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限

【例6】（2023?湖南郴州?模擬預(yù)測(cè)）已知反比例函數(shù)y（后0）,當(dāng)2Vo時(shí)，力<力，則它的圖象

一定在（）

A.一，三象限B.二，四象限C.一，二象限D(zhuǎn).三，四象限

【變式6-1］（2023?湖南永州?統(tǒng)考二模）當(dāng)k>2時(shí)，反比例函數(shù)y=—的圖象位于（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

題型07已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取值范圍

【例7】（2022?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測(cè)）反比例函數(shù)y=.的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，y隨匯的增大而增大，

則a的取值范圍是（）

A.aN—3B.Q>—3C.a￡-3D.aV—3

【變式7-1］（2022.湖北武漢??？寄M預(yù)測(cè)）在反比例函數(shù)、=等圖象上有兩點(diǎn)4（%,%）,雙八,為），71<

0<y2,xx>x2,則有（）

1111

A.m<——B.m>——C.m>——D.m<——

3333

【變式7-2］（2023?湖北武漢?統(tǒng)考三模）若點(diǎn)（血-1,%）和（加+Ly2）在y=2>0）的圖象匕若%>y2,

則m的取值范圍是（）

A.m>1或m<—1B.-1<m<1

C.-1<m<?；?VmV1D.mH±1

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【變式7-31（2022上?陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）若反比例函數(shù)y=三在每個(gè)象限內(nèi),y隨工的增大而減小，

則A的值可能是（）

A.一1B.0C.1D.1

題型08已知反比例函數(shù)增減性，求k值

【例8】（2023?安徽蕪湖?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)yi=§,%=—§（〃>0），當(dāng)1工工工3時(shí)，函數(shù)兒的最大值為

a,函數(shù)的最小值為Q-4,則4=_.

【變式8-1］（2023?陜西咸陽?二模）己知反比例函數(shù)y=：（kH0）的圖象在每個(gè)象限內(nèi)y隨工的增大而增大,

且當(dāng)1<%<3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4,則k的值為.

【變式8-2］已知反比例函數(shù)y=：（k。。），當(dāng)14%43時(shí)，y的最大值與最小值之差是4,則攵=.

題型09由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小

【例9】（2023?廣東東莞?校聯(lián)考一模）若點(diǎn)力（一2,%）、8（-1,力）、C（l/3）都在反比例函數(shù)丫=手（因?yàn)槌?/p>

數(shù)）的圖象上，則力、加、為的大小關(guān)系為（）

A.y1<y2<y3B.y2<y3<為c.y2<yi<y3D.y3<yi<力

【變式9T】（2023?廣東湛江?統(tǒng)考三模）若點(diǎn)4ai，yj、S（x2?力）、。（巧，乃）是反比例函數(shù)y=-?圖象

上的點(diǎn)，且%則了1、力、力的大小關(guān)系是（）

A.必<y2<門B-V*<y?.<必C.%<治<當(dāng)D.為<必vy?

【變式9-2］（2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知力（與,為"（如丫2）在反比例函數(shù)y=?的圖象上，/<0<

不，且Ml>|%2l，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.%+力>0B.yi-y2>0C.%+y2VoD.yi-y2>0

【變式9-3］（2022?河北邯鄲??？既＃┮阎幢壤瘮?shù)y=￡的圖象在第一、第三象限內(nèi)，設(shè)函數(shù)圖象上

有兩點(diǎn)力（%1，%）、8（%2，及），若與<%2,則Yi與，2的大小關(guān)系是（）

A.%>y2B.yi<y2C.yi=y2D.不能確定

【變式9-4］（2023?湖北武漢?統(tǒng)考二模）已知4（右,力），8（%2，丫2），。（右，丫3），為雙曲線y=—：上的三個(gè)點(diǎn),

且均<x2<x3,則以下判斷正確的是（

A.若>。，則y2y3>0B.若%i%2<。，則<o

c.若<°，則y2y3>oD.若>0,則y2y3<o

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題型10求反比例函數(shù)解析式

【例10】（2023?陜西商洛?統(tǒng)考二模）已知與8（2,P-3）是反比例函數(shù)y=:圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則k

的值為.

【變式10-1】（2022?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若反比例函數(shù)y二:的圖象過點(diǎn)（一2,。）、（2,匕），且。一匕二一6,

則A=.

【變式10-2】（2023?廣東廣州??？家荒＃┓幢壤瘮?shù)y=5的圖象上有一點(diǎn)：P（a,b）,且a、〃是方程d一七一

2=。的兩根，則k=_.

【變式10-3]（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）反比例函數(shù)y=：（k*0）的圖象經(jīng)過（a,2）,

（a+1,1）、（瓦6）三點(diǎn),則b的值為.

【變式10-4】（2022.湖北省直轄縣級(jí)單位.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=-%+3與y軸交于點(diǎn)A,與反比例

函數(shù)y=￡（kH0）的圖象交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作C81%軸于點(diǎn)B,40=38。，求反比例函數(shù)的解析式.

題型11與反比例函數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究問題

【例11]（2022?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形。力匕8的頂點(diǎn)A、8分別

在/軸、y軸上，點(diǎn)Pi在反比例函數(shù)y=：（%>0）的圖象上，過P①的中點(diǎn)％作矩形與A41P2，使頂點(diǎn)。2落在

反比例函數(shù)的圖象上，再過P2&的中點(diǎn)々作矩形遇2P3,使頂點(diǎn)P3落在反比例函數(shù)的圖象上，…，依此

規(guī)律可得：

（1）點(diǎn)22的坐標(biāo)為

（2）作出矩形為847418P19時(shí)，落在反比例函數(shù)圖象上的頂點(diǎn)P19的坐標(biāo)為—.

【變式11-11（20231二?湖南?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在反比例函數(shù)y=￡的圖象上有4（2,加）、8兩點(diǎn)，

連接力8,過這兩點(diǎn)分別作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C、Q,已知8。="。，點(diǎn)Fi是的中點(diǎn)，連接力居、BF],

得到△力08；點(diǎn)尸2是。&的中點(diǎn)，連接力尸2、BF2,得到△力尸2&……按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，則△力吊B的

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面積為.（用含正整數(shù)〃的式子表示）

【變式11-2】（2021上?四川成都?九年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱

為整點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)的整點(diǎn)稱為邊整點(diǎn)，如圖，第一個(gè)正方形有4個(gè)邊整點(diǎn)，第二個(gè)正方形有8個(gè)邊整點(diǎn)，

第三個(gè)正方形有12個(gè)邊整點(diǎn)…按此規(guī)律繼續(xù)作下去，若從內(nèi)向外共作了5個(gè)這樣的正方形，那么其邊整點(diǎn)

的個(gè)數(shù)共有一個(gè)，這些邊整點(diǎn)落在函數(shù)y=1的圖象上的概率是

【變式11-3】（2020上.安徽.九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等邊三角形△。。1邑，AERE2,A%//，…

的邊0邑，E[E2,E2E3…，在工軸上，頂點(diǎn)為，。2,。3…，在反比例函數(shù)y=#的圖象上.

（1）第1個(gè)等邊三角形△。。送1的周長(zhǎng)G=；第2個(gè)等邊三角形△均外々的周長(zhǎng)Q=；第3

個(gè)等邊三角形△%出七3的周長(zhǎng)。3=；…；

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（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，猜想第八（九是正整數(shù)）個(gè)等邊三角形的周長(zhǎng):

（3）計(jì)算：C]+Q+。3+,,,+。10?

【變式11-4】（2023?江蘇徐州??？既＃┤鐖D，在x軸的正半軸上依次截取。&=4力2=力243,過點(diǎn)4,

A2,心，分別作X軸的垂線與反比例函數(shù)y=：（無＞0）的圖象相交于點(diǎn)P1，。2，打，得△。匕&，△4$242,

△&P3A3,并設(shè)其面積分別為S],S2,S3,以此類推，貝心2024的值為（）

1012C短D?福

考點(diǎn)三反比例系數(shù)k的幾何意義

.夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理_______

一、一點(diǎn)一垂線

【模型結(jié)論】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、與另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)（含原點(diǎn)）圍成的三角形面

積為浙I.

【拓展一】【拓展二】【拓展三】（前提：OA=AC）

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結(jié)論：SAAOB=SACODSAAOE=S四邊形CEBDSAAOC=|^|

二、一點(diǎn)兩垂線

【模型結(jié)論】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線圍成的矩形面枳為死|.

【拓展二】【拓展三】

結(jié)論：S矩形ABOE二S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS口ABCD=|k|

三、兩點(diǎn)一垂線

【模型結(jié)論一】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|,

B

結(jié)論：SAABC=2SAABO=|/^|

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【模型結(jié)論二】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，等于坐標(biāo)軸所分

的兩個(gè)三角形面積之和.

如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=：交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C,

貝SZXAOB=SAAOC+SAROC=1CO*|yA||yB|=|co(IyAI+1YBI)

乙乙乙

如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=5交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C,

貝！JSAAOB=SAAOC+SABOC^CO*|XAI+-C0*|XB|CO(|XA|+XB|)

乙乙乙

四、兩點(diǎn)兩垂線

【模型結(jié)論】反比例函數(shù)與止比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等J--2|k|

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方法一：SAAOB=SACOD-SAACC-SzXBOD.【分割】

方法二：作AE±x軸于點(diǎn)E,交0B于點(diǎn)M,BF±x軸于點(diǎn)F,而SAOAM=S四邊形MEFB,則SAAOB=S直角

梯形AEFB.

方法三：SAAOB~S四邊形COFD-SAAOC-SABOF.【補(bǔ)形】

方法四：SAAOB=SAAOD-SABGD=10D*(YAI-IYBI)

-

方法五：SAAOB-SABOC-SAACC~^06*(XB||xA|)

【拓展】

方法一：當(dāng)AD/AC（或BD/BF）=m時(shí)，則S四邊形OADB=m|k|.

方法二：作AEJ_x軸于E,則SAOAB=S直角梯形AEFB（類型一）.

六、兩曲一平行

【模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解.

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結(jié)論：S陰影=|kl|—|k2|S陰影=|klHk2|-S直角梯形AFDE

類型二兩條雙曲線的k值符號(hào)相同

結(jié)論：SAAOB=SAACB=1(kl|+|k2|)S陰影=|kl+|k21

.提升?必考題型歸納

以下題型均包括兩種類型：已知比例系數(shù)求特殊圖形面積、以及圖形面積求比例系數(shù)

題型01一點(diǎn)一垂線

【例1】如圖，A是反比例函數(shù)y=￡的圖象上一點(diǎn)，力Bly軸于以點(diǎn)C在x軸上，若而枳為2,則

A.-4B.1C.2D.4

【變式（2023?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等腰直角「角形。A8的斜邊在不軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)力在

反比例函數(shù)y=4（%〈0）的圖象上，△AOS的面積為4,則k的值為（）

X

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C.-4D.4

【變式『2】（2022上?江西南昌?九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）若圖中反比例函數(shù)的表達(dá)式均為

"%則陰影部分面積為2的是（）

【變式「3】（2022?福建福州?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在y=g的圖象上有兩點(diǎn)4、C,過這兩點(diǎn)分別向x軸引

【變式（2023?廣西北海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，Pi（-1,4）、Pz（-2,2）、是雙曲線上的三點(diǎn)，過

這三點(diǎn)分別作y軸的垂線,得到三個(gè)三角形△Pi&。、AP2A2。、AP34。、設(shè)它們的面積分別是&、S2、S3,

則S1、52、S3的大小關(guān)系為（）

A.=S2=S3B.S]=S3<S2C.S2>S3>SxD.無法確定

【變式1-5]（2020?吉林四平?統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)y=：（x>0）和y=：（x>0）的圖象將笫一象限分成

第20頁共154頁

三個(gè)區(qū)域，點(diǎn)M是②區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，MN_Lx軸于點(diǎn)N,則AMON的面積可能是（）

A.0.5.