中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題18 絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的八大經(jīng)典題型（舉一反三）（滬科版）（解析版）

專題L8絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的八大經(jīng)典題型

【滬科版】

?題型梳理

【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值】............................................................1

【題型2利用絕對(duì)值的非負(fù)性求值】..............................................................3

【題型3根據(jù)字母的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值】........................................................4

【題型4利用絕對(duì)值的定義判斷正誤】............................................................6

【題型5利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】......................................................8

【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論高問題】.....................................................10

|a|

【題型7分類討論多絕對(duì)值問題】................................................................13

【題型8絕對(duì)值中最值問題】....................................................................15

，舉一反三

【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值】

【例1】（2023春?江蘇常州?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D表示在數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)p,q,r,s位置關(guān)系,若|p?r|=10,

|p-s|=12,|q-s|=9,則|q-r|=（）

Pqr3

A.7B.9C.11D.13

【答案】A

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,將|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而可得q、r兩點(diǎn)間

的距離，即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，

rh|p-r|=10.|p-s|=12.|q-s|=9可得

p、r兩點(diǎn)間的距離為10，p、s兩點(diǎn)間的距離為12,q、s兩點(diǎn)間的距離為9,

則q、「兩點(diǎn)間的距離為10+9-12=7,

即|q-r|=7,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的幾何意義，|a-b|即兩實(shí)數(shù)a、b表示兩個(gè)點(diǎn)間的距離.

【變式1-1］（2023春?山東威海?/'、年級(jí)校聯(lián)考期中）有理數(shù)a、b,在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+b|十

匕|-|。一切的結(jié)果為()

I|aI■、

C-1ao1b

A.-aB.aC.a+2cD.-a-2c

【答案】B

【分析】由數(shù)軸可知—1<QVO/>1,C<—I,|c|>|b|,然后進(jìn)行去絕對(duì)值，進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：-1<a<U,b>l,c<-1,?>網(wǎng)，

G+/?>0,c—b<0,

/.\a+b\+\c\—\c-b\=a+b-c+c—b=a；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對(duì)值，熟練掌握數(shù)軸、絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2】(2023春?陜西西安?七年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))化簡(jiǎn)：|x-2|-|x+l|+|x-4|.

7—x,x<—1

5-3”,-1<x<2

【答案】［%-2|-|%+1|+|%-4|=

1-x,2<x<4

x—7,%>4

【詳解】試題分析：要去掉絕對(duì)值符號(hào)，需知絕對(duì)值中式子的符號(hào)，x的取值是有理數(shù)范圍內(nèi)任一數(shù)，所以

要對(duì)X的取值分情況討論，再去絕對(duì)值符號(hào).

試題解析：

①當(dāng)文<一1時(shí)，原式=(2-%)-(-%-1)+(4-%)=7-x

②當(dāng)一1<x<2lM，原式=(2-A)-(x+1)+(4-x)=5-3x

③當(dāng)2WxV4時(shí)，原式=(%-2)-(x+1)+(4-x)=1-x

④當(dāng)%>4時(shí)，原式=(%-2)-(^4-1)+(%-4)=x-7

7—x,x<—1

51-^,2<1<42

(x-7,x>4

【變式1-3](2023春.仝國(guó)，七年級(jí)期末)已知|a|+a=0,3=一1,?=c,化簡(jiǎn)：\+2b\-\c-a\+

ua

\—b-a|=.

【答案】-a-3b-c

【分析】先確定a、b、c的正負(fù)，然后再去絕對(duì)值，最后化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】解：??,|a|+Q=0,粵=-l,|c|=c,

b

/.a<0,b<0?c>0

/.a+2b<0,c-a>0,-b-a>0

/.|a+2b\—|c—a|+\—b—a\=-(a+2b)-(c-a)+(-b-a)=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c

故答案為?a-3b?c.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)，牢記非負(fù)數(shù)得絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值為其相反數(shù)，是解答

本題的關(guān)鍵.

【題型2利用絕對(duì)值的非負(fù)性求值】

【例2】(2023春?天津和平七年級(jí)天津二十中?？计谥?若有理數(shù)x、y滿足⑶=3,|y+1|=4,且+y|二

-(x+y),求+的值.

【答案】6或8.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)解得x,y的值，分情況討論得出符合條件的x,y的值，即可解..

【詳解】???田=3,|y+l|=4,

Ax—3或—3,y—3或—5,

①當(dāng)％=3,y=3時(shí)，+y|=6H-(x+y)=-6(舍去)，

②當(dāng)x=3,y=-5時(shí)，\x+y\=2=-(-x+y)=2,

|x|+|y|=8

③當(dāng)％=-3,y=3時(shí)，+y|=0=-(%+y)=0,

田+僅1=6.

④當(dāng)％=-3,y=-5時(shí)，+y|=8=—(x+y)=8,

KI+|y|=8.

則②3④滿足，則|x|+|y|=6或8.

【變式2-1](2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知(a+1)2+|力+5|=6+5,且|24一〃一1|=1,則岫=.

【答案】2或4.

【詳解】解：根據(jù)平方數(shù)是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得:|什1|沙,|什5|加，???(。+1)2+步+5|=b

+5,.\/?+5>0,:.(a+l)2+人+5=〃+5,:.(?+1)2=0,解得〃=一],b>-5,加一人一1|=1,.\|-2

T—1|=L/.|/?+3|=1>/./?+3=±1,，方=—4或。=-2,???當(dāng)o=-1,/?=—2時(shí)，ab=2；

當(dāng)。=-1,b=-4時(shí)，ab=4.

故答案為2或4.

點(diǎn)睹：本題主要考查了絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，偶次方是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意列出等式是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023春?重慶?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))已知A,y均為整數(shù)，且田?卅工-3|=1,則工+)，的值為一.

絕對(duì)值是其相反數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）已知有理數(shù)。<一1,則化簡(jiǎn)|。+1|+|1-。|的結(jié)果是.

【答案】-2a

【分析】先根據(jù)已知條件判斷每個(gè)絕對(duì)值里邊的代數(shù)式的值是大于。還是小于0,再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉

絕對(duì)值符號(hào)，最后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】,：a<-1,

KO,1-?>0,

|Q+11+11-a|

二（-々-1）+（1-a）

=~a-1+1-a

=-2a,

故答案為；-2a.

【點(diǎn)睛】本題考杳了絕對(duì)值和相反數(shù)的性質(zhì)，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，。的絕

對(duì)值還是0,掌握以上知識(shí)是解懣的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2023春?上海?六年級(jí)專題練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a,b,c,|a|+a=0,\ab\=ab,|c|-c=O,

化簡(jiǎn)|b|—|a+b|一|c-b\+\a-c\.

【答案】h

【分析】根據(jù)“一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值它的相反數(shù)”化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

V|a|+a=0,\ab\=ab1|c|—c=0?

<0,bV0,c>0,

a+b<0,c—b>0,a—c<0,

/.原式=-b+a+b—c+b—a+c=b.

【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的加減計(jì)算，熟練掌握所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式3-3]（2023春?河南新鄉(xiāng),七年級(jí)?？计谥校┘褐?，同=?。，霍=一1，|c|=c，化簡(jiǎn)

-d=?

【答案】-2c

【分析】根據(jù)已知的等式判斷出4、A、C的正負(fù)，進(jìn)而確定出"仄4-C、人-C的正負(fù)，再利用絕對(duì)值的代

數(shù)意義化簡(jiǎn)，即可求解.

【詳解】解：=-a,y=-L\c\=c,

???〃為非正數(shù)，〃為負(fù)數(shù)，c為非負(fù)數(shù)，

?'?a+bVO,a-c<0,b-c<0?

原式=-a-b+a-c+b-c=-2c,

故答案為：-2c.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義進(jìn)行化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握絕對(duì)值的代數(shù)意義是解答本題的關(guān)

鍵.

【題型4利用絕對(duì)值的定義判斷正誤】

【例4】（2023春?湖北宜昌?七年級(jí)枝江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤绻鸔+b+c=O,且|c|>|b|>|a|.則下

列說法中可能成立的是（）

A.a、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)B.a、c為正數(shù)，力為負(fù)數(shù)C.b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù)D.a、

c為正數(shù)，b為0

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法，一對(duì)相反數(shù)的和為0,可得a、b、c中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，

又|c|>網(wǎng)>|a|,那么|c|=|b|+|a|,進(jìn)而得出可能存在的情況.

【詳解】解：0**a+b4-c=0,

???。、b、c中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，

???|c|>\b\>\a\,

???kl=\b\4-|a|,

???可能a、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)；也可能a、b為負(fù)數(shù),c為正數(shù).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對(duì)值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1】（2023春泗川甘孜?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)小人，。在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.

IIII一

b0（7c

給出下列結(jié)論：①Q(mào)+b+（―c）>0：②（―Q）—b+c>0；（3）p-+3a=1；④be-a>0：⑤|a-b\—

|a|c|

\c+b\+\a+c\=-2b.其中，正確的是.（填序號(hào)）

【答案】②③

【分析】根據(jù)有理數(shù)。、從c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置和絕對(duì)值的意義逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知,Z?<0<a<c,\a\<\b\<\c\,

**?a+(-c)<0,(-a)—b>0,

+b+(—c)<0,(—a)—b+c>0

故①不正確，②正確，

%=1，^=T后=1，

端+*百=1+(T)+1=K

故③正確，

*.*fc<0<a<c

:?匕c<0,

/.tc—a<0?

故④不正確，

*/1<0<a<c,|a|<\b\<|c|,

.\\a-b\-\c+b\+\a+c\=a-b-c-b+a+c=2a-2bf

故⑤不正確，

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值，解決本題的關(guān)健是掌握絕對(duì)值的意義.

【變式4-2］(2023春.湖北省直轄縣級(jí)單位.七年級(jí)?？茧A段練習(xí))已如〃、〃為有理數(shù)，卜.列說法:

①若4、〃互為相反數(shù)，則￡=1；

D

②若a+b<0,ab>0,則|3〃+4〃|=-3a-4b；

③若一例+a?b=0,則b>a；

④若同>|加，則(a+b)?(a-b)是負(fù)數(shù).

其中錯(cuò)誤的是—(填寫序號(hào)).

［答案］???

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；

【詳解】解：若4=/?=0,則生殳有意義，故①符合題意；

b

Ta+bVO,ab>0,

Ad<0,bVO,

???3ai4)V0,

.*.\3a+4h\=-3a-4b,故②不符合題意；

V\a-b\+a-b=0,

/.\a-b\=b-a,

???(￡〃，故③符合題意；

若〃=-2,b=\,

(a+b)?(?-/?)=(-i)x(-3)=3>0,故④符合題意；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)加法、乘法和除法法則，以及絕對(duì)值法則，掌握這些法則是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春?湖北咸寧?七年級(jí)校聯(lián)考期中)已知為有理數(shù)，且Q<0,Qb<0,Q+b<0,則

下列結(jié)論：①b(Q+6)>0；②|a|>|b|；?a<-b<h<-a；?|a-b\-\a+b\-2\b\=0.其中正

確結(jié)論的序號(hào)是—.(把正確結(jié)論的序號(hào)都填.卜.)

【答案]@@@

【分析】根據(jù)aV0，abV0,a+b<0得b>0,—a>0,從而得6(a+b)<0,|a|>\b\,—b<0,a—b<

0,進(jìn)而判斷各項(xiàng)結(jié)論.

【詳解】解：:a<0,abvO,a+b<0,

：.b>0,-a>0,

??hCa+b)<0,|a|>\b\,-b<0,a-bvO,故①錯(cuò)誤，②正確，

/.a<—b<b<—a,\a-b\—\a+b\-2\b\=b-a+a+b-2/?=0,故③④正確，

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的比較大小，綜合有理數(shù)的絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法

是解題的關(guān)鍵.

【題型5利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】

【例5】(2023春?七年級(jí)單元測(cè)試)當(dāng)〃取什么范圍時(shí)，關(guān)于工的方程以-4|+2卜-2|+卜-1|+團(tuán)=〃總有解？

()

A.a>4.5B.a>5C.a>5.5D.a>()

【答案】B

【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-l|+|x|,根據(jù)x的范圍分情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，可求得yN5,再結(jié)合題意即可確定

a的范圍.

【詳解】令y=|x-4|+2k-2|+lx-l|+|x|,

當(dāng).心4時(shí)，y=5x-9>ll,

當(dāng)2Vx<4時(shí),y=3x-1,

當(dāng)I人2時(shí)，），=-x+7,

A5<><6；

當(dāng)0<xVI時(shí)，y=-3x+9,

.,.6<y<9；

當(dāng)爛（）時(shí)，y=-5A+9,

???.心9：

綜上所述，龍5,

???生5時(shí)等式恒有解.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)；通過構(gòu)造函數(shù)，將等式問題轉(zhuǎn)叱為函數(shù)問題解題是關(guān)鍵

【變式5-1］（2023春?四川資陽(yáng)?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知|5x-2|=2-5x,則x的范圍是（）

A.x>1B.x<lC.x>1D.x<7

2555

【答案】D

【分析】根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是?？傻贸龃鸢?

【詳解】解：?；|5x-2|=2-5x,

：.5x-2<0,

解得：

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，理解正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕

對(duì)值等于0是解決問題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023春?重慶?七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀?shù)〃在數(shù)軸上對(duì)?應(yīng)點(diǎn)位置如圖，若數(shù)〃滿

足后間，則b的值不可能是（）

????一

-2-101234

A.-1B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸得到⑷V2,根據(jù)題意解答即可

【詳解】由數(shù)軸可知，Ml<2

Vfc<|a|,

：,b<2,

二b可以是—1,1,0不可能是2,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的概念、絕對(duì)值的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸確定|a|的范圍是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023春.山東濟(jì)南?七年級(jí)校聯(lián)考期中）若|x?2+3?2x|=|x-2|+|3-2x|成立,則x的范圍是

【答案】,工工42

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得｛（二或｛;［（官），解天等式組即可求解.

【詳解】V|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|,

?f%—2<0成（X—2>0

eel3-2x<0I，Zt3-2x>0，

解得曰<x<2.

故x的范圍是;<x<2.

故答案為群x<2.

【點(diǎn)睛】考查了絕對(duì)值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是

正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a；③當(dāng)a是零時(shí)，a

的絕對(duì)值是零.

【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論總問題】

【例6】（2023春.全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）己知”，力，。為有理數(shù)，且a+b+c=0,abcV0,則言+卷+白的

⑷聞|c|

值為（）

A.1B.-1或一3C.1或一3D.-1或3

【答案】A

【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘法法則推出：要使三個(gè)數(shù)的乘積為負(fù)，a,b,。中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)，進(jìn)而可將

b,c的符號(hào)分兩種情況：1負(fù)2正或3負(fù)；再根據(jù)加法法則：要使三個(gè)數(shù)的和為。，a,b,c的符號(hào)只能為

1負(fù)2正，然后化簡(jiǎn)即得.

（詳解】,:abc<0

???a,b,c中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)

???a，b,c的符號(hào)可以為：1負(fù)2正或3負(fù)

:a+b+c=0

??ch〃，c的符號(hào)為1負(fù)2正

令a<0,b>0,c>0

|a|=—a,\b\=|c|=c

?三+小A=T+I+I=I

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、乘法法則及加法法則，利用加法法則和乘法法則確定數(shù)的符號(hào)是解題關(guān)

鍵.

【變式6-1］（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）有理數(shù)小〃，。均不為0.且a+b+c=0,設(shè)x=獸+電+」工，則

b+cc+aa+b

代數(shù)式-21x+2010的值是（）

A.2010B.1990C.2030或1990D.2010或1990

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得a，b,4?中不能全同號(hào)，必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)，a=-（力+e）,h=-（.c+a）,<?=-（a+h）,

則可得普，電，與的值為兩個(gè)+1，一個(gè)-1或兩個(gè)-1,一個(gè)+1,即可求得x的值，代入即可求得答案.

b+cc+aa+b

【詳解】解：由。，b,c均不為0,知。+c,c+a,a+Z?均不為0,

Va+b+c=0,

/.a=-（b+c）,b=-（c+a）,c=-（a+b）,

又a,乩c,中不能全同號(hào)，故必一正二負(fù)或一負(fù)二正,

???粵，里，粵中必有兩個(gè)同號(hào)，另一個(gè)符號(hào)相反，

b+cc+aa+b

即其值為兩個(gè)+1,一個(gè)-1或兩個(gè)-1,一個(gè)+1,

+電+4二±1,

b+cc+aa+b

：.x21-21x+2010=121-21+2010=1990,

或-21x4-2010=(-1)21-21x(-1)+2010=2030,

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，注意分類討論思想的應(yīng)用.能得到獸，電，粵的值為兩個(gè)+1,一個(gè)-1或

b+cc+aa+b

兩個(gè)-1,一個(gè)+1是解此題的關(guān)鍵，要注意仔細(xì)分析，難度適中.

【變式6-2](2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí))已知有理數(shù)a、b、c、d滿足陪^=-1,求言+白+卷+3的

\abcd\|a|網(wǎng)|c||d|

值.

【答案】2或一2

【分析】根據(jù)%=-1,得到小b,C,d中負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè)，然后分情況求解即可.

\abcd\

【詳解】解：根據(jù)端二一1,得到小b,c,4中負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)為I個(gè)或3個(gè)，

\abcd\

則原式=-14-1+1+1=2或-1-1-1+1=-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握絕對(duì)值的意義結(jié)合分類討論的思想解題

是關(guān)鍵.

【變式6?3](2023春?四川內(nèi)江?七年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥?已知勺,不，的，…“202】都是不

等于0的有理數(shù)，若%=電，求力的值.

xi

解：當(dāng)％]>0時(shí)，y=—=—=1,當(dāng)必<0時(shí)，y,=—=—=-1,所以=±1

1xixixixi

(1)若、2=兇+國(guó)，則丫2的值為______；

X】x2

(2)若乃=聞+四+四，則%的值為______;

X】x2x3

(3)由以上探究猜想，y2i=—+—+—+-+共有個(gè)不同的值.

20X1x2x3x202l

(4)應(yīng)用：如果a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=0,邢臺(tái)+9的所有可能的值為______?

同\b\|c|label

[答案]⑴±2或0

⑵±1或±3

(3)2022

(4)0

【分析】(I)由題意可得兇=±1,四=±1,再求解即可；

X1x2

(2)由題意可得應(yīng)=±L國(guó)=±1,國(guó)=±1,再求解即可;

XiX2x3

（3）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律：力021有2022個(gè)值，最大值2021,最小值為-2021,再求解即可；

（4）根據(jù)正負(fù)性去絕對(duì)值計(jì)算即可，注意分類討論.

【詳解】（1）解：同=±1,幽=±1,

X\X2

...），2=回+四=±2或0,

故答案為：±2或0；

（2）解：兇=±1,囪=±1,兇=±1,

MX2x3

），3=師+國(guó)+同=±1或±3，

X1X2x3

故答案為:±1或±3；

（3）解：由（1）（2）可知，yi有2個(gè)值，丫2有3個(gè)值，內(nèi)有4個(gè)值，

???。2021有2022個(gè)值,最大值2021,最小值為一2021,

故答案為：2022.

（4）解：??力、。、c是非零實(shí)數(shù)，且Q+匕+c=0,

???〃、仇c是兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)或一個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，

當(dāng)“、b、c?是兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，abcvO,此時(shí)含+白+白+陪=1+1TT=。；

|a|\b\|c||abc|

當(dāng)。、b、。是一個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，Qbc>0,此時(shí)白+白+白+陪=1-1-1+1=0;

|a|出1|c|label

.?.：+&+￡+匹=0,

lai網(wǎng)kllabel

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律、絕對(duì)值化簡(jiǎn)，通過計(jì)算，從特殊到一般進(jìn)行歸納，探索出結(jié)果的規(guī)律是

解題的關(guān)鍵.

【題型7分類討論多絕對(duì)值問題】

【例7】（2023春?廣西南寧?七年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)軸上有四個(gè)互不相等的有理數(shù)4、b、c",若|aT|+|b-c|=

c-a,設(shè)d在a、c之間，則|a-d|+\d-c\+\c-b\+\a-c\=.

【答案】-2a-b+3c

【分析】由|a-+|b-c|=c-a=aVbVc,又d在a、。之間，故有aVdVbVc或aVbVdVc兩

種情況，分別討論可得答案.

【詳解】解：\a-b\+\b-c\=c-a.

??a<b<c,

在4、C之間，

???a<d<b<c或aVbVdVc，

當(dāng)a<d<b<c時(shí)，|a-d|+|d-c|+|c—b|+|a—c|=d—a+c—d+c—b+c—a=—2a—b+3c,

當(dāng)a<b<d<c時(shí)，|a-d|+|d-c|+|c-b|+|a-c|=d-a+c-d+c-b+c-a=-2a-b+3c,

故答案為：—2Q—b+3C

【點(diǎn)睛】本題考查去絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

【變式7-11（2023春?湖北武漢?七仝級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知a,b,c,d都是整數(shù),且|a+b|+|b+c|+|c+山+

|d+Q|=2,則|Q+b|=.

【答案】1或0.

【分析】根據(jù)題意易知|a+b|、|b+c|、|c根|、|d+a|是整數(shù),所以不外乎兩種可能:①3個(gè)為0,1人為2；②2

個(gè)為0,2個(gè)為1,繼而討論|a+d|的值.

【詳解】由題意得：|a+b|、|b+ch|汁d|、|d+a|是整數(shù)，所以有兩種可能:

①3個(gè)為0,1個(gè)為2,

②2個(gè)為0,2個(gè)為1,

所以|a+d|只可能取0、1、2,若為2,

則|a+b|=|b+c|=|c+d|=0,

不難得出a=-d,所以|a+d|=0,與假設(shè)|a+d|=2矛盾.

所以|a+d|只可能取0、1,a=0,b=0,c=-l,d=lW|a+d|=l；

a=-l,b=0,c=0,d=lBt|a+d|=0.

故答案為1或0.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的知識(shí)，難度較大，注意對(duì)各種情況的討論，不要漏解.

【變式7-2］（2023春?福建泉州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x是有理數(shù)，且x有無數(shù)個(gè)值可以使得弋?dāng)?shù)式

|2021x+20212|+|x+2021|+|2022x+20222|的值是同一個(gè)常數(shù)，則此常數(shù)為.

【答案】2022

【分析】由題意確定出x的取值范圍，然后按照這個(gè)取值范圍化簡(jiǎn)原式即可求出此常數(shù).

【詳解】由題意，得將|2021計(jì)20212|+忱+2021|+12022%+20222|進(jìn)行化簡(jiǎn)后代數(shù)式中不含羽才能滿足

題意.

因此，當(dāng)一2022&%&-2021時(shí)，

原式二-202產(chǎn)-2021x-X-2021+2022x+2022

=(-2021X-x+2022%)-20212-2021+20222

=2022.

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、有理數(shù)的加減，解題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍.

【變式7-3](2023春?四川成都?七年級(jí)成都實(shí)外?？计谥?已知m、n為有理數(shù),方程||%+m|-n|=2.7僅

有三個(gè)不相等的解，貝加二.

【答案】2.7

【分析】含有絕對(duì)值的方程，先去掉外邊絕對(duì)值得|x+=2.7+幾或氏+=-2.7+n,由于僅有3個(gè)不

相等的解，則一2.7+九=0,解方程求得〃的值.

【詳解】解：||x+m|-n|=2.7,

/.|x4-m|=2.7+ri或+m|=-2.7+n,

當(dāng)W+m\=2.7+nH寸，x=2.7+n-7n或;v=—2.7—n—m,

當(dāng)W+m|=-2.7+n時(shí)，x=-2.7+n-m或％=2.7-n-m,

???方程|+m|-n|=2.7僅有三個(gè)不相等的解，

:.-2.7+n=0時(shí)，n=2.7或2.74-n=0時(shí)，n=-2.7,

當(dāng)九=一2.7時(shí)，K+m|=-5.4,不成立，

:.n=2.7,

綜上所述:名的值為2.7,

故答案為：2.7.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值方程，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【題型8絕對(duì)值中最值問題】

【例8】(2023春?江蘇?七年級(jí)期末)如圖，數(shù)軸上有點(diǎn)a,b,c三點(diǎn).

—~~o---------L)F>

(I)用“V”將4,rC連接起來.

(2)b~a0(填W,“=”)；

(3)化簡(jiǎn)匕一目一匕一。|+|。一1|；

(4)用含小〃的式子表示下列的最小值.

①氐一。|+僅一臼的最小值為;

②以一a|+\x—〃|+\x-c|的最小值為.

【答案】(1)cVaVb,(2)>,(3)b-\；(4)?b-a,@h-c.

【分析】(1)比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，它們從左到右的順序，即從小到大的順序(在數(shù)軸上表示

的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大)；

(2)先求出。的范圍，再比較大小即可求解：

(3)先計(jì)算絕對(duì)值，再合并同類項(xiàng)即可求解；

(4)根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)以及題意因可求出答案.

【詳解】解：(1)根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)得：。<4<力；

(2)由題意得：b-6?>0；

(3)\c-h\-\c-a\+\a-1|

=b-c-(?-c)+a-1

=b-c-a+c+a-1

=6-1；

(4)由圖形可知：①當(dāng)x在a和力之間時(shí)，|x-a|+|x-。|有最小值，

/.\x-a|+|x-力|的最小值為：x-a+b-x=b-a；

②當(dāng)x=a時(shí)，\x-a\+\x-/?|+|A--(i=0+/?-a+a-c=b-c,為最小值.

故答案為：①力“；②….

【點(diǎn)睛】考查了數(shù)軸，通過比較，可以發(fā)現(xiàn)借助數(shù)軸用幾何方法化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子，比較有關(guān)數(shù)的大小

有直觀、簡(jiǎn)捷，舉重若輕的優(yōu)勢(shì).

【變式8-1](2023春?廣東汕頭?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))(1)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)-3,點(diǎn)。表示原點(diǎn)，點(diǎn)力、0

之間的距離=_.

(2)在數(shù)軸上，點(diǎn)4B分別表示數(shù)a、b,點(diǎn)A、B之間的距離=\a-b\,數(shù)軸上分別表示a和-2的兩點(diǎn)4和B之

間的距離為3,那么Q=_

(3)計(jì)算：卜一4+卜_耳+1_m+-+1^------1=

\321143l154l1202020191一

(4)|3-a|+|a-2|的最小值是

【答案】(1)3；(2)1或一5；(3)-(4)1

2020

【分析】(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離:右邊的數(shù)-左邊的數(shù)，據(jù)此即可得到答案;

(2)根據(jù)已知中兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算，即可得到答案：

(3)根據(jù)絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；

(4)分三種情況討論，分別求出最小值，比較即可得到答案.

【詳解】解:(1)???點(diǎn)A表示數(shù)一3,點(diǎn)。表示原點(diǎn)，

點(diǎn)小。之間的距離=0-(-3)=3,

故答案為:3：

(2)?.?數(shù)軸上分別表示a和-2的兩點(diǎn)4和8之間的距離為3,

二|a—(—2)1—3,

：?a=1或Q=—5,

故答案為：I或一5；

⑶+【尸…+1信一扇

\23/\34/\45/\20192020/