備考2025年中考數(shù)學(xué)技巧專題突破（全國(guó)）專題2-3 八種隱圓類最值問(wèn)題圓來(lái)如此簡(jiǎn)單（解析版）

專題2-3八種隱圓類最值問(wèn)題，圓來(lái)如此簡(jiǎn)單

在中考數(shù)學(xué)中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會(huì)出現(xiàn)，明明圖形中沒(méi)有出現(xiàn)“圓”，但是解題中

必須用到“圓”的知識(shí)點(diǎn)，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。

正所謂：有“圓”千里來(lái)相會(huì)，無(wú)“圓”對(duì)面不相逢?！半[圓模型”的題的關(guān)鍵突破口就在于能否看出這個(gè)

“隱藏圓”。一旦“圓”形畢露，則答案手到擒來(lái)！

知識(shí)點(diǎn)梳理

題型一定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓

2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題

2023·邵陽(yáng)市中考真題

2023·廣西南寧市二模

2022·遼寧撫順·中考真題

2022·長(zhǎng)春·中考真題

題型二直角的對(duì)邊是直徑

2023·菏澤市中考真題

2022·通遼·中考真題

2023·汕頭市金平區(qū)一模

2023·廣州市天河區(qū)三模

2022·成都市成華區(qū)二診

題型三對(duì)角互補(bǔ)得圓

2023年·廣元市一模

題型四定弦定角得圓

2023·成都市新都區(qū)二模

2023·成都市金牛區(qū)二模

2023·達(dá)州·中考真題

題型五四點(diǎn)共圓

題型六相切時(shí)取到最值

2023·隨州市中考真題

2022·江蘇無(wú)錫·中考真題

2022揚(yáng)州中考真題

題型七定角定高面積最小、周長(zhǎng)最小問(wèn)題

題型八米勒角（最大張角）模型

徐州中考

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓

在幾何圖形中，通過(guò)折疊、旋轉(zhuǎn)，滑梯模型得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為繞定點(diǎn)等于定長(zhǎng)的圓，從而畫出動(dòng)點(diǎn)軌跡，

并進(jìn)行計(jì)算

二、直角的對(duì)邊是直徑

前世：在⊙O中，AB為直徑，則始終有AB所對(duì)的∠C=90°

今生：若有AB是固定線段，且總有∠ACB＝90°，則C在以AB為直徑徑的圓上．(此類型本來(lái)屬于定

弦定角，但是因?yàn)楸容^特殊，故單獨(dú)分為一類)

三、對(duì)角互補(bǔ)

前世：在⊙O上任意四點(diǎn)A，B，C，D所圍成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)

今生：若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓

四、定弦定角模型

定角模型是直角模型的一種變形形式，其依據(jù)是已知定角，則根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到動(dòng)點(diǎn)

的軌跡為圓弧，再畫出對(duì)應(yīng)圖形進(jìn)行計(jì)算．

前世：在⊙O中，若弦AB長(zhǎng)度固定則弦AB所對(duì)的圓周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圓

周角，需要根據(jù)題目靈活運(yùn)用)

今生：若有一固定線段AB及線段AB所對(duì)的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知C點(diǎn)并不是唯一固定的

點(diǎn)，C在⊙O的優(yōu)弧ACB上均可(至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則C在優(yōu)弧上運(yùn)

動(dòng)；等于90°，則C在半圓上運(yùn)動(dòng)；大于90°則C在劣弧運(yùn)動(dòng))

五、四點(diǎn)共圓模型

前世:在⊙O中，ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，則有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)

今生:若四邊形ABCD中有∠1=∠2(通常情況下∠5=∠6對(duì)頂角相等，故不需要∠3=∠4，實(shí)際應(yīng)用中

長(zhǎng)用∠1=∠2，∠5=∠6)則ABCD四點(diǎn)(某些不能直接使用四點(diǎn)共圓的地區(qū)，可以通過(guò)證明兩次三角形

相似也可)，選填題可以直接使用

六、定角定高（探照燈模型）

什么叫定角定高，如右圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則

△ABC的面積有最小值。又因?yàn)?，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型?/p>

問(wèn)題解決：如果頂角和高，都為定值，那么三角形ABC的外接圓的大小，也就是半徑，是會(huì)隨著A點(diǎn)

的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化的。從而弦BC的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化，它會(huì)有一個(gè)最小值，由于它的高AD是定值，因

此三角形ABC的面積就有一個(gè)最小值。

所謂定角定高是指三角形的一條邊和這條邊上的高是定值．一般是考查直角三角形，此時(shí)我們可

以取斜邊中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)及斜垂關(guān)系來(lái)解決面積最小值問(wèn)

題；通過(guò)構(gòu)造平行線的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決周長(zhǎng)最小值的問(wèn)題．這類問(wèn)題都是在等腰時(shí)取得最小值．

當(dāng)定角不是直角時(shí)，通過(guò)構(gòu)造平行線的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決周長(zhǎng)最小值的方法仍然適用，而面積最小值

可以通過(guò)構(gòu)造三角形的外心或外接圓來(lái)解決．

七、米勒角（最大張角）問(wèn)題

【問(wèn)題提出】己知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P在何處時(shí)，∠APB

最大?

米勒問(wèn)題在初中最值的考察過(guò)程中，也成為最大張角或最大視角問(wèn)題.

米勒定理：

已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP的外接

圓與邊OM相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大。

知識(shí)鋪墊：對(duì)于同一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，同弧所對(duì)的圓周角＞圓外角，即CD＞P

問(wèn)題解決

證明：在直線l上任取一點(diǎn)Q（不與P點(diǎn)重合），連接AQ、BQ，∠AQB即為圓O的圓外角

∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大

∴當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大

題型一定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓

1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接

AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（）

5

A．2B．C．3D．10

2

【答案】A

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱性得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是在以A圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)圓模型，在矩形中利

用勾股定理求出線段長(zhǎng)即可．

【詳解】解：連接AM，如圖所示：

∵點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，

∴AB＝AM＝3，

∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，

∴當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，

∵在矩形ABCD中，AC＝32425，

AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，G為EF的

中點(diǎn)，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為？

【答案】4

【簡(jiǎn)析】簡(jiǎn)單：G的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，求AP+PG典型的“將軍飲馬”問(wèn)題，故做A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，則

APPGAPPG，當(dāng)A'、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，最短，又因?yàn)锳為固定點(diǎn)，G在圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)A'、

G、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)A'G最短，為4

2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題

3

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，OAOB35，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC，連接AC，

2

點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:MA1:2．當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

3636612612

A．,B．5,5C．,D．5,5

55555555

【答案】D

335，

【思路點(diǎn)撥】由題意可得點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的OB上，在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)D0，

22

OMOA2

連接BD，分別過(guò)C、M作CFOA，MEOA，垂足為F、E，先證OAM∽DAC，得，

CDAD3

從而當(dāng)CD取得最大值時(shí)，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)D，B，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段DC上時(shí)，

CD取得最大值，然后分別證BDO∽CDF，AEM∽AFC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．

3

【詳解】解：∵點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC，

2

3

∴點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的OB上，

2

35，

在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)D0，連接BD，分別過(guò)C、M作CFOA，MEOA，垂足為F、E，

2

∵OAOB35，

95

∴ADODOA，

2

OA2

∴，

AD3

∵CM:MA1:2，

OA2CM

∴，

AD3AC

∵OAMDAC，

∴OAM∽DAC，

OMOA2

∴，

CDAD3

∴當(dāng)CD取得最大值時(shí)，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)D，B，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段DC上時(shí)，CD

取得最大值，

35

∵OAOB35，OD，

2

2

2

∴223515，

BDOBOD35

22

∴CDBCBD9，

OM2

∵，

CD3

∴OM6，

∵y軸x軸，CFOA，

∴DOBDFC90，

∵BDOCDF，

∴BDO∽CDF，

15

OBBD

∴即352，

CFCD

CF9

185

解得CF，

5

同理可得，AEM∽AFC，

ME2

MEAM2

∴即1853，

CFAC3

5

125

解得ME，

5

2

1256565125

∴222，∴當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，

OEOMME6OMM

5555

2023·邵陽(yáng)市中考真題

4．如圖，在矩形ABCD中，AB2,AD7，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿BCDA運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與

點(diǎn)A、B重合時(shí)，將ABP沿AP對(duì)折，得到ABP，連接CB，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CB的最小

值為．

【答案】112

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出B在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類討論當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，當(dāng)P在AD上時(shí)，即可求解．

【詳解】解：∵在矩形ABCD中，AB2,AD7，

∴BCAD7，ACBC2AB27411，

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，

∵ABAB2

∴B在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，CB最短，

此時(shí)CBACAB112，

當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，如圖所示，

此時(shí)CB112

當(dāng)P在AD上時(shí)，如圖所示，此時(shí)CB112

綜上所述，CB的最小值為112

2023·廣西南寧市二模

5．在矩形ABCD中，AB3，將AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜＜90）得到BE，連接DE，若DE的最小

值為2，則BC的長(zhǎng)為．

【答案】4

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形不等式得到BEDE＞BD，當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，BEDE取得最小

值，得到BD5，根據(jù)勾股定理計(jì)算BC即可．

【詳解】∵BEDE＞BD，

∴當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，BEDE取得最小值，

∵BEAB3,

∴DE的最小值為2，

∴BD5，

∵矩形ABCD，AB3，

∴ABCD3,BCD90

∴BCBD2CD24

2022·遼寧撫順·中考真題

6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將ABE沿

BE翻折得到FBE，連接GF．當(dāng)GF最小時(shí)，AE的長(zhǎng)是．

【答案】555

【詳解】解：①分析所求線段GF端點(diǎn)：G是定點(diǎn)、F是動(dòng)點(diǎn)；②動(dòng)點(diǎn)F的軌跡：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

10，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將ABE沿BE翻折得到FBE，連接GF，則BFBA10，因此

動(dòng)點(diǎn)軌跡是以B為圓心，BA10為半徑的圓周上，如圖所示：

③最值模型為點(diǎn)圓模型；④GF最小值對(duì)應(yīng)的線段為GB10；⑤求線段長(zhǎng)，連接GB，如圖所示：

在RtBCG中，C90，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，則CG5,BC10，根據(jù)勾

股定理可得BGCG2BC25210255，

當(dāng)G、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小為5510，

接下來(lái)，求AE的長(zhǎng)：連接EG，如圖所示

根據(jù)翻折可知EFEA,EFBEAB90，設(shè)AEx，則根據(jù)等面積法可知

S正方形SEDGSBCGSBAESBEG，即

11111

100DEDGBCCGABAEBGEF510x51010x55x整理得51x20，

22222

202051

解得xAE555

515151

7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分別是邊AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CF＝2AE，連接EF，

將四邊形ABFE沿EF翻折，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'，連接A'D，則A'D的最小值為_(kāi)__________．

A′

AED

B′

BFC

－

【答案】735

3

提示：連接AC交EF于點(diǎn)O，連接OA'、OD，作OH⊥AD于H

A′

AEHD

O

B′

BFC

則△AOE∽△COF

15

∵CF＝2AE，∴CO＝2AO，∴A'O＝AO＝AC＝

33

443

∴AH＝AO＝，OH＝AO＝1

535

4873

∴DH＝AD－AH＝4－＝，OD＝OH2＋DH2＝

333

73－5

∴A'D≥OD－OA'＝

3

8．如圖，半圓O的直徑AB的長(zhǎng)為6，長(zhǎng)度為2的弦CD在半圓上滑動(dòng)，E是CD的中點(diǎn)，DF⊥AB于F，

連接AC、EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)最大時(shí)，AC的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

C

E

D

AOFB

【答案】23

提示：連接OD、OE，取OD的中點(diǎn)M，連接ME、MF

CE

ECD

D

M

M

AOFBAHOFB

1

則OE⊥CD，ME＝MF＝OD

2

EF≤ME＋MF＝OD，當(dāng)E、M、F三點(diǎn)共線時(shí)EF最大

此時(shí)四邊形EOFD為矩形，CD∥AB

連接OC，作CH⊥AB于H

1

則OH＝CD＝1，AH＝2，CH＝22，AC＝23

2

2022·長(zhǎng)春·中考真題

9．如圖，在YABCD中，AB4，ADBD13，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ADDB

以每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM．作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AP、

AM．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)點(diǎn)D到邊AB的距離為_(kāi)_________；

(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長(zhǎng)；

(3)連結(jié)AD，當(dāng)線段AD最短時(shí)，求△DPA的面積；

(4)當(dāng)M、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．

【答案】(1)3

(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，DP1313t；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，PD13t13；

3

(3)

5

220

(4)或

311

【思路點(diǎn)撥】（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，可得

到當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段AD最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，再證明PDE∽△ADM，可得

2

DE33t,PE22t，從而得到AEDEAD23t，在RtAPE中，由勾股△定理可得t，即可求

5

解；

（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)A位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上；當(dāng)點(diǎn)A（A）位于CM的延長(zhǎng)線

上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，即可求解．

【詳解】（1）解：如圖，連接DM，

∵AB=4，ADBD13，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，

∴AM=BM=2，DM⊥AB，

∴DMAD2AM23，

即點(diǎn)D到邊AB的距離為3；

故答案為：3

（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，

DP1313t；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，PD13t13；

綜上所述，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，DP1313t；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，PD13t13；

（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，

∵作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)A，

∴A′M=AM=2，

∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，

∴當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段AD最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，

∴AD1，

根據(jù)題意得：APAP13t，DP1313t，

由（1）得：DM⊥AB，

∵PE⊥DM，

∴PE∥AB，

∴△PDE∽△ADM，

PDDEPE

∴，

ADDMAM

1313tDEPE

∴，

1332

解得：DE33t,PE22t，

∴AEDEAD23t，

在RtAPE中，AP2PE2AE2，

2222

∴13t22t23t，解得：t，

5

6

∴PE，

5

1163

∴SADPE1；

DPA2255

（4）解：如圖，

當(dāng)點(diǎn)M、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)A位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，

連接AA′，A′B，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥AB于點(diǎn)G，則AA′⊥PM，

∵AB為直徑，

∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，

∴PM∥A′B，

∴∠PMF=∠ABA′，

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

在YABCD中，AB∥DC，

∵DM⊥AB，

∴DM∥CN，

∴四邊形CDMN為平行四邊形，

∴CN=DM=3，MN=CD=4，

∴CM=5，

CN3

∴sinCMN，

CM5

∵AM=2，

36

∴AG2，

55

8

∴MG，

5

2

∴BGBMMG，

5

AG

∴tanABA3，

BG

∴tanPMFtanABA3，

PF

∴3，即PF=3FM，

FM

DMPF3AMAF2

∵tanDAM，cosDAM，

AMAF2ADAP13

3

∴PFAF，

2

3

∴3FMAF，即AF=2FM，

2

∵AM=2，

4

∴AF，

3

4

2

∴32，解得：t；

3

13t13

如圖，當(dāng)點(diǎn)A（A）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，PB21313t，

過(guò)點(diǎn)A作AGAB于點(diǎn)G′，則AMACMN，取AA的中點(diǎn)H，則點(diǎn)M、P、H三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)H作

HK⊥AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，

62

同理：AG,AG，

55

∵HK⊥AB，AGAB，

∴HK∥A′′G′，

∴AHKAAG，

∵點(diǎn)H是AA的中點(diǎn)，

HKAKAH1

∴，

AGAGAA2

31

∴HK,AK，

55

9

∴MK，

5

HK1

∴tanPMTtanHMK，

MK3

PT1

∴，即MT=3PT，

MT3

DMPT3BTBM2

∵tanPBT，cosPBT，

BMBT2PBBD13

2

∴BTPT，

3

9

∴MTBT，

2

∵M(jìn)T+BT=BM=2，

4

∴BT，

11

4

20

∴112，解得：t；

11

21313t13

220

綜上所述，t的值為或

311

題型二直角的對(duì)邊是直徑

10．如圖，在ABC中，ACB30，AC4，D為BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的O與AB相切于

點(diǎn)B，交AD于點(diǎn)E，則CE的最小值為．

【答案】131

【思路點(diǎn)撥】取AB的中點(diǎn)F，連接BE，EF，CF，則CECFEF．由AB與O相切，可得ABC90，

1

通過(guò)解直角三角形可得ABAC2，BCAC2AB223，CFBF2BC213．根據(jù)BD是O

2

1

的直徑，可得ABE是直角三角形，從而EFAB1，因此CE131，即CE的最小值為131．

2

【詳解】取AB的中點(diǎn)F，連接BE，EF，CF，則CECFEF

∵AB與O相切，

∴ABBC，即ABC90，

∵ACB30，AC4，

11

∴ABAC42，

22

BCAC2AB2422223．

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

11

∴BFAB21，

22

2

∴在RtBCF中，CFBF2BC2122313．

∵BD是O的直徑，

∴BED90，

∴AEB180BED1809090，

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

11

∴EFAB21，

22

∴CECFEF131，即CE的最小值為131

11．（2021威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝BF，連接DE

與AF交于點(diǎn)G，連接BG，則BG的最小值為_(kāi)________．

CFB

GE

DA

【答案】51

【解析】取AD的中點(diǎn)M，連接BM，GM，

CFB

GE

DMA

11

則DM＝AM＝AD＝AB＝1，

22

∴BM＝AM2AB2＝1222＝5．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°．

∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，

∴∠ADE＝∠BAF．

∵∠BAF＋∠DAF＝90°，

∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DGA＝90°．

1

∵GM＝AD＝1．

2

∵BG＋GM≥BM，∴BG≥BM－GM，

∴BG的最小值為51．

12．（2023·嘉興·二模）在Rt△ABC中，C90,A30,BC2，點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是

AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DF，作BQDF交DF于點(diǎn)Q，連結(jié)EQ．點(diǎn)F從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，EQ的最小值為．

【答案】31

【思路點(diǎn)撥】作ENAB于N，取BD中點(diǎn)M，連接MQ，ME，由直角三角形的性質(zhì)求出MQ的長(zhǎng)，MB

的長(zhǎng)，EN的長(zhǎng)，AN的長(zhǎng)，得到MN的長(zhǎng)，由勾股定理求出ME的長(zhǎng)，由EQMEMQ，即可求出EQ的

最小值．

【詳解】解：如圖，作ENAB于N，取BD中點(diǎn)M，連接MQ，ME，

C90，A30，BC2，

AB2BC4，AC3BC23，

D是AB中點(diǎn)，

1

BDAB2，

2

BQD90，M是BD中點(diǎn)，

11

MQBD1，MBBD1，

22

E是AC的中點(diǎn)，

1

AEAC3，

2

133

NEAE，AN3NE，

222

33

MNABMBAN41，

22

MEMN2EN23，

EQMEMQ，

EQ31，EQ的最小值是31

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝6，

OC＝4，點(diǎn)D是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊作矩形CDEF，使得邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，當(dāng)

點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離最大時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)__________．

yF

CB

E

ODAx

【答案】（24，32）

55

提示：取BC中點(diǎn)M，連接OF、OM、FM

yF

CB

MH

GE

ODAx

1

則FM＝CM＝BC＝3，OM＝CM2＋CO2＝5

2

OF≤OM＋FM＝8，當(dāng)點(diǎn)F在OM延長(zhǎng)線上時(shí)OF最大

作CG⊥OF于G，F(xiàn)H⊥BC于H

則△FMH≌△CMG（AAS），∴FH＝CG，MH＝MG

129

在△COM中，由面積法可得CG＝，勾股得MG＝

55

1292432

∴FH＝，MH＝，∴F（，）

5555

2023·菏澤市中考真題

14．如圖，在四邊形ABCD中，ABCBAD90,AB5,AD4,ADBC，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

F在線段AE上，∠ADF∠BAE，則線段BF的最小值為．

【答案】292

【思路點(diǎn)撥】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以AD為直徑畫圓，連接OB，設(shè)OB與O的交點(diǎn)為點(diǎn)F，證明DFA90，

可知點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到OB與O的交點(diǎn)F時(shí)，線段BF有最小值，據(jù)此求

解即可．

【詳解】解：設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以AD為直徑畫圓，連接OB，設(shè)OB與O的交點(diǎn)為點(diǎn)F，

∵ABCBAD90，

∴AD∥BC，

∴DAEAEB，

∵∠ADF∠BAE，

∴∠DFA∠ABE90，

∴點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到OB與O的交點(diǎn)F時(shí)，線段BF有最小值，

∵AD4，

1

∴AOOFAD2，，

2

∴BO522229，

BF的最小值為292

15．（2023·武漢·一模）如圖，Rt△ABC中，ACB90，AC43，BC6．點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

滿足PA2PC2AC2．當(dāng)PB的長(zhǎng)度最小時(shí)，則△ACP的面積是．

【答案】63

【思路點(diǎn)撥】取AC中點(diǎn)O，連接OP，BO，由PA2PC2AC2即可得到APC90，再由BPBOOP，

1

可得當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，BP有最小值，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得POAOCOAC23，

2

即可推出BOC60，則COP是等邊三角形，求得COP的面積，根據(jù)OAOC可得S△ACP2S△COP63．

【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OP，BO，

∵PA2PC2AC2，

∴APC90，

∴點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

在△BPO中，BPBOOP，

∴當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，BP有最小值，

∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，APC90，

1

∴POAOCOAC23，

2

CB

∴tanBOC3，

OC

∴BOC60，

∴COP是等邊三角形，

33

∴SOC21233，

△COP44

∵OAOC，

∴S△ACP2S△COP63

2022·通遼·中考真題

16．如圖，O是ABC的外接圓，AC為直徑，若AB23，BC3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)

且始終保持CBPBAP，當(dāng)C，P兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．

3

【答案】

3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P

的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

【詳解】解：AC為O的直徑，

ABC90.

ABPPBC90.

QPABPBC,

PABABP90.

∴APB90.

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且在ABC的內(nèi)部，

如圖，記以為直徑的圓的圓心為O，連接OC交O于點(diǎn)，連接OP,CP.

AB1△11P1

Q

CPO1CO1P,

∴當(dāng)點(diǎn)O1,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)P處時(shí)，CP有最小值，

∵AB23

∴O1B3

BC3

在RtBCO1中，tanBO1C3.

O1B3

∴∠BO1C60.

)6033

∴BP.

1803

3

∴.C,P兩點(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

3

17．（2023·廣州·三模）如圖，矩形ABCD中，AB2，BC23，點(diǎn)E、F分別是線段AD，BC上的動(dòng)

點(diǎn)，且AECF，過(guò)D作EF的垂線，垂足為H．

（1）當(dāng)AE31時(shí)，BFE．

（2）當(dāng)E在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CH的最小值為．

【答案】451

【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)F作FMBC于M，由條件可得四邊形ABME是矩形，由題意可得MF=EM，從而

問(wèn)題解決；

1

（2）連接BD交EF于點(diǎn)O，可證明△DOE≌△BOF，易得ODBD2，由DHEF知，MH2，即

2

點(diǎn)H在以O(shè)D中點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，CH的值最小，由三角函數(shù)知

識(shí)即可求得此時(shí)最小值．

【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)F作FMBC于M，如圖，

則BMEEMF90；

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB90，

∴四邊形ABME是矩形，

∴EMAB2，BMAE31；

∵AECF，

∴CFBM31，

∴MFBCBMCF232(31)2，

∴MEMF，

∵FMBC，

∴BFE45，

故答案為：45；

（2）連接BD交EF于點(diǎn)O，如圖，

由矩形性質(zhì)知：AD∥CB，ADBC23，

∴DEFBFE，ADAEBCCF，

∴DEBF，

∵EODFOB，

∴△DOE≌△BOF，

∴ODOB，

由勾股定理得BDAB2AD24，

1

∴ODBD2，

2

∵DHEF，設(shè)OD中點(diǎn)為M，

∴MH2，

即點(diǎn)H在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

由于點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，即EF與AC重合時(shí)，CH的值最小，

CDCH

∵ACBD4，cosACD，

ACCD

CD24

∴CH1，

AC4

即CH的最小值為1

18．（2023·安陽(yáng)·一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為22，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AECF，過(guò)點(diǎn)B作BGEF于點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值為．

【答案】51

【思路點(diǎn)撥】連接AF，CE，AC，設(shè)AC與EF的交點(diǎn)為點(diǎn)O，得到平行四邊形AECF，點(diǎn)O是AC的中

點(diǎn)，連接BD，則BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且OAOB，G在以BO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取OB的中點(diǎn)H，連接AH,GH，

根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系式，計(jì)算最值即可．

【詳解】如圖，連接AF，CE，AC，設(shè)AC與EF的交點(diǎn)為點(diǎn)O，

∵正方形ABCD，

∴AECF，

∵AECF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AOCO,OEOF，

∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，連接BD，

∵正方形ABCD，

∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，且OAOB，

取OB的中點(diǎn)H，連接AH,GH，

∵BGEF，

1

∴AHAO2OH2,GHOB，

2

∵GHAG≥AH,

∴當(dāng)A,G,H三點(diǎn)共線時(shí)，AG取得最小值，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為22，

22

∴ACBD22224，

∴OAOBOCOD2，

1

∴GHOB1，AH22125，

2

∴AG長(zhǎng)的最小值為51

19．（2023·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AE中

點(diǎn)，G為DE上一點(diǎn)，BFFG，則CG的最小值為．

【答案】132

【思路點(diǎn)撥】連接AG，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得ABCBCDADC90，DCAB3，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)

1

和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得BFAEAFEF，推得AFFGEF，則

2

AGEAGD90，根據(jù)圓周角定理可知：點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AD的中點(diǎn)O，當(dāng)O，G，

C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，由此可解答．

【詳解】解：如圖1，連接AG，

四邊形ABCD是矩形，

∴ABCBCDADC90，DCAB3，

∵F是AE的中點(diǎn)，

1

∴BFAEAFEF，

2

∵BFFG，

∴AFFGEF，

∴AGEAGD90，

∴點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AD的中點(diǎn)O，連接OG，如圖2：

當(dāng)O，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，

∴ODOG2，

∴OC223213，∴CG的最小值為132

2023·汕頭市金平區(qū)一模

20．如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，弦DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且DEAB．點(diǎn)F為AEB上一動(dòng)點(diǎn)，連

接DF．AGDF于點(diǎn)G．若AB4，在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OG的長(zhǎng)度的最小值為．

【答案】31

【思路點(diǎn)撥】如圖，連接AD，OD，取AD的中點(diǎn)R，由AGDF．可得G在以R為圓心，AD為直徑

的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）當(dāng)R，O，G三點(diǎn)共線時(shí)，OG最小，再求解CD22123，

31RO1

ADCD2AC223，可得RARG3，sinCAD，則，可得RO1，從而可得

232AO2

答案．

【詳解】解：如圖，連接AD，OD，取AD的中點(diǎn)R，

∵AGDF．

∴G在以R為圓心，AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）

當(dāng)R，O，G三點(diǎn)共線時(shí)，OG最小，

∵AB4，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，

∴OBOAOD2，OC1，

∵DEAB，

∴CD22123，

∴ADCD2AC223，

31

∴RARG3，sinCAD，

232

RO1

∴，

AO2

∴RO1，∴OGRGRO31

2023·廣州市天河區(qū)三模

21．如圖，矩形ABCD中，AB2，BC23，點(diǎn)E、F分別是線段AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AECF，過(guò)

D作EF的垂線，垂足為H．

（1）當(dāng)AE31時(shí)，BFE．

（2）當(dāng)E在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CH的最小值為．

【答案】451

【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)F作FMBC于M，由條件可得四邊形ABME是矩形，由題意可得MF=EM，從而

問(wèn)題解決；

1

（2）連接BD交EF于點(diǎn)O，可證明△DOE≌△BOF，易得ODBD2，由DHEF知，MH2，即

2

點(diǎn)H在以O(shè)D中點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，CH的值最小，由三角函數(shù)知

識(shí)即可求得此時(shí)最小值．

【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)F作FMBC于M，如圖，

則BMEEMF90；

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB90，

∴四邊形ABME是矩形，

∴EMAB2，BMAE31；

∵AECF，

∴CFBM31，

∴MFBCBMCF232(31)2，

∴MEMF，

∵FMBC，

∴BFE45，

故答案為：45；

（2）連接BD交EF于點(diǎn)O，如圖，

由矩形性質(zhì)知：AD∥CB，ADBC23，

∴DEFBFE，ADAEBCCF，

∴DEBF，

∵EODFOB，

∴△DOE≌△BOF，

∴ODOB，

由勾股定理得BDAB2AD24，

1

∴ODBD2，

2

∵DHEF，設(shè)OD中點(diǎn)為M，

∴MH2，

即點(diǎn)H在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

由于點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，即EF與AC重合時(shí)，CH的值最小，

CDCH

∵ACBD4，cosACD，

ACCD

CD24

∴CH1，即CH的最小值為1

AC4

2022·成都市成華區(qū)二診

22．如圖，在ABC中，C90,B30,AC23．若點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足ADC60，

則線段BD長(zhǎng)度的最小值為，最大值為．

【答案】2722132

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，即當(dāng)點(diǎn)D在AC右側(cè)時(shí)，點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)D在AC左側(cè)時(shí)，

點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)，再分別計(jì)算即可．

【詳解】①如圖，

以AC為底邊，在AC的右側(cè)作等腰三角形AOC，使OACOCA30

則AOC120

以O(shè)為圓心，以CO長(zhǎng)為半徑畫優(yōu)弧AC，連接BO交AC于點(diǎn)E

則當(dāng)點(diǎn)D在AC右側(cè)時(shí)，點(diǎn)