專題251圖形的相似（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（冀教版）

專題25.1圖形的相似(全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)

【知識(shí)點(diǎn)1】比例線段定義:

在四條線段。，反c,d中，如果”與人的比等于C與“的比，即g=￡,那么這四條線段a.Aad叫做成比

bd

例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

【知識(shí)點(diǎn)2】比例線段的性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)：ad=be：(b、dw0)

bd

/c\人LLZui-pgacatbctd..,八、

(2)合比性質(zhì)：一=—o----=-----；(儀1工0)

bdbd

/-、AA11,u00C9H.4+C+…+，〃./..2

(3)等*比性質(zhì)：一=—=3=—=k。----------=k；(〃+c/++〃=0)

bdnb+d+...+n

【知識(shí)點(diǎn)3】平行線分線段成比例定理

兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示,

若…凡則卷嘴，箝器

【知識(shí)點(diǎn)4】平行線分線段成比例推論

推論：平行于三角形?邊的直線破其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

即如圖所示，若四心嘮嚙若嗜.

【知識(shí)點(diǎn)5】黃金分割

點(diǎn)C把線段A/3分成兩條線段AC和AC,如果生=生l。0.6]8,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割.其

A132

中點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與的比叫做黃金比.

【知識(shí)點(diǎn)6】相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

(2)相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

【知識(shí)點(diǎn)7】相似多邊形的判定

(I)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.

(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

(4)滿足斜邊和?條宜角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

【知識(shí)點(diǎn)8】相似三角形的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)用相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

（2）周長(zhǎng)之比等于相似比，面枳之比等于相似比的平方.

（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和時(shí)應(yīng)中線的北等于相似比.

【知識(shí)點(diǎn)9】相似三角形的應(yīng)用

測(cè)量物體的高度：利用影長(zhǎng)、利用標(biāo)桿、利用鏡子.

【知識(shí)點(diǎn)10］相似三角形的常見(jiàn)模型

“母子型”

，工”型斜“A”型

“X”型射影定理模型

ZBAC=^ADC=90°

一線三直角一線三等角

ZBAE=ZDCE=ZBED=9O0

【知識(shí)點(diǎn)11】位似圖形的定義性質(zhì)與畫(huà)法

1.定義如果兩個(gè)圖形不僅形狀相似，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直淺都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)

圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.

2.位似圖形性質(zhì)：位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.

3.位似圖形的畫(huà)法：

（1）確定位似中心；

（2）確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

（3）描出新圖形.

【考點(diǎn)一】比例的基本性質(zhì)與成比例線段

r2r-v

【例1】(2023?全國(guó)?九年級(jí)假期作業(yè))(1)若j="則寸=

(2)若-=J則分=___________:

45a-b

(3)若2x-5y=0,則(3x+y):(4x-3y)=.

【答案】(1)(2)-13；(3)17:14.

【分析】(1)對(duì)二二上化簡(jiǎn)得土-1,再把土=￡代入，即可；

yyy3

(2)根據(jù)?=!，得”與，把a(bǔ)的值代入世￥，即可；

455a-b

(3)對(duì)2x-5y=0化簡(jiǎn)，得x=把工的值代入(3x+.y):(4x—3力，即可

,x2

解：(1)團(tuán)一=不，

y3

x-yx,2.I

0----=-1=丁1=一7:

yy33

故答案為：-g.

(2)3

45

4

?a=—/?

2a+b2x-b+b

Ea-b

-b-b

5

故答案為：-13.

(3)團(tuán)2x-5y=0,

EU=|y,

E(3X+>,):(4A-3J,)

=17:14.

故答案為：17:14.

【點(diǎn)撥】考查比例性質(zhì)運(yùn)用中的菸不計(jì)算，關(guān)鍵是掌握比例的法木性質(zhì).

【舉一反三】

【變式1](2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))己知:則下列等式不成立的是()

b3

caa+2ab

A.哈三B.3-勸C.—=----D.一二一

bb+223

【答案】C

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可汨3a=2h,然后逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

解：回:="|,

b3

團(tuán)3。=2/＞，

A.?=?.則3a+弘=5〃即3〃=2/，.成立.故該選項(xiàng)不符合題意：

b3

B.3a=2b,成立，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.，皆|,則9+2）=通+2）,即〃=力，不成立，符合題意；

D.=即3。=2/人成立，故該選項(xiàng)不符合題意：

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）（1）6是。和力的比例中項(xiàng)，則疝一看

（2）〃是9和4的比例中項(xiàng)，則力=—:

（3）線段a=6厘米，。=16厘米，則線段〃和。的比例中項(xiàng)是—.

［答案】券±64#厘米

【分析】（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義求出。與b的積，再整體代入求解即可.

（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解.

（3）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解.

解：（1）由題意可知時(shí)=6"

\\\^Gy［（ib=6?

所以疝一看=6-焉=表

35

故答案為：

6

（2）山題意可知。z=9x4=36,

可解得〃=±6；

故答案為：±6.

（3）因?yàn)椤?、方都為線段,

因此其比例中項(xiàng)只能是線段，取正值，即為反布=4#（厘米）.

故答案為：4幾厘米.

【點(diǎn)撥】本題考查了比例中項(xiàng)的定義，注意線段比例中項(xiàng)和數(shù)字比例中項(xiàng)的區(qū)別.

【考點(diǎn)二】黃金分割

ss

【例2】（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）中，。是8c上一點(diǎn)，若:皿=產(chǎn)"，則稱4。為

%ABC?.ABD

"C的黃金分割線.

（1）求證：若4）為JBC的黃金分割線，則。是8C的黃金分割點(diǎn):

（2）若S.c=20,求二ACO的面積.（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）30-10x5

【分析】⑴先由等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，可得浮=器S…CD

又因?yàn)?/p>

S由BD

dS=sl■，等量代換得出R差n=m*，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即可證明D是3c的黃金分割點(diǎn);

?ARCdABDBCHU

(2)由(1)知g=段，那么=DC=BC-BD=BCBC=BC,

BCBD223

又等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比》=段=2二，將SA8C=20代入，即可求出「AC。

3..nrBC2

的面積.

SBDCD

(1)證明：回產(chǎn)=正“ACD

解:~BD

'.ABC”°ABD

Vm2儂.=2迎

"ABC"AHI)

BDCD

□——=,

BCBD

回。是HC的黃金分割點(diǎn);

⑵解：由⑴知器嚼

Js-1

0BD=—―-BC，

2

75-I3-6

taDC=BC-HD=EC-———BC=-——bC,

23

八二3-右

S.A8cBC2

小sJ*=20=30-1°括?

【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線

段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（叵］）叫做黃金比.也考杳了三角形的面積.

2

【舉一反三】

【變式1］（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)畫(huà)線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過(guò)點(diǎn)8作4月的

垂線8C,取A3的中點(diǎn)M,以點(diǎn)8為圓心，8M為半徑畫(huà)弧交射線于點(diǎn)/）,連接AO,再以點(diǎn)。為圓心，

08為半徑畫(huà)弧，前后所畫(huà)的兩弧分別與A。交于￡尸兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，”0T的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧

交AB于點(diǎn)從點(diǎn)〃即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的縮3”指的是線段（）

A.AFB.DFC.AED.DE

【答案】A

【分析】根據(jù)作圖可知，?ABD90?,DB=DF=BM=-AB,設(shè)DB=DF=a,則A8=2a,

2

AD=JAR，+BD，=>/5a?求出4尸=4?！狣F=-JSa—a.得出=亞"——=--，即可得出

AB2a2

結(jié)論.

解：根據(jù)作圖可知，?ABD90?.DB=DF=BM=-AB,

2

設(shè)DB=DF=a,U人8=2a.

團(tuán)根據(jù)勾股定理可得：AD=\lAB2+BD2=>f5a'

^AF=AD-DF=

eAF45a-a\［5-1

回---=-------=------9

AB2a2

回以4為圓心，"A尸"的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交點(diǎn)〃，點(diǎn)〃即為AH的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，故

A正確.

故選：A.

AF_后a-a_A/5-1

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出第一2a-2.

【變式2】（2022秋?四川成都?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在某校的2022年新年晚會(huì)中，舞臺(tái)A8的長(zhǎng)

為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得休，已知點(diǎn)。是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)

A的距離為一米.

【答案】10（1）

【分析】根據(jù)黃金分割比例進(jìn)行求解即可.

解.：田C是線段AB靠近B的黃金分割點(diǎn)，

團(tuán)人°=2^11八8=10（石一「|米，

故答案為：1（）（6-1）.

【點(diǎn)撥】本超主要考杳了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三】平行線分線段成比例及其推論

【例3】（2022春?九年級(jí)課時(shí)凍習(xí)）財(cái)8。中，點(diǎn)。是8C邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在人。上，連接8F并

延長(zhǎng)交4。于點(diǎn)E;

AT1

（1）如圖1,若。為8C的中點(diǎn)，—求證：AF=FD：

EC2

I

（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請(qǐng)利用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在AC上找一點(diǎn)E,使得A器F=東

nn

（3）若E為AO的中點(diǎn)，設(shè)黑=以煞=〃，請(qǐng)求出〃?、〃之間的等量關(guān)系.

BCAC

【答案】（1）證明見(jiàn)分析，（2］作圖見(jiàn)分析，（3）〃?=丁工

1一〃

【分析】（1）作。G38E交4c于G,列出比例式即可證明：

（2）作1MBe的中線A。，再作入。中點(diǎn)，連接8尸并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E即可；

（3）作。GE3E交AC于G.根據(jù)平行得出比例式，根據(jù)尸為AO的中點(diǎn)，得出〃八〃之間的等量關(guān)系

即可.

解：（1）證明：作。GQ8E交AC于G,

[2O5BE,BD=CD,

CDCG

回---=----1.

BDEG

^EG=CG,

0EF2DG,

回絲=絲

DFEG

唔=；,EG=GC,

EC2

AE

嘖=3

AF

0——=1.

DF

(2AF=FD；

(2)作團(tuán)48。的中線4。，再作乂。中點(diǎn)，連接8F并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)，點(diǎn)E即是所求;

(3)作。GE8E交AC于G.

WG&BE,

BDEG

回----=-----=,

BCCE

AE

團(tuán)=n

AC

設(shè)AC=mAE=an,EC=a—an,EG=tn{a—an)?

團(tuán)E/吧DG,

AFAEann

0=-----=-------------=----------

DFEGam(\-n)m-mn

回廠為A。的中點(diǎn)，

(2—=1g|hn=—.

ni-mnI-n

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作平行線，利用比例式解決問(wèn)題.

【舉一反三】

【變式1](2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))將含有30。的三角板A8C按如圖所示放置，點(diǎn)A在宜線OE上,

其中NR4O=15。，分別過(guò)點(diǎn)4,。作直線OE的平行線戶G,〃/,點(diǎn)4到直線DE,"/的距離分別為匕，%,

則?的值為()

〃2

后_2

A.1B.>/3-1C.V2-1D.V

2

【答案】B

【分析】設(shè)CE交FG于點(diǎn)M.由ND4C=NB4O+NC48=45。，得三角形8cM為等腰直角三角形，

再由含30度角直角三角形三邊長(zhǎng)比及等腰直角三角形的邊長(zhǎng)比，設(shè)3c為心可得為MA=JIr-.v，

再由平行線分線段成比例求解.

解：設(shè)CE交EG于點(diǎn)用，

□ZC45=30°,ZBAD=15°,

0ZDAC=ZBAD+ZCAB=45°,

0FG//DE,

團(tuán)NCM8=ND4C=45°,

三角形BCM為等腰直角三角形，

在R/0A8C中，設(shè)3c長(zhǎng)為x,^\CM=I3C=x,

回NC4B=3O°,

國(guó)CA=W>BC=6X,

0/W4=V3.v-x,

0Z7Z//FG//DE,

也=絲=叵==癢】，

h,CMx

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì).含特殊角直角三角形的性質(zhì)及平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵是掌

握含特殊角的直角三角形的邊長(zhǎng)比.

【變式2］（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）基本事實(shí)：兩條線段被一組____所截，所得的對(duì)應(yīng)線段

成比例.

如圖：如果DE〃FG〃BC,那么會(huì)=票，嗎考,瞿=^.

rBOCDBECDBEC

【答案】平行線

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可.

解：基本事實(shí)：兩條線段被?組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，

如圖，如果。E4a那么竺=竺，竺=竺，竺=竺

FBGCDBECDBEC

故答案為：平行線.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例的知識(shí)，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四】多邊形的性質(zhì)及判定

【例4】（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把一個(gè)矩形4?。。劃分成三個(gè)全等的小矩形.

（1）若原矩形4BC。的長(zhǎng)43=6,寬BC=4.問(wèn)：每個(gè)小矩形與原矩形相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若原矩形的長(zhǎng)帥=.,寬BC=b、且母?jìng)€(gè)小矩形與原矩形相似，求矩形長(zhǎng)〃與寬〃應(yīng)滿足的關(guān)系

式.

【答案】C）不相似；證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）"=3必

AfiAn

【分析】⑴根據(jù)劃分后小矩形的長(zhǎng)為4）=4,寬為AE=2,可得會(huì)工罷，進(jìn)而可判斷結(jié)論；

BCAE

（2）根據(jù)劃分后小矩形的長(zhǎng)為4）=6,寬為AE=W，再根據(jù)每個(gè)小矩形與原矩形相似，可得蕓=當(dāng)，

3BCAE

從而可得〃與〃的關(guān)系式.

（1）解：不相似.理由如下：

田原矩形ABCO的長(zhǎng)A〃=6,寬8C=4,

團(tuán)劃分后小矩形的長(zhǎng)為4。=4,寬為AE=6+3=2,

又切普=9*==筆，即原矩形與每個(gè)小矩形的邊不成比例.

13每個(gè)小矩形與原矩形不相似.

（2）⑦原矩形的長(zhǎng)A8=a,寬BC=b,

田劃分后小矩形的長(zhǎng)為寬為AE=；，

又12每個(gè)小矩形與原矩形相似，

ABAD

回---=----

BCAE

a=b_

團(tuán)％=?,即4=3廣

3

【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)健是根據(jù)兩矩形相似得到比例式.

【舉一反三】

【變式1］（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形/18CO是一張矩形紙片.將其按如圖所示的

方式折捶：使。A邊落在QC邊匕點(diǎn)A落在點(diǎn)〃處，折痕為。E；使C5邊落在C。邊上，點(diǎn)8落在點(diǎn)G處，

折痕為。尸.若矩形與原矩形八BCO相似，AD=\,則。。的長(zhǎng)為（）

A.y/2,—1B.-^5—1C.5/2+1D.yjs+1

【答案】C

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得DH=CG=1,設(shè)。。的長(zhǎng)為達(dá)則"G=x-2,再根據(jù)相

似多邊形性質(zhì)得出空=會(huì)，即，=?,求解即可.

CDADx1

解：由折袋可得：DH=AD，CG=BC,

魄形ABS,

團(tuán)AD=BC=1,

田O〃=CG=1,

設(shè)。。的長(zhǎng)為x,則”G=x-2,

[3矩形，￡FG,

0EH=L

回矩形HEFG與原矩形A3CD相似,

JHHGIx-2

B——=——，即niI一=----

CDADx1

解得：1=忘+1（負(fù)值不符合題意，舍去）

團(tuán)CO=&+1，

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是

解題的關(guān)犍.

【變式2】（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形.古希臘很多

矩形建筑中寬與長(zhǎng)的比都等于黃金比，如圖，矩形A3C。為黃金矩形，AB<AD,以A3為邊在矩形ABC。

內(nèi)部作正方形48ER若AO=1,則QF=.

【答案】

2

【分析】先根據(jù)黃金矩形求出A&再利用正方形的性質(zhì)求出A凡然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：回矩形48C。為黃金矩形，AB<AD,

22

團(tuán)四邊形A8EF是正方形，

財(cái)3=”=避且，

2

WF=ADAF=\-，

22

故答案為：上史.

2

【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割

是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五】相似三角形的性質(zhì)及判定

【例5】（2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在班8c中，4D是角平分線，點(diǎn)￡,點(diǎn)尸分別在線

段AB,AD1.,且回￡77）=?8OF.

（1）求證：M尸打包4OC.

ATAAT

（2）若j=j==2,且西"E=BC,探索8E利。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

AC〉EB

【答案】（1）證明見(jiàn)分析：（2）EB=2FD.

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出朋4。=回O4C,再根據(jù)田出7）=回叨尸得出射產(chǎn)代蜘OC,進(jìn)而根據(jù)兩

角分別相等的三角形相似可證：

AR4

（2）由（1）中的相似及M/TWC得出明產(chǎn)E,進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊得出AE=AA再根據(jù)黑=]

ACACApAL

及加產(chǎn)研班0c得小蕓=4.再由差=2.AE=4F,得出蕓=差=2,即可得到結(jié)果.

FDEBEBEB

解：（1）西。為團(tuán)BAC的平分線.

能84。=伍。AC,

00￡?=EBDF,

m80^EFD=130°^BDFf

的4小口4OC,

又團(tuán)目B4D=12Q4C,

□aAFEmiADC：

(2)由(1)得，(M"￡I狙AOC,

回國(guó)4￡F=SC,

00/1F￡=(2C,

mAEF^AFE,

^AE=AF,

Ap4

0—=-,AAFE^^ADC,

AC5

AFAE4

目——=——=-,

ADAC5

AP

^—=2.AE=AF

EB

用空=空=2,

EBEB

^EB=2FD.

【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定.第（1）問(wèn)能根據(jù)角的等量代換得出角相等及熟練掌握相

似三角形的判定是解題關(guān)鍵：第（2）問(wèn)根據(jù)相似得出比例式及根據(jù)比例式得出線段的關(guān)系是解的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式1](2023春?內(nèi)蒙古通遼?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在矩形ABOC中，AC=4cm,AB=3cm,

點(diǎn)員的速度從點(diǎn)3到點(diǎn)C,同時(shí)點(diǎn)R的速度從點(diǎn)。到點(diǎn)B,當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，則運(yùn)動(dòng)停止，點(diǎn)P是

邊CD上一點(diǎn)，且CP=1,且。是線段環(huán)的中點(diǎn)，則線段QD+QP的最小值為()

A.2>/5B.5C.V17D.后

【答案】A

【分析】如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接Q&/>〃.首先用，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)

。在直線差2上運(yùn)動(dòng)，求出P8的值，再根據(jù)PQ+PO=PQ+Q隹P8,可得結(jié)論.

解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接04,PB.

回四邊形A8DC是矩形，

0AC=8￡)=4cm,AB=CD=3cm,

時(shí)(3,0),B(0,4),

豳CQ8=90°,

0^C=Jcif+CB-=732+42=5(cm),

?El九]CO,

國(guó)ABE煙BCD,

BEEHBH

團(tuán)==?

BCCDRD

0.5tEHBH

值--=---=---,

534

^EHt,BHt,

血4r),

麗)，

國(guó)QE=QF,

3

回。(TTh2),

20

回點(diǎn)Q在直線產(chǎn)2上運(yùn)動(dòng)，

0B.。關(guān)于直線產(chǎn)2對(duì)稱，

國(guó)QD=QB,

用QP+QD=QB+QP,

^QP+QB>PB,PB=122+42=2后(cm),

回QP+QQ22后,

[30P+。。的最小值為2石.

故選:A.

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在直線廣2上運(yùn)動(dòng).

【變式2】(2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，一A8c在平面直角坐標(biāo)系中，A8與)，軸交于點(diǎn)。，已

知點(diǎn)A(l,4),C(3,O),。((),3),例是線段上一點(diǎn)，連接DW,若△ODW與.6。相似，則CM的長(zhǎng)

【答案】2或4

【分析】△OQM是?個(gè)直角三角形，若△QQM與二C4O相似，必須證明&C4O是直角二：角形，再用相

似三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

解：如圖，

明(1,4)，C<3,0),D(0,3)，

0A￡>2=12+12=2，AC2=42+22=20,CD2=OD2+OC2=32+32=18?

0.C4D是直角三角形

用點(diǎn)M在x軸上，設(shè)點(diǎn)用的坐標(biāo)是(x,0),

△ODWizqo

^ADOMy/2|x|

0=-----=—f=——

CDODM3

0|A|=I

0|A-|=±I

當(dāng)x=l時(shí)，CM=2；當(dāng)x=-l時(shí)CM=4,

故答案為：2或4.

【點(diǎn)撥】此題考查相似三角形的性質(zhì)，熟悉掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)六】位似圖形

【例6】(2021春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，正方形EFGH,"KL都是正方形A8C。的位似圖形，點(diǎn)

P是位似中心.

(/)哪個(gè)圖形與正方形A8c。的相似比為3?

(2)正方形〃KL是正方形“6〃的位似圖形嗎？如果是，求相似比.

(3)正方形EF、G〃與正方形ABC7)的相似比是多少？

【答案】(1)正方形"KL：(2)是，正方形〃AZ與正方形上打汨的相似比為g：(3)正方形EFG"

與正方形A8CD的相似比為2

【分析】(1)利用位似比等于柞似比求解；(2)根據(jù)位似的定義和位似比等于相似比解決問(wèn)題：

(3)利用位似比等于相似比求解.

解：(1)因?yàn)椤篜A=6：2=3：1,

所以正方形UKL與正方形ABCD的相似比為3；

(2)正方形1JKL是正方形EPG”的位似圖形，

團(tuán)相似比為：?)

EFEP42

EFEP4

(3)正方形EFG〃與正方形ABC。的相似比為：孑=云=耳=2.

【點(diǎn)撥】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)

應(yīng)邊互相平行(或共線)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.兩個(gè)圖形必須是相

似形：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)：

【舉一反三】

【變式1】(2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，正方形4BCO和正方形反OG是位似圖形，點(diǎn)A的坐標(biāo)

為(3,2),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(T,T),則這兩個(gè)正方形位似中心的坐標(biāo)為()

A.(1,0)或(輔B.(-5.-2)或(—3,—2)

C.(1,0)D.(1,0)或(-5,-2)

【答案】D

【分析】根據(jù)位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，分兩種情況：一種是當(dāng)點(diǎn)E和C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，G

和A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：另?種是A和E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，C和G是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，分別求出直線的函數(shù)解析式，然后求

交點(diǎn)即可.

解：團(tuán)正方形A8CD和正方形日吟G中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,-1),

0E(-L0),G(0,-lX,僅3,O),C(5,O),0(5.2),

(1)當(dāng)點(diǎn)E和C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，G和4是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，位似中心就是EC與4G的交點(diǎn).

設(shè)AG所在的直線的解析式為y=U+b

3k+b=2k=\

<解得

b=-\h=-\

0AG所在的直線的解析式為)，=.■】

當(dāng)丁=0時(shí)，x=l,所以EC與AG的交點(diǎn)為(LO)：

(2)人和￡是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，C和G是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).，則位似中心就是AE與CG的交點(diǎn)

設(shè)4E所在的直線的解析式為V=h+b

3k+b=22

"=0解得

b=-

2

田所在的直線的解析式為)'=g*+g

設(shè)CG所在的直線的解析式為y=k.x+b

5k+b=0

…解得5

b=-\

MG所在的直線的解析式為y=^x-\

11

=-x+-

聯(lián)立《?2解得.

y=-2

5

回4石與。6的交點(diǎn)為(-5,-2)

綜上所述，兩個(gè)正方形的位似中心的坐標(biāo)是(L0)或(-5,-2)

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查位似圖形.涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，求位似中心，正確分情況討論是解

題的關(guān)鍵.

【變式2](2023秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，n△ABC中，ZABC=90°,邊在x軸匕以。為位

似中心，作△A8C與以位似，若C(2,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。(1,2),則中的坐標(biāo)為_(kāi)_____.

【答案】(1,0)

oc

【分析】根據(jù)。(2,4),ZA8C=900,推出B(2,0),求出而值，得到位似比,進(jìn)而求出。4，即可得

解.

解：0ZABC=9O°.C(2,4),

團(tuán)。_Lx軸，8(2,0)；

I3C(2,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C|(l,2),

OB_2

田麗=7

2x1,()L*(1,0)：

0^i的坐標(biāo)為:

故答案為：（L0）.

【點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)系中的位似.熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，求出位似比，是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)六】相似三角形綜合一幾何模型

【例7】（2020秋?四川?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在以8。中，A8=AC=10,4（7=15,點(diǎn)。為

邊8C上一點(diǎn)，且BDvCD,息E為AC中點(diǎn)、,ZADE=NB.

（1）求4。的長(zhǎng).

（2）求證：DA=DE.

【答案】（1）5；（2）證明見(jiàn)分析；

【分析】（1）先證明出△AMI3ADCE,得出照=更，假設(shè)BD為x,則DC=15x,代入分式方程求

DCCE

出BD的長(zhǎng):

（2）由（1）可知N8=NC,推出AAB力團(tuán)△￡）■,得出結(jié)果：

解：（1）0AB=/\C=1O,EZB=ZC,

0Z4￡>E=ZB.町80°-ZAQ￡=1800—N8,

田ZADB+NEDC=ZADB+/BAD,田NEDC=/BAD,

ABBD

g△ABD0ADCE,E—=—,

DCCE

團(tuán)E為AC中點(diǎn)，0CE=|AC=5,

0BC=15,設(shè)6D=x,則DC=15-x,

IOr

即：--==，解得：A-,=5,占=10,

15-A-5

BBDvCD,

[3BQ=5.

(2)由(1)可知3￡>=CE=5,a4B=DC=10,EZB=ZC,

在△A8O和△Q