專題11 勾股定理及其逆定理【九大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題L1勾股定理及其逆定理【九大題型】

【北師大版】

【題型1勾股定理的運用】......................................................................1

【題型2直角三角形中的分類討論思想】.........................................................5

【胭型3勾股定理解勾股樹問通】...............................................................7

【題型4勾股定理解動點問題】.................................................................10

【題型5勾股定理的驗證】.....................................................................14

【題型6直角三角形的判定】...................................................................19

【題型7勾股數(shù)問題1..........................................................................................................22

【題型8格點圖中求角的度數(shù)】................................................................24

【題型9勾股定理及其逆定理的運用】..........................................................27

”7.三

【知識點1勾股定理】

在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.如果直角三角形的兩條直角

邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么Q2+b252.

【題型1勾股定理的運用】

【例I】（2022?和平區(qū)三模）如圖，在△/WC中，/C=90°,AD平分NC48,CD=1.5,80=2.5,則

4c的長為（）

A--------------------B

A.5B.4C.3D.2

【分析】過點。作。E_L48于E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CO=OE,再利用勾股

定理列式求出BE,然后設(shè)4C=AE=x,根據(jù)勾股定理列式計算即可得解.

【解答】解：如圖，過作。于石，

c

p

AEB

,/ZC=90°,A。平分NCAB,CD=1.5,

：.DE=CD=\.5,

在RlAOEB中，由勾股定理得：

BE=y/BD2-DE2=12.52-l.52=2,

*：AD=AD,CD=DE,ZC=ZAED,

/.RtAACD^RtA/lED,

：.AC=AE,

設(shè)AC=AE=x,貝ij48=x+2,

由勾股定理得：AB2=AC2+CB\

即（x+2）2=JT+42,

解得K=3,

；?AC=3.

故選：c.

【變式1-1］（2022春?上杭縣期中）如圖在RtAuABC中,ZB=90°,18=8,AC=10,AC的垂直平分線

DE分別交AB、AC于。、E兩點，則8。的長為（）

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CO=4O，故AB=BD+AD=BD+CD,設(shè)CO=x,則8。=8

?x,在Rt/XBCD中根據(jù)勾股定理求出x的值即可解答.

【解答】解：VZB=90°,A8=8,AC=10,

：.BC=6,

???OE是AC的垂直平分線,

：.CD=AD,

：.AB=BD+AD=BLHCD=S,

設(shè)CO=x,則80=8-x,

在RlZXBCD中，CU^Be+Bb2,

即^=62+(8-x)2,

解得x=6.25.

7

???3。=8-6.25=1.75=4.

4

故選:B.

【變式1-2](2022春?漢陽區(qū)期中)如圖，在△A8C中A8=AC=10,8C=16,若NBAD=3NDAC,則

【分析】先作于點￡作。尸_L4C于點F,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到

AE的值，AO平分NE4C,從而可以得到?！??？冈俑鶕?jù)等面枳法即可求得CO的長.

【解答】解：作AE_L3C于點入作OF_LAC于點凡如圖所示，

**AB=AC=10>BC—16,

???CE=8,

：.AD=y/AC2-CE2=V102-82=6,

設(shè)NCAO=x,則NCAO=3x,

'：AELBC.AB=AC,

：.ZBAE=ZCAE=2xt

：,ZEAD=ZDAC,

:.DE=DF,

設(shè)CD=a,則DE=8-a,

CDAEACDF

?.?=9

22

???AH=8C=18,

*：S2BD=yBD^AH=』?AD?PF+*?BD?PF，

乙乙乙

???PE+PF=AH=\S,

故答案為18.

【題型2直角三角形中的分類討論思想】

[ft2](2022春?長沙月考)己知△A8C中，AB=\3,AC=\5,8。邊上的高為12.則△ABC的面積為

()

A.24或84B.84C.48或84D.48

【分析】在RIA48。和RtAAC。中分別進行計算，求出8。和CD,再根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：：4B=13,AC=15,邊上的高4。=12,

在Rt^ABD中，

BD=>JAB2-AD2=5,

在RtAACD中，

DC=y]AC2-AD2=9,

：.BC=BD+DC=\4,BC=DC-BD=4,

???△48C的面積=/xl4X12=84,或=/x4x12=24；

故選：A.

【變式2-1]（2022春?寧津縣期中）△人4c中，AB=\5,AC=13,高AO=12,則△ABC的周長是（）

A.42B.32C.42或32D.42或37

【分析】本題應(yīng)分兩種情況進吁討論：

（1）當△A8C為銳角三角形時，在RtaABO和RtZ\AC。中，運用勾股定理可將8。和CD的長求出，

兩者相加即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出；

（2）當△ABC為鈍角三角形時，在RtaABO和RtZ\ACD中，運用勾股定理可將BQ和CZ）的長求出，

兩者相減即為BC的長，從而可將△48C的周長求出.

【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：

（1）當△/IBC為銳角三角形時，在RtZvWO中，

BD=y]AB2-AD2=9,

在RtaACO中，

CD=>JAC2-AD2=5

，BC=5+9=14

.'.△ABC的周長為：15+13+14=42；

（2）當△ABC為鈍角三角形時，

在Rl△人8。中，80=9,

在RtZ\AC。中，CD=5,

ABC=9-5=4.

?:△ABC的周長為：15+13+4=32

???當△48C為銳角三角形時，AABC的周長為42：當AABC為鈍角三角形時，△ABC的周長為32.

綜上所述，△ABC的周長是42或32.

故選：C.

【變式2-2]（2022春?香河縣期中）己知直角三角形兩邊的長為5和12,則此三角形的周長為（）

A.30B.7119+17C.VIT^+17或30D.36

【分析】先設(shè)RtZ\A8C的第三邊長為1,由于12是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分12是斜邊或x為

斜邊兩種情況討論.

【解答】解：設(shè)RtZkABC的第三邊長為「

①當12為直角三角形的直角邊時，x為斜邊，

由勾股定理得，.r=V52+122=13,此時這個三角形的周長=5+12+13=30；

②當12為直角三角形的斜邊時，x為直角邊，

由勾股定理得，x=V122-52=VH9,此時這個三角形的周長=5+12+4^=419+17,

綜上所述，該三角形的周長為30或g+17.

故選：C.

【變式2-3]（2022春?海淀區(qū)校級期中）在RLAA8C中，NAC8=90°,AC=4,A8=5.點。在直線AC

上，且8P=6,則線段AP的長為.

【分析】當點P在CA延長線上時，當點尸在AC延長線上時，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：在Rt^AOC中，ZACZ?=90°,AC=4,AD=5,

：.BC=y/AB2-AC2=3,

當點?在C4延長線上時，，：BP=6,8C=6,PK

???CP=yiBP2-BC2=V62-32=3技

：.AP=CP-AC=3y[3-4；\

當點夕在AC延長線上時，?:RP'=6,BC=3,\\

C----節(jié)

:.CP，=3V3,/

:,AC+CP1=4+375,/

綜上所述，線段AP的長為36-4或3痘+4；/

故答案為：30一4或30+4.P

【題型3勾股定理解勾股樹問題】

【例3】（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若

A.4B.6C.8D.12

[分析]根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形4+S正方形B=S正方形￡1,S正方形D-S正方形c=S正方形/解得即M.

【解答】解：由題意：S正方形A+S正方形8=S正方形E'S正方形。-S正方形C=S正方形E，

；?S正方形A+S正方形B=Siu/if；D-5正方形c

???正方形A、B、。的面積依次為6、10、24,

**?24-S正方形。=6+10,

；?S正方形c=8.

故選：C.

【變式3-1]（2021秋?高新區(qū)校級期末）如圖，在四邊形/WCD中，ZDAB=ZBCD=90°,分別以四邊

形的四條邊為邊向外作四個正方形，若SI+S4=135,S3=49,則S2=（）

A.184B.86C.119D.81

【分析】利用勾股定理的幾何意義解答.

【解答】解：由題意可知：S\=AB2,S?=Bd,S3=CD2,S^AI）2,

連接B。，在直角△ABO和△BC。中，

BD2=AD2+AB2=CDr+BC2，

即S1+S4=S3+S2，

因此52=135-49=86,

故選:B.

【變式3-2]（2022春?泗水縣期中）有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生

出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖，

如果繼續(xù)“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請你計算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有正

方形的面積之和為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了I次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律,

根據(jù)規(guī)律解答即可.

【解答】解：由題意得，正方形A的面積為I,

由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面枳=1,

，“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面枳和為2,

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

???“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

???“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2023.

故選：D.

【變式3-3］（2022春?張灣區(qū)期中）如圖①，在△48C中，4c8=90°,AC：BC=4：3,這個直角三角

形三邊上分別有一個正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三

角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是I次操作后的圖形，圖③是2次

操作后的圖形.如果圖①中的直角三角形的周長為12,那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和

為（）

ccc

圖②圖③

A.225B.250C.275D.300

【分析】根據(jù)勾股定理、三角形的周長公式分別求出AC=4,BC=3,A8=5,根據(jù)勾股定理計算得出規(guī)

律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【解答】解：設(shè)4C=4x,則8c=3x,

由勾股定理得：AB=>JAC2+BC2=5X,

???△ABC的周長為12,

3x+4x+5x=12,

解得：尸1，

?"C=4,BC=3,AB=5,

第1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+52=25+50,

第2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42-P32+42+52=25X2+50,

第3次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+424-32+42+32+42+52=25X3+50,

第10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：25X10+50=300,

故選：D.

【題型4勾股定理解動點問題】

[例4]（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，RI/X4CB中，N4CB=90°,AB=25cm,AC=7cm,動點P

從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為由當△AP4為等腰三角形時，/的值為（）

25——

B.一或24或12

2

62562525

C.—或24或12D.標域三或24

96

【分析】當AABP為等腰三角形時，分三種情況：①當AB=B0時；②當AB=AP時；③當3P=A尸時,

分別求出BP的長度，繼而可求得，值.

【解答】解：VZC=90°,AB=25cm,AC=7cm,

BC=24cm.

①當HP=BA=23時,

25

/=’

②當AB=AP時，BP=2BC=48cm,

Ar=24.

③當戶8=以時，PB=PA=Zcm,CP=(24-2r)cm,AC=lcm,

在RtZUCP中，AP2=AC2+CP2,

：.(2t)2=72+(24-2/)2,

解得=零?

綜上，當△4BP為等腰三角形時，右發(fā)”或24或6年25,

故選：D.

【變式4-1](2021秋?宛城區(qū)期末)如圖，在中，NAC8=90",BC=4()cnbAC=30cm,動點

P從點B出發(fā)沿射線BA以2cnt/s的速度運動.則當運動時間/=$時，ABPC為直角三角形.

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度，利用三角形的面積求出斜邊上的高CQ,再分兩種情況

進行討論：①當NBCP為直角時，②當NBPC為直角時，分別求出此時的/值即可.

【解答】解：在8△48C中，NAC4=90°,BC=4()cm,AC=30cmf

：.AB=y/BC2+AC2=V402+302=50(cm).

如圖，作A8邊上的高CD

???SA48C=^AB^CD=

,6八ACBC30x40x（、

??CO=R-=F-=24（州）.

①當N8CP為直角時，點P與點A重合，BP=BA=50cm,

???f=5O+2=25（秒）.

②當N3PC為直角時，。與。重合，BP=2tcm,C尸=24cw,BC=40n〃,

在RtABCP中，*.*B聲+cA=Bd,

???⑵）2+242=402,

解得/=16.

綜上，當1=25或16秒時，△3PC為直角三角形.

【變式4-2]（2022春?蚌山區(qū)校級期中）如圖，在△4BC中，/ACB=90°,AB=\0,4c=8,點P從點

A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線4-B-C運動.設(shè)點P的運動時間為f秒（/＞（））.

（1）BC的長是.

（2）當點P剛好在NZMC的角平分線上時，，的值為.

C

【分析】（1）由勾股定理可直接求解；

（2）過點P作PQ_LAB,結(jié)合題意，由角平分線的性質(zhì)可推得BP,PD,B。的長，再根據(jù)勾股定理即

可求解.

22

【解答】解：（1）在△ABC中，NACB=90°,A8=IO,AC=8,BC=\/AB-AC=6f

故答案為：6；

（2）當點。在NB4C的角平分線上時，過點。作如圖.

I)B

???A尸平分NBAC,BCYAC,尸。_L4B,點尸從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線A-8-C

運動.

APD=PC=\6-2t,BP=2t-10,

：.AD=AC=S,

80=2.

在中,由勾股定理得22+(16-2r)2=(2/-10)2,

解得t=冬

20

故答案為：y.

【變式4-3](2022春?河?xùn)|區(qū)期中)如圖，已知△ABC中，N3=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,尸、。是

△人邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A-8方向運動，且速度為每秒lc〃?，點。從點B開始

沿BfC—A方向運動，且速度為每秒2c加，它們同時出發(fā)，同時停止.

(1)。、Q出發(fā)4秒后，求。。的長；

(2)當點。在邊。上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，△CQA能形成直角三角形？

【分析】(I)根據(jù)題意可以先求出BQ和8P的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得PQ的長;

(2)根據(jù)題意可知存在兩種情況，然后分別計算出相應(yīng)的時間即可.

【解答】解：(1)由題意可得，

BQ=2X4=8(cm),BP=AB-AP=\6-1X4=12(an),

VZB=90°,

22

/.PQ-y/BP+BQ-V122+82-4A/13(CHI),

即PQ的長為4X/T3CW：

（2）當3Q_LAC時，N4QC=90°,

VZB=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,

：-AC=5MB2+BC2=V162+122=20Cem）,

.ABBCACBQ

22

16X122OBQ

/.------=------,

22

解得BQ=普c〃?，

:.CQ=yjBC2-BQ2=J122-（等7=若（cm）,

???當ACQB是直角三角形時，經(jīng)過的時間為：（12+當）+2=9.6（秒）；

當NC8Q=90°時，點。運動到點A,此時運動的時間為：（12+20）4-2=16（秒）；

由上可得，當點。在邊CA上運動時，出發(fā)9.6秒或16秒后，ACQB能形成直角三角形.

【題型5勾股定理的驗證】

【例5】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚

喜的發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利

用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中ND4B=90°,求證：a2^h2=c2

證明：連接。B,過點。作8c邊上的高。F,則。尸=￡。=小?。

.*S四邊影人/JC8=S△4co+S△人月c=引廠+2（ib.

乂,**S四邊形ADCB=S"DB+S么DCB=2。""+2a（匕-。）

.1,）,1,12.1/,、

..—/?~+2a^=2C+2a（。-a）

：,cr+b1=（r

請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明.

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中ND4B=90°.求證：。2+廬=。2.

D

【分析】首先連接BD,過點B作。E邊上的高BF,則8尸=方-“，表示出S五邊形ACBJS,兩者相等，整

理即可得證.

【解答】證明：連接B。，過點5作。E邊上的高則3尸=〃-〃，

2

?：S"邊彪ACBED=S△ACB+SaABE+SMDE=|z?+■^ab,

][*>]

,又■：Sh_邊形ACBED=S/\ACB+S/\ARD+S八BDE=（b-a）?

/.-?/?+*戶+與山=3c2+%（力-a），

/.a2+b2=c1.

【變式5-1]（2022春?巢湖市校級期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法.某同

學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點8是正方形4COE邊CO上一點，連接A&得到直角三角

形AC8,三邊分別為小b,c,將△人C8裁剪拼接至△兒《尸位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖I、圖2的

面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

【分析】連接8a由圖I可得正方形AC'。石的面枳為序,由圖2可得四邊形A4O"的面積為二角形A8"

與三角形3。/面積之和，再利用正方形AC。石的面積與四邊形的面積相等即可證明.

【解答】證明：如圖，連接8匕

圖1圖2

?：AC=b,

???正方形ACDE的面積為從，

?：CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

:.BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

VZCAf=90°,

???NB4C+NBAE=90°,

'：ZBAC=ZEAF,

/.ZEAF+Z^AE=90°,

???△BAE為等腰直角三角形，

???四邊形AB。/7的面積為：-c2+1(b-a)(a+b)=|c2+1(b2-a2),

22LZ

?.?正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，

?看+孤2=%,

a2+b2=c1.

【變式5-2](2021秋?朝陽區(qū)期末)【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個

直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為。、b,

斜邊長為c.圖中大正方形的面積可表示為(a+b)之，也可表示為c2+4x±d?,即(〃+力)2=C2+4X1?/J,

所以a2+b2=c2.

【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一

個直角梯形8CQE,其中△8CA絲△4QE,NC=NQ=90。，根據(jù)拼圖證明勾股定理.

【定理應(yīng)用】在RtZ\A3C中，ZC=90°,NA、NB、NC所對的邊長分別為a、b、c.

求證：crc1+(rlr=ci-/74.

【分析】【嘗試探究】根據(jù)閱讀內(nèi)容，圖中梯形的面枳分別可以表示為必+之(/+從)4c2,即可

證得cr+b2=c2i

【定理應(yīng)用】分解因式，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S=義(a+b)(b+a)=ab+^(i+廬)，

利用分割法，梯形的面積為S=△48C+5&48E+S/t/)E==ab+,

:.“人+：(cr+b~)=ab+,

:.a1+b1=czx

【定理應(yīng)用】\，a2c1+a2b2=a2(c2+Z?2),c4-b4=(c2+b2)(c2-b2)=(c2+Z?2)a1,

.\a1c1+a1b1=c4-b4.

【變式5?3】(2022春?壽光市期中)如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形.

(1)弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為。，較短的直角邊為〃,

斜邊長為c，結(jié)合圖①，試驗證勾股定理.

（2）如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24,0C

=3,求該飛鏢狀圖案的面枳.

（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形43CQ,正方形由G”,正方形MNK7'

的面積分別為Si,S2,S3,若SI+S2+S3=40,則52=.

【分析】（1）通過圖中小正方形面積證明勾股定理；

（2）可設(shè)AC=x,根據(jù)勾股定理列出方程可求-再根據(jù)直用三角形面積公式計穿即可求解：

（3）根據(jù)圖形的特征得出四邊形MNK7的面積設(shè)為x,將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y,從而

用x,『表示出Si,S2,S3,得出答案即可.

【解答】解:⑴S小正方形=（a-/?）2=a2-2ab+b2,另一方面5小正方形=。2-4x^ab=（T-2ab,

即b2-2ab+a1=c2-2ab,

則a2+b1=c1.

（2）24+4=6,

設(shè)AC=x,依題意有

（x+3）2+32=（6-x）2,

解得x=\,

1

-x（3+1）X3X4

2

=^X4X3X4

=24.

故該飛鏢狀圖案的面積是24.

（3）將四邊形M7KN的面積設(shè)為x,將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為戶

???正方形4BC。，正方形EFG/7,正方形MNKT的面積分別為Si,S2,S3,Si+52+53=40,

，得出S\=8y+x>S2=4y+x,$3=x,

/.5i+52+53=3x+l2y=40,

?..x4+4)'=丁40,

S2=x+4y=孚

40

故答案為：y.

【知識點2勾股定理的逆定理】

如果三角形的三邊長a,b,c滿足小+肥=。2,那么這個三角形就是直角三角形.

【題型6直角三角形的判定】

【例6】(2022春?綏寧縣期中)若△A3C的三邊長分別為a、b、c,下列條件中能判斷8c是直角三角

形的有()

①NA=N8-ZC,②N4：NB：ZC=3：4：5,③NA=90°-NB,@ZA=ZB=|zC,⑤/=(〃+c)

(b-c),⑥a：b：c=5：12：13.

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可.

【解答】解：①???/?=N8-NC,

ZA+ZC=ZB,

VZA+ZZ?+ZC=180°,

.?./O=9f)°.

.??是直角三角形；

②???NA：ZB：ZC=3：4：5,

NA+N8+NC=180°,

???/C=75°,不是直角三角形;

③?.?/4=90°-NB,

AZA+Z?=90n，

VZA+ZZ?+ZC=180o,

???NC=90°,

???是直角三角形；

④??,Z>4=ZB=1ZC,

ZA+Z5+ZC=180°,

???NC=90°,是直角三角形；

⑤二/=(〃+c)(/?-c)?

/.a2=lr-c2,

a2+c2=b2,是直角三角形；

⑥???。：b：c=5：12：13,

/.52+122=132,

??./+廬二科,是直角三角形；

故選：C.

【變式6-1](2022春?贛州月考)下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是()

Q4

A.在△ABC中，若“=**，b=^c.則△ABC為直角三角形

B.三邊長的平方之比為1：2：3

C.三內(nèi)角之比為3：4：5

D.三邊長分別為小b,c,c=l+〃2,a=tj1-1?b=2nCn>1)

【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，看看是否相等，即可判斷選項4、選項B和選

項。；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)，即可判斷選項C.

4

--

【解答】解：A.?.,。=尹,5

?才”=射十景―

???△A8c是直角三角形，故本選項不符合題意；

B.???三邊長的平方之比為1：2：3(1+2=3),

???此三角形的兩小邊的平方和等于最長邊的平方，

???此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

C.???三角形的三內(nèi)角之比為3：4：5,三角形的內(nèi)角和等于180°,

5

???最大角的度數(shù)是——X1800=75°<90°,

3+4+5

???此三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；

D.Vc=l+n2,a=n2-1,b=2n,

???/+/=(J-1)2+(2〃)2=n4-2ZZ2+I+4??2=H4+2H2+1,

(I+n2)2=]+2〃2+〃4,

.*.cj2=o2+/72>

???△A8C是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：C.

【變式6-2]（2022春?漢濱區(qū)期中）若△A8C的三邊長久4c滿足（a-c）2=b2-2ac,則（）

A.N4為直角B.NB為直角

C.NC為直角D.ZVIBC不是直角三角形

【分析】根據(jù)已知條件可得。2+。2=廬，即可判定△A3C的形狀.

【解答】解：,:（a-c）2=b2-lac,

.\a2+c2=b1,

???△48C是直角三角形，且NB是直角，

故選:B.

【變式6-3]（2022春?開州區(qū)期中）下列是直角三角形的有（）個

①△AKC中/=02-廬

②△48C的三內(nèi)角之比為3：4：7

③△ABC的三邊平方之比為1：2：3

④三角形三邊之比為3：4：5

A.IB.2C.3D.4

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理進行計算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：①???a2=c2-/,

a1+b1=c1,

???△A8C是直角三角形：

②???△ABC的三內(nèi)角之比為3：4：7,

???△A8c中最大角的度數(shù)為：180"x=90。,

O"iii"/

是直角三角形；

③???△ABC的三邊平方之比為1：2：3,

???設(shè)三邊的平方分別為億2k,3總

■:k+2k=3匕

???△A8C是直角三角形；

④???三角形三邊之比為3：4：5,

???設(shè)三邊分別為3a,4?,5a,

???（3。）2+（4a）2=（5。）2,

.二△ABC是直角三角形，

所以，上列是直角三角形的有4個，

故選：D.

【題型7勾股數(shù)問題】

【例7】（2022春?滑縣月考一）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記

錄在如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1017263750

則當。=24時，He的值為（）

A.162B.200C.242D.288

【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出尻。的值，再求出答案即可.

【解答】解：從表中可知:a依次為6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,即24=2X（10+2）,

b依次為8,15,24,35,48,…,即當。=24時,b=122-1=143,

c依次為10,17,26,37,50,即當。=24時，C=I22+1=I45,

所以當a=24時，Z>+c=143+145=288.

故選：。.

【變式7-1]（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀

察下列勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為

I.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17：若此類勾

股數(shù)的勾為2〃?（623,加為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含〃?的式子表示）.

【分析】根據(jù)題意得2〃?為偶數(shù)，設(shè)其股是“，則弦為。+2,根據(jù)勾股定理列為程即可得到結(jié)論.

【解答】解：???，”為正整數(shù)，

???2m為偶數(shù),設(shè)其股是。，則弦為°+2,

根據(jù)勾股定理得，（2/n）W=（。+2）2,

解得d=m2+l，

綜上所述，其弦是〃尸+],

故答案為：病+1.

【變式7-2】（2022春?白云區(qū)期末）（1）3k,4k,5k（女是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請證明：

如果不是，請說明理由；

（2）如果“，4c是一組勾股數(shù)，那么ak,bk,是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請證明；

如果不是，請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足/+必=/的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷弘，4k,5k（k

是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)；

（2）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足/+必=）的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可判斷,次，伙，是正整

數(shù)）是不是一組勾股數(shù).

【解答】證明：（1）3k,4k,5k（女是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：

??”是正整數(shù)，

???3）,4七5%都是正整數(shù),

???（3%）2+⑷）2=（5k）2,

：,3k,4匕5k（女是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)；

（2）ak,bk,ck（人是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，理由如下：

??％,b,。是一組勾股數(shù)，且A是正整數(shù)，

ak,bk,以是三個正整數(shù)，

122

\'a+b=cf

:.（ak）2+（尿）2=/必+必3=（/+/）必=?必=（ck）2.

???〃，bk,cka是正整數(shù)）是一組勾股數(shù).

【變式7-3］（2022?石家莊三模）已知:整式A=/+1,8=2〃,C=n2-1,整式C>0.

（1）當〃=1999時，寫出整式A+B的值（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；

（2）求整式屋■蟲;

（3）嘉淇發(fā)現(xiàn)：當〃取正整數(shù)時，整式A、B、。滿足一組勾股數(shù)，你認為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明

理由.

【分析】（1）根據(jù)題意可得，A+B=（〃2+I+2〃）=（〃+1）2,把?=1999代入計算應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表

示方法進行計算即可得出答案；

（2）把A=M+I,B=2〃，代入儲-廣中，可得（/+］）2.（2〃）2,應(yīng)用完全平方公式及因式分解的

方法進行計算即可得出答案；

(3)先計算用+上=⑵)2+(〃2?1)2,計算可得(〃2+[)2,應(yīng)用勾股定理的逆定理即可得出答案.

【解答】解：(1)A+B-(/?~+1+2n)=(〃+1)2,

當〃=1999時，

原式=(1999+1)2

=208)2

=4X106；

故答案為:4X106；

(2)A2-B2=(n2+l)2-⑵)2

=(/)2+2/r+l-4/r

=(J)2-2ir+\

=(/-I)2;

(3)嘉洪的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：

V?2+C2=⑵)2+(/22-1)2

=4,a+(M)2-2/+1

=(n2+l)2,

:.B2+C2=A2,

???當〃取正整數(shù)時，整式4、B、C滿足一組勾股數(shù).

【題型8格點圖中求角的度數(shù)】

[ft8](2021秋?伊川縣期末)如圖，正方形A8CQ是由9個邊長為1的小正方形組成的，點E,尸均在

格點(每個小正方形的頂點都是格點)上，連接AE,AF,則NE4/的度數(shù)是.

【分析】先連接ER然后根據(jù)勾股定理可以求得A￡、EF、A”的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可■判斷

△A加'的形狀，再根據(jù)AE和E尸的關(guān)系，即可得到NE4戶的度數(shù).

【解答】解：連接ER如右圖所示，

設(shè)每個小正方形的邊長為1,

22

則AE=Vl+2=V5,EF="2+22=遍，AF=仔與字=同,

：.AE1+EF2=(V5)2+(V5)2=5+5=10=(V10)2=AF1,

???△AE/是直角三角形，NAE尸=90°,

又?：AE=EF,

/.ZEAF=ZEM=45°,

【變式8-1]（2022?惠山區(qū)一模）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點A,B,尸是網(wǎng)格線

為交點，則

【分析】延長4尸交格點于。，連接B。，根據(jù)勾股定理和逆定理證明/尸。8=90°,根據(jù)三角形外角的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：延長AP交格點于。，連接/3Q，

則P/92=BD2=l2+22=5,PB2=\2+32=10,

：.PD2+DB2=PB2,

：.ZPDB=90Q,

AZDPB=ZPAB+ZPBA=45°.

故答案為：45.

【變式8-2]（2022春?武侯區(qū)校級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,

C,D,P都在格點上，連接AP,CP,CD,則/%B-NPCD=.

p

【分析】連接4E，PE,求出N秒1B?N尸CO=N%E,根據(jù)勾股定理求出4尸、PE、AE,根據(jù)勾股定理

的逆定理求出△鬼三是直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可.

【解答】解：如圖所示：連接AE,PE,

則△PCOgZSEAF,

所以NPCD=NE4F,

：.^PAB-NPCD=/MB-ZEAF=ZR\E,

??,由勾股定理得:AP2=PE2=22+\2=5,A￡2=32+l2=10,

:.AP2+PE2=AE2,

???△弘E是等腰直角三角形，

：,ZPAE=45°,

3PZMB-ZPCD=ZPAE=45°,

故答案為：45°.

【變式8-3］（2022春?孝南區(qū)期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△A8C和△CQE的頂點都是網(wǎng)格線交

點，那么N8C4+NDCE=.

【分析】連接40,構(gòu)建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：ZADC=90°,NACD=45°,最

后根據(jù)平角的定義可得結(jié)論.

【解答】解：連接A。，

由勾股定理得:AD2=12+32=1O,CD2=12+32=IO,AC2=22+42=20,

：.AD=CD,AD1+Cb1=AC2,

AZADC=90°,

：.ZCAD=ZACD=45°,

觀察圖形可知，△8FC和△CGE都是等腰直角三角形,

AZ?CF=45°，/石CG=45°,

???/8C4+/OCE=l80°-45c-45°-45°=45°,

故答案為:45°.

【題型9勾股定理及其逆定理的運用】

【例9】（2021秋?藍田縣校級期末）如圖，在△人BC中，AB=AC,。是CA的延長線上一點，連接8D.

（1）若人C=8,AD=\1,BD=15,判斷人8與8。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若NO=28。，ZD/?C=121°,求NDA4的度數(shù).

【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；

（2）由三角形內(nèi)角和定理求出NC=31°,由等腰三角形的性質(zhì)得出NC=N4BC=31°,則可得出答

案.

【解答】解：（1）AB_L4Q.

理由:VAC=8,AD=17,40=15,

/.AC^+BD2=82+152=289,AD2=289,

：.AC1+Bb1=Ab1,

，NOBA=90°,

(2)?；/。=28°,ZDBC=