專題19【五年中考+一年模擬】圓壓軸題-2023年寧波中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題19圓壓軸題

1.（2023?寧波）如圖1,-O為銳角三角形A5C的外接圓，點(diǎn)。在8c上，AD交BC于點(diǎn)、E,點(diǎn)F在AE

上，滿足“歸一/區(qū)下￡>=NACB，F(xiàn)G//AC交BC于點(diǎn)G,BE=FG,連結(jié)4力，DG.設(shè)ZACH=a.

（1）用含a的代數(shù)式表示?0.

（2）求證：^BDE=^FDG.

<3）如圖2,4）為C。的直徑.

①當(dāng)A8的長為2時，求AC的長.

②當(dāng)OF:OE=4:11時，求cosa的值.

2.（2023?寧波）如圖I,四邊形A8CD內(nèi)接于。BD為直徑,4。上存在點(diǎn)E,滿足AE=C。，連結(jié)BE

并延長交CD的延長線于點(diǎn)/，BE與AD交于點(diǎn)、G.

（1）若NDBC=a,請用含a的代數(shù)式表示NAG8.

(2)如圖2,連結(jié)CE,CE=BG.求證：EF=DG.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連結(jié)CG,AD=2.

①若lan/4OB=^,求AFGO的周長.

2

②求CG的最小值.

3.（2023?寧波）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)向相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該

三角形第三個內(nèi)角的遙望角.

（1）如圖1,NE是MAC中N4的遙望角，若NA=a,請用含a的代數(shù)式表示NE.

（2）如圖2,四邊形A3CO內(nèi)接于O,AD=BD,四邊形A88的外角平分線。/交O于點(diǎn)F,連接

斯并延長交CO的延長線于點(diǎn)E.求證：N8E■。是中NBAC的遙望角.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AE,AF,若AC是0。的直徑.

①求NA￡Z）的度數(shù);

②若A8=8,8=5,求ADE廠的面積.

圖1圖2圖3

4.（2023?寧波）如圖1,。經(jīng)過等邊根笈。的頂點(diǎn)A,C（圓心O在A4BC內(nèi)），分別與帥，CA的延

長線交于點(diǎn)。，E,連接/）￡,BF工EC交AE于點(diǎn)、F.

（1）求證：BD=BE.

（2）當(dāng)AF:所=3:2,AC=6時，求AE的長.

Ap

（3）設(shè)---=x>tanZ.DAE=y.

EF

①求），關(guān)于1的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖2,連接竹，OB,若AAEC的面積是△。所面積的10倍，求y的值.

圖1圖2

3

5.（2023?寧波）如圖1,直線/:>=-二x+〃與x軸交于點(diǎn)八（4,0）,與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C是線段04上一

4

動點(diǎn)(0<AC<§).以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作CA交x軸于另一點(diǎn)。，交線段A4于點(diǎn)E，連接0E并

延長交CA于點(diǎn)尸.

V5C

圖1圖2備用圖

(1)求直線/的函數(shù)表達(dá)式和tarNK4O的值；

(2)如圖2,連接CE,當(dāng)CE=M時，

①求證：AOCES^OEA；

②求點(diǎn)石的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段04上運(yùn)動時，求OE防的最大值

6.(2023?鎮(zhèn)海區(qū)一模)如圖，。是AA8C的外接圓，.點(diǎn)。在上，連結(jié)/汨，DC,DA,過點(diǎn)C作4。

的平行線交4)于點(diǎn)石.

(1)如圖1,求證：AABC^ACDE；

(2)如圖2,若Nfi^=NC4D=30°,AB=6,BD=-4,求。石；

(3)如圖3,/為A43c的內(nèi)心，若/在線段AE上，/3=10,tanZBAD=-,當(dāng)歸最大時，求出&O的

5

半徑.

三

圖1圖2圖3

7.(2023?寧波模擬)如圖①，在RSABC中，ZC=90°,。是AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，以A為

圓心，AD長為半徑作A交AB于點(diǎn)、E,連結(jié)8。并延長交于點(diǎn)/，連結(jié)￡D,EF,AF.

(1)求證：NEAF=2ZBDE；

(2)如圖②，若NEBD=2NEFD,求證：DF=2CD;

(3)如圖③，BC=6,AC=8.

①若ZE4F=90°,求4的半徑長：

②求的?。石的最大值.

8.(2023?北侖區(qū)一模)有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形.

(1)如圖1,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形4AC7)中，AD=CD,且AD//BC,BC=2AD,則4=

(2)如圖2,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形八AC7)中，/戌1。=90°,且BC=CD,求證：AB+AD=gAC.

(2)如圖3,四邊形ABC。內(nèi)接于:O,連結(jié)。O并延長分別交AC,BC于點(diǎn)、E,F,交O于點(diǎn)G,

24

若點(diǎn)石是AC的中點(diǎn)，AB=BG,UmZABC=—,AC=6,求尸G的長.

7

9.(2023?寧波模擬)如圖，已知是［O的直徑，弦CO_LA6于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是線段CD延長線.上的一點(diǎn),

連結(jié)￡4交一O于點(diǎn)G,連結(jié)CG交A”于點(diǎn)連結(jié)C4.

(1)求證：Z4CG=ZF.

(2)如圖②，若C4=CG,求證：AG=CD.

(3)如圖③，連結(jié)OG,AE=8.BE=2.

a

①若tan/.F=—,求AP的長；

4

②求AG-QG的最大值.

10.（2023?寧波一模）如圖1,在等腰AABC中,AB=AC=2y/3,NK4C=120。，點(diǎn)。是線段4c上一點(diǎn),

以DC為直徑作C。，O經(jīng)過點(diǎn)4.

（1）求證：是_Q的切線；

（2）如圖2,過點(diǎn)A作A￡_L3C垂足為E,點(diǎn)尸是O上任意一點(diǎn)，連結(jié)律.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸是。。的中點(diǎn)時，求生的值；

BF

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)F是「。上的任意一點(diǎn)時，變的值是否發(fā)生變化？請說明理由.

BF

（2）在（2）的基礎(chǔ)上，若射線8尸與CO的另一交點(diǎn)G,連結(jié)跖，當(dāng)NGEF=90°時，直接寫出|W-EGI

的值.

11.（2023?北侖區(qū)二模）【證明體驗】

⑴如圖1,一O是等腰AABC的外接圓，AB=AC,在AC上取一點(diǎn)P,連結(jié)/IP,BP,CP.求證:

ZAPB=NPAC+ZPC4；

【思考探究】

（2）如圖2,在（1）條件下，若點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，A4=6，PB=5,求小的值：

【拓展延伸】

（3）如圖3,。的半徑為5,弦BC=6,弦CQ=5,延長"交的延長線于點(diǎn)￡,且/4Z?P=NE,

求PE的值.

12.（2023?鄲州區(qū)模擬）如圖，為。的直徑，弦C/）交裕于點(diǎn)石，且=

（1）求證：ZBAC=3ZACD；

（2）點(diǎn)尸在弧/?。匕Fl./CDF=-/AEC,連接B交干點(diǎn)G,求訐：CF=CD：

2

<3）①在（2）的條件下，若06=4,設(shè)O￡=x,FG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

②求出使得y有意義的x的最小整數(shù)值，并求出此時。。的半徑.

13.（2023?海曙區(qū)?模）【基礎(chǔ)認(rèn)知】

（1）如圖1,點(diǎn)4為NM/W內(nèi)部一點(diǎn)，ABUPN交PM于點(diǎn)、B,己知4?=尸8,求證：小平分NM/W；

W

M

圖1

【綜合運(yùn)用】

（2）在（1）的情況下，作AHJLPN于點(diǎn)H.

①如圖2,若AP=12,PH=9,求心的長;

②如圖3,延長A”至點(diǎn)C,使C〃=A〃，過2，A,C三點(diǎn)作圓交/W于點(diǎn)。，交尸區(qū)的延長線于點(diǎn)石.若

BP=a,求圓的直徑；（用含，的代數(shù)式表示）

③在（2）的情況下，設(shè)O〃=x,BE=y,當(dāng)〃=6時，求），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

14.（2023?寧波模擬）如圖1,AWC內(nèi)接于［O,AABC的外向NfiAD的平分線交O于點(diǎn)P（點(diǎn)A在弧

PC之間），連結(jié)心，PC.

（1）求證：PB=PC.

（2）若BC=8,cosZBAC=~,求尸8的長.

5

（3）如圖2,在（2）的條件下，作PHLAB于點(diǎn)H.

①若NPA4=45。，求AA8C的周長.

②求AC+P”的最大值.

15.（2023?海曙區(qū)校級?模）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于半圓。，是半圓O的直徑,CE是半圓O的切

線，CE_LAD交4）的延長線于點(diǎn)E,DE=-BC,OE與相交于點(diǎn)/，連結(jié)斯并延長交AE的延長

4

線于點(diǎn)G,連結(jié)CG.

（1）求證：AD//BC.

（2）探究O尸與防的數(shù)量關(guān)系.

（3）求tanNG4C的值.

備用圖）

16.（2023?鄲州區(qū)校級一模）等腰三角形4AG中A/=AG，且內(nèi)接于圓O,。、石為邊回G上兩點(diǎn)（。在產(chǎn)、

￡之間），分別延長A。、AE交園。于6、C■兩點(diǎn)（如圖1）,記NfiA尸=a,ZAFG=/?.

（1）求NAC5的大?。ㄓ胊,￡表示）；

（2）連接b,交4?于-H（如圖2）.若尸=45。,且3CxEF=AExCF.求證：ZAHC=2ZBAC；

（3）在（2）的條件下，取C”中點(diǎn)M,連接。必、GM（如圖3）,若NOG"=2nr-45。，

①求證：GMi/BC,GM=-BC；

2

②請百接寫出空?的信.

MC

17.（2023?江北區(qū)?模）如圖1,四邊形A6C7）是、。的內(nèi)接四邊形，其中4?=A。，對角線AC、4。相

交于點(diǎn)石，在AC上取一點(diǎn)尸，使得A尸=/W,過點(diǎn)尸作G”-4c交O于點(diǎn)G、H.

（1）證明：MED~^ADC.

(2)如圖2,若AE=1,且G4恰好經(jīng)過圓心O,求以的值.

(3)若AE=1,EF=2,設(shè)跳的長為x.

①如圖3,用含有x的代數(shù)式表示MCO的周長.

②如圖4,AC恰好經(jīng)過圓心O,求MCO內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值.

18.(2023?寧波模擬)定義：四邊形/WCD中，AH=AC,NBDC=、NBAC,則稱四邊形為半角

2

四邊形，邊4c稱為半對邊.

(1)如圖①，若四邊形A4CO為半角四邊形，且AC為半對邊，設(shè)NDBC=a,用含有a的代數(shù)式表示

Z4C7)：

(2)如圖②，等腰AABC，AB=4C，點(diǎn)。為其內(nèi)部一點(diǎn)，ZABD=ZACD,連結(jié)4),作AAC。的外接

圓O，加＞的延長線交O于點(diǎn)E,連結(jié)￡4,EC,求證：四邊形A8CE為半角四邊形；

(3)如圖③，在(2)的條件下，延長84交C。于點(diǎn)尸，連結(jié)比'，EF//BC.

①求證：BC=CE；

②若4)=3,BC=6g,求四邊形ADEF的面積.

19.(2023?鄲州區(qū)一模)如圖1,AAAC中，AC邊上的中線AM=AC,延長/W交AABC的外接圓于點(diǎn)。,

過點(diǎn)。作OE//BC交圓于點(diǎn)￡,延長交/W的延長線于點(diǎn)F,連接CK.

(1)若NAC8=60。，BC=4,求和。尸的長；

（2）①求證：BC=2CE；

②設(shè)tanZACB=x,f=y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖2,作NCJ.AC交線段AD千N,連接EN,當(dāng)MBC的面積是AC0V面積的6倍時，求tanZACB

的值.

20.（2023?慈溪市一模）如圖1,在0。中，”為弦A8的中點(diǎn),過點(diǎn)”作直徑CO,E為線段上一

點(diǎn)，連結(jié)AE并延長交。。于點(diǎn)F,連結(jié)M,AE=BF.

（1）證明：AC=BF.

(2)當(dāng)￡M:QE=2時，求tan/EAB.

<3）如圖2,連結(jié)CV交4?于點(diǎn)G,當(dāng)8=2時，設(shè)AGAB-y,求），大于x的函數(shù)解析式,

并確定），的最大值.

21.（2023?鎮(zhèn)海區(qū)二模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB:），=履+6*<0）與x軸交于點(diǎn)4,與），軸

交于點(diǎn)A,點(diǎn)。是.1軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過A、B、C三點(diǎn)的（圓心M落在第四象限）交），軸負(fù)半軸

于點(diǎn)。，連結(jié)CZ）,已知NAC8=2NADC=%.

(1)ZDAI3=(請用a的代數(shù)式表示)，并求證：DA=DB^

(2)若〃=-L,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

2

(3)如圖2,連結(jié)人用并延長，交AC于點(diǎn)尸，交M于點(diǎn)E,

①若求8”的長；

②若38尸=28,請直接寫出四邊形ABDC的面枳.

22.(2023?余姚市一模)如圖1,在RtAABC中，A/i=AC=4,AQ_L4c于。，E為A8邊上的點(diǎn)，過4、

。、E三點(diǎn)的0。交AC于尸，連結(jié)DE,DF.

(1)求證：AE=CF.

(2)若tan乙W=3,求O的面積.

(3)如圖2,點(diǎn)尸為DE上一動點(diǎn)，連結(jié)夕力，PE,PF.

①若P為OE的中點(diǎn)，設(shè)AE為x,APZ加的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

②在點(diǎn)?運(yùn)動過程中，試探索出)，PE,尸尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

23.(2023?江北區(qū)模擬)如圖1,四邊形A8CD內(nèi)接于_O,C是弧4。的中點(diǎn)，N/幽的平分線交AC于

點(diǎn)、E.

(1)求證；CB=CD=CE.

(2)如圖2,尸是。。上的動點(diǎn)，連結(jié)8并延長交直線雙)于點(diǎn)G,連結(jié)砂，EG,求證：CE?=CFCG.

(3)如圖3.在(2)的條件下，若切是C。的直徑，且點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于9對稱.

①當(dāng)tanZA8Z)="!"時，求空的值.

2EG

②若求CG的最小值.

24.（2023?寧波模擬）如圖，A〃為半。的直徑，點(diǎn)。是圓弧上一點(diǎn),Q為AP上的點(diǎn)，且4P=4尸Q,

過。作弦MN,使點(diǎn)尸為MN的中點(diǎn)，連結(jié)AM,AN,PM,PN.

（1）如圖①，若MN//AB,且AB=16,求MN的長.

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸是半（O上任一點(diǎn)M.求證：AN=2NQ.

如圖②，若風(fēng)％=.i,生”

y?求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

SAAMNS1M2M

如圖②，當(dāng)tan/PAN=且時,

(4)

5

25.（2023?寧波模擬）已知為QO的直徑，弦C￡＞交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與O重合），連結(jié)AC,AD,

AC=AD.

（1）如圖1,求證；AB±CD.

（2）如圖2,過點(diǎn)。作弦O〃_LAC于點(diǎn)G,求證：DB=BC=CH.

（3）如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)Q為弧4）上一點(diǎn)，連結(jié)AQ,HQ,HQ交AB于點(diǎn)P,若4Q=1,

DE=3,Z/7P^+2ZC4B=9O°.

①求AP的長；

②求O的半徑.

26.(2023?寧波模擬)如圖，AABC內(nèi)接于CO，AB=AC,點(diǎn)。為劣弧AC上動點(diǎn)，延長4),BC交于

點(diǎn)E,作Of7/A8交于尸，連結(jié)b.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)時，求證：DF=BC；

(2)如圖②，若C產(chǎn)=C4,ZABC=a,請用含有a的代數(shù)式表示NE；

(3)在(2)的條件下，若BC=CE,

①求證：AC+AD=DE；

②求tanNK的值.

圖①圖②

27.(2023?端州區(qū)校級三模)如圖，是CO的直徑，點(diǎn)。是上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)

D作AB的平行線交CB的延長線于點(diǎn)E.

(I)如圖1,求證：AADC^ADEC；

(2)若。。的半徑為3,求C4-CE的最大值；

(3)如圖2,連接AE,設(shè)tanNABC=x,tanZAEC=y,①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式：②若色=之，求

-BE5

)，的值.

cc

ED

（即）

（圖2）

28.（2023?鄲州區(qū)模擬）如圖1,銳角A48D（A8vA。）內(nèi)接于CM,弦AC_L4O于點(diǎn)O.已知?例半徑

為5,且AC=8D.

（1）求證：AAOD為等腰直角三角形.

（2）若OC=1,求AABD的面積.

（3）若tan/弘O=x,43。的面積為y,求），關(guān)于"的函數(shù)解析式,

（4）如圖2,若A44O的面積為-，點(diǎn)、E,“分別在0/1,MD上,連結(jié)EF,ME,若ZDEF=NDAB,

2

求A/W箱面積的最大值.

€）.1o?

C

圖1備用圖圖2

29.（2023?海曙區(qū)校級模擬）如圖，在O的內(nèi)接四邊形A3CD中AC,8。是它的對角線，AC的中點(diǎn)/是

的內(nèi)心.

（1）當(dāng)O,/重合時，直接寫出AC，BD的位置關(guān)系,數(shù)量關(guān)系：直接判斷四邊形小C。的形狀.

（2）找出所有與線段8相等的線段，并說明理由.

（3）求AAB。，MC7）的面積之比.

（4）若cos/8AO=，，設(shè)BC為x,△48/的面枳為y,求出,：與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

9

6a

cc

30.（2023?海曙區(qū)校級三模）如圖，O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)￡,點(diǎn)?是C。延長線上異于點(diǎn)。的

一個動點(diǎn)，連結(jié)AP交二。于點(diǎn)Q,連結(jié)CQ交A"于點(diǎn)"，連結(jié)AC,L）Q.

（1）求證：ZACQ=ZCPA；

⑵若45=10,8=8,

①若收）=4,求CQ的長；

②若尸。=一少■=），，求），與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

SbQDC

（3）在（2）的條件下，求人。?。。的最大值.

備用圖

專題19圓壓軸題

1.（2023?寧波）如圖I,0。為銳角三角形A4C的外接圓，點(diǎn)。在8c上，AD交BC于點(diǎn)、

E,點(diǎn)尸在AE上，滿足ZAFB-ZBFD=〃\CB,FGi/AC交BC于點(diǎn)、G,BE=FG,連

結(jié)BD,DG.設(shè)ZACB=a.

(1)用含a的代數(shù)式表示N甌.

<2)求證：MDE三AEDG.

(3)如圖2,4)為C。的直徑.

①當(dāng)?shù)拈L為2時，求AC的長.

②當(dāng)=時，求cosa的值.

:

、---------'D

圖1圖2

答案：(1)ZBFD=90°--；(2)見解析；(3)①3；②』

28

【詳解】(1)ZAFB-Z.BFD=ZACB=a，①

又?.ZAra+ZfiFD=180c,②

②一①，得2N3P￡>=18(r-a,

AZBFD=90°--；

2

(2)rtl(1)得/8匹。=90。一巳，

2

-ZADB=ZACB=a,

/.ZFBD=180o-ZA￡>B-Z5FD=90°--,

2

：.DB=DF,

?.FG//AC,

:.ZCAD=ZDFG,

4CAD=QBE,

:"DFG=4DBE,

在的。石和"7X7中，

DB=DF

<NDFG=NDBE,

BE=FG

:.MDE=MDG(SAS)；

(3)①?.MDEwNDG,

;./FDG=/BDE=a，

ZBDG=ZBDF+ZEDG=2a,

?.DE=DG,

ZDGE=-(180°-ZFDG)=90°--,

22

ZDBG=\S00-ZBDG-ZDGE=90°-—,

2

A￡>是O的宜徑，

:.ZABD=90P，

3a

ZABC=/ABD-/DBG=—，

2

/.AC與AB所對的圓心角度數(shù)之比為3:2,

.??AC與A8的長度之比為3:2,

?/Ali=2,

AC=3；

②如圖，連接30,

OB=OD,

Z.OBD=Z.ODB=a，

...乙BOk=4OBD+NO/M=la,

/BDG=2a,

"BOF=/BDG,

???ZBGD=ZBFO=90°--,

2

:.^BDG^\BOF,

設(shè)ABDG與ABOF的相似比為女,

DGBD,

/.-----=——=k,

OFBO

OF4

??,—=一，

OE11

.?.設(shè)O尸=4x,則QE=1LJDE=DG=4kx,

OB=OD=OE+DE=\\x+4kx,BD=DF=OF+OD=\5x+4kx

?_B_D___\_5_x_+__4_k_x__1_5_+__4_攵

.7）B~\\x+4kx~\\+4k'

由！5+4〃=4,得4攵2+74-15=0,

ll+4k

解得Z=*或-3（舍去），

4

:.OD=\\x+4kx=\6x,B￡>=l5x+4收=20x，

:.AD=2OD=32x,

在RlAABD中，cosZAD^=—=—=-,

AD32x8

5

cosa=-.

8

方法二：連接。8,作8W_LAD于M,

由題意知，和M即都是等腰三角形，

:.EM=MF,

設(shè)OK=11,。尸=4,

設(shè)DE=m,則O8="?+ll,OM=3.5,BD=m+\5,DM=m+75,

:.OB2-OM2=BD2-DM2,

即(m+11)2-3.52=(/n+l5)2-(m+7.5)2,

解得〃7=5或〃2=—12(舍去)，

MD5

/.cosa=------=—.

BD8

2.(2023?寧波)如圖1,四邊形內(nèi)接于OO,BD為直徑,上存在點(diǎn)E,滿足

AE=CD,連結(jié)班并延長交8的延長線于點(diǎn)"，BE與AD交于息G.

(1)若NDBC=a,ila的代數(shù)式表示NAG瓦

(2)如圖2,連結(jié)C￡,CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2),連結(jié)CG,AD=2.

①若tanZADB=—,

2

②求CG的最小值.

圖1

答案：(1)ZAG?=90°-a：(2)見解析?：(3)①上史；②G

2

【詳解】(1)?.必為co的直徑，

.?.440=90°,

7AE=CD,

.?.ZABG=ZDBC=a,

ZAGB=900-a：

(2)BD為1O的直徑，

.".ZBCD=90°,

.?./BEC=/BDC=90°-a,

:.ZBEC=ZAGB,

NCE尸=180°-/8石C，NBGD=180。一4GB,

:.NCEF=ZBGD,

乂CE=BG，占CF=4GBD,

..ACFE^ABDG(ASA),

:.EF=DG；

（3）①如圖，連接￡>￡,

4。為O的直徑,

:./A=/RF.D=^r,

在RtAABD中，tanZADB=—,AD=2,

2

/.A/3=—xAD=>/3f

2

,?AE=CD,

AE+DE=CD+DE,

即AD=CE,

.\AD=CE,

?.CE=BG,

BG=AD=2，

?.?在RtAABG中，s\nAAGB=—=—

BG2

/.ZAGB=60°,AG=-BG=\,

2

,.EF=DG=AD-AG=\,

?.?在RtADEG中，ZEGD=60°,

.MM1HP6MG

?.EG=—DG=—，DE=—DG=—，

2222

在RlAFED中，DF=>1EF2+DE2=—

2

...1G+DG+Of=5+",

2

.?.AFG。的周長為壬2；

2

②如圖，過點(diǎn)C作C”LB/7于”，

△BDG^ACFE,

;.BD=CF,4CFH=/BDA,

vZBAD=ZCHF=90°,

/.ABAD=ACHF(A4S),

:.FH=AD,

AD=BG,

:.FH=BG,

,.?NAB=900,

/.ZBCH+ZHCF=9O°,

N4C，+"AC=90°,

:.&CF=4HBC,

NA〃C=NS尸=90。，

:.gHCs^CHF、

BHCH

---=---,

CHFH

設(shè)GH=.r,

：.BH=2-x,

：.CH2=2(2-x),

在RtAGHC11',CG2=GH2+CH2,

CG2=x2+2(2-x)=(x-\)2+3,

當(dāng)x=l時，CG?的最小值為3,

二.CG的最小值為G.

3.(2023?寧波)定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所

成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角.

(1)如圖1,NE是1改?中NA的遙望角，若ZA=a,請用含。的代數(shù)式表示NE.

(2)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AD=BD,四邊形ABC。的外角平分線。尸交

于點(diǎn)/，連接A/7并延長交CQ的延長線于點(diǎn)￡.求證：/4EC是A44C中NB4C的遙望角.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接A￡,AF,若AC是0O的直徑.

①求NA中的度數(shù)；

②若AB=8,CD=5,求的面積.

EE

圖1圖2圖3

i95

答案：（1）ZE=-a：（2）見解析；（3）①ZAE￡>=45。；②三

29

【詳解】（1）?龐:平分ZAHC,CE平分NAC7）,

/.ZE=ZECD-ZEBD=；（ZACD-ZABC）=gZA=；a，

（2）如圖1,延長BC到點(diǎn)T,

圖1

?四邊形尸88內(nèi)接手，O，

/.NHJC+=1809,

又?./FDE+NFDC=180。,

:./FDE=NFBC，

/平分

.\ZADF=ZFDE,

、：ZADF=ZABF,

:.ZABF=ZFBC,

二.8七是NABC的平分線，

?/AD=BD,

7.ZACD=ZBFD,

/BFD+/BCD=180。,ZZXT+N3CL>=180。，

:.ZDCT=^BFD,

\ZACD=ADCT,

?.8是A/V?。的外角平介線,

/BEC是AABC中ABAC的遙望角.

（3）①如圖2,連接CA

-.〃正C是AABC中NBAC的遙望角，

：./BAC=2ZBEC，

?;/BFC=NBAC，

:"BFC=2ZBEC,

4BFC=NBEC+ZFCE，

；.ZBEC=/FCE,

'；/FCE=4FAD,

:.ZBEC=/FAD,

又?：/FDE=ZFDA,FD=FD,

:△FDEwkFDAlAAS)，

：.DE=DA，

.\ZAED=ZDAE,

AC是O的直徑，

.-.ZA￡>C=90°,

：.ZAED+ZDAE=9(r,

:.ZAED=ZDAE=45°,

②如圖3,過點(diǎn)4作AG_4￡于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作后W_LCE于點(diǎn)M,

AC是O的直徑，

.-.Z4BC=90o，

?BE平分ZABC,

^FAC=NEBC=-/ABC=45°，

2

?.ZAED=45°,

:.ZAED=^FAC.

?:ZFED=ZFAD,

:.ZAED-4FED=4FAC-乙FAD,

..ZAEG=ZCAD,

?.?ZEGA=ZADC=9(r,

:.AEGA^AADC,

.AEAG

~AC=~CD'

?.?在RtAABG中，A8=8,ZABG=45。，

72i-

AG=—AB=4y/2,

2

在RtAADE中，AE=41AD,

y/2AD4x/2

/.--------=------9

AC5

AD4

/.二一，

AC5

在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,

.?.設(shè)AO=4x,AC=5x,則有(4x)2+5?=(5x)2,

5

：.x=—,

3

?.m=T

35

:.CE=CD+DE=—

3

?.ZBEC=ZFCE,

:.FC=FE,

FMVCE>

.\EM=-CE=—,

26

:.DM=DE-EM=一，

6

?.NFDM=45。，

..FM=DM=-,

6

125

SWFF=-DEFM=—.

4.(2023?寧波)如圖1,。經(jīng)過等邊A44c的頂點(diǎn)4,C(圓心。在A44C內(nèi))，分別與

AB,C8的延長線交于點(diǎn)O,E,連接。E,8尸J.EC交AE于點(diǎn)尸.

(1)求證：BD=BE.

(2)當(dāng)A尸:所=3:2,AC=6時，求AE的長.

…AF

(3)設(shè)=x,tan/DAE=y.

EF-

①求y關(guān)于工的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖2,連接OF,OB,若AAEC的面積是AOEB面積的10倍，求y的值.

AA

圖1圖2

答案：(1)見解析；(2)AE=2相；(3)①y

4x+l

【詳解】證明：(1)A43C是等邊三角形,

/.ZZMC=ZC=60°?

?.Z￡)EB=ZMC=60°,ZD=ZC=60°,

:.ZDEB=ZD,

:.BD=BE；

(2)如圖1,過點(diǎn)A作HG_L4C于點(diǎn)G,

A48C是等邊三角形，AC=6,

:.8G=-BC=-AC=3,

22

.,.在RtAABG中，AG=、存8G=3百,

BF工EC,

:.BFNAG,

AFBG

~EF~~EB

AF:EF=3:2,

:.BE=-BG=2,

3

：.EG=BE+BG=3+2=5r

在RtAAEG中，AE=4AG?+EG?=J(3揚(yáng):+52=27n；

(3)①如圖1,過點(diǎn)E作EH_LAD于點(diǎn)”,

A

圖1

,.?N￡BD=NABC=60°,

.?.在RtABEH中，—=sin60°=—,

BE2

:.EH=—BE,BH=-BE,

22

BGAF

---==x，

EBEF

BG=xBE，

AB=BC=2BG=Z\BE,

AH=AB+BH=2xBE--BE=(2x+-)BE，

22

EH虧BEr

.,.在RtAAHE中，tanZEAD=——=———=-^—

4X+,

A"(2A+1)B￡

―二H

②如圖2,過點(diǎn)。作QMJ_4C于點(diǎn)M,

設(shè)BE=a,

BGAF

?/-----=-----=x，

EBEF

；.CG=BG=xBE=ax,

EC=CG+BG+BE=a+2xix，

/.EM=—EC=—a+ax,

22

:.BM=EM-BE=ax--a,

2

":BFffAG,

/.AEBF^AEGA,

BFBEa1

AGEGa+axl+x

AG=\/3BG=y/5ax,

1瘋女

BDFr=---AG=----,

x+\x+1

▲八f的工工nBF,BM1x/3av.1、

/.AOFB的面積=-------=—x----(ax——fl),

22x+12

FC-Ad1r-

：.AAEC的面積=----=-x\/3ax(a+2ax),

22

AA￡C的面積是的面積的10倍，

z.—x\f3ax(a+2ax)=10x-x^^(ar-—，

22x+12

/.2x2-7x+6=0，

解得：％=2,.4='1,

...y=*或*.

5.(2023?寧波)如圖I,直線/:y=-3x+〃與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與)，軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C

4

是線段04上一動點(diǎn)(0<4C<￡).以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作￡A交工軸于另一點(diǎn)。,

交線段A3于點(diǎn)石，連接0E并延長交CA于點(diǎn)產(chǎn).

（1）求直線/的困數(shù)表達(dá)式和tanNHAO的值：

（2）如圖2,連接C￡,當(dāng)8二瓦1時，

①求證：AOCESAOEA；

②求點(diǎn)石的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動時，求OE斯的最大值.

答案：（1）直線/的函數(shù)表達(dá)式），=—』x+3,tanNB4O=3；（2）①見解析；②￡（衛(wèi)，—）；

44252）

【詳解】?.,直線/:)，=一3工+人與犬軸交于點(diǎn)A(4,0),

4

/.--X4+/?=(),

4

.'.￡?=3,

.,?直線/的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=—3%+3,

/.B(0,3),

OA=4，OB=3,

在RtAAOB中，tanZfi/10=—=-；

OA4

(2)①如圖2,連接。尸，CE=EF,

:.ZCDE=ZFDE,

;"CDF=24CDE,

?-ZOAE=2ZCDE,

:.ZOAE=^ODF,

??四邊形C￡/論是_A的圓內(nèi)接四邊形，

/.4OEC=4ODF,

:.ZOEC=ZOAE,

?.?ZCOE-ZEOA,

:MOEsisEO',

②過點(diǎn)E作于M,

3

由①知，taiiZOAB=-,

4

設(shè)EM=3"z，則A"=4〃Z,

OM=4-4/w,AE=5/n,

/.E(4—4”?,3m),AC=5)n.

:.OC=4-5in,

由①知，△COESAEOA,

.OC_OE

~OE=~OA'

OE-=OAOC=4(4-5m)=16-20m,

E(4-4)〃,3m),

(4-4，〃)2+9/zz2=25m2-32m+16,

25〃廣-32m+16=16-20/〃，

/./n=0(舍)或加=口，

25

,4.4〃,="，3〃,=史

2525

，的,當(dāng),

2525

(3)如圖，設(shè)OA的半徑為廣，過點(diǎn)O作OG_LA3于G,

A(4,0),3(0,3),

.?.04=4,04=3,

:.AB=5，

、ABXOG=LOAXOB,

22

:.OG=—

5t

sOG12416

二.AG=------------=—x-=一,

tanZ.OAB535

:.EG=AG-AE=—-r,

5

連接F”，

EH是人直徑，

：.EH=2r,/EFH=90。=/EGO，

NOEG=ZHEF,

.?.△OEGsAHEF,

.OEEG

~HE~~EF'

/.OEEF=HEEG=2r(y-r)=-2(r-1)2+摟，

時，OE即最大值為四.

525

6.(2023?鎮(zhèn)海區(qū)一模)如圖，。是AA3C的外接圓，點(diǎn)。在8c上，連結(jié)08,DC,DA,

過點(diǎn)。作BD的平行線交A/)于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AABCS&CDE；

(2)如圖2,若/皿＞=NC4P=30°,43=6,涼)=4,求OE；

(3)如圖3,/為AABC的內(nèi)心，若/在線段AE上，45=10,tanZBAD=-,當(dāng)IE最大

5

時，求出O的半徑.

【詳解】（1）證明：.?點(diǎn)。在圓。上，

：.ZABC=ZADC,ZADB=ZACB,

又-CE//BD,

；.ZADB=ZDEC,

.?.A/WCSAC/M；

（2）解：由（1）可得AABCs^cOE,

DEDC

?\，

BCAB

?/ZBCD=ABAD=ZC4Z）=ZCBD=30°，

BC=GBO=4X/5,

..DE=-----；

3

（3）解：由（2）得：DEAB=BCDC,

;.10DE=BCDC，

如圖，作BFLCF,

tanZ.BCD=tan/BAD=—,

5

設(shè)BF=x,CF=5x,CD=BD=1,

???BD1=BF2+DF2,

17

解得，t=—X,

5

故心也,,

13

，陽叵九

26

連接C7，

/為AA8C的內(nèi)心，

ZACI=/BCI，ZBAD=^CAD=ZBCD.

ZDIC=ZCAD+ZACI=/BCD+/BQ=ADCl，

:.DC=DI=t，

IE=ID-DE=t-^-l

26

???"亭時‘花最大‘

此時3C=?！?,

連接OD交3c于點(diǎn)由勾股定理可得出QM=1,

2

\-OM2+MC2=OC2,

二(r-i)2+(1)2=r2,

解得r=竺,

2

即圓O的半徑為U.

2

7.(2023?寧波模擬)如圖①，在RtAABC中，ZC=90SD是AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C

重合)，以A為圓心，AO長為半徑作OA交于點(diǎn)E,連結(jié)皮)并延長交A于點(diǎn)尸，連

結(jié)ED,EF,AF.

(1)求證：ZEAF=2ZBDE；

(2)如圖②，若/EBD=2/EFD,求證：DF=2CD；

(3)如圖③，BC=6,AC=8.

①若/￡4〃=90。，求A的半徑長；

②求盛?。石的最大值.

答案：（1）見解析:（2）見解析：（3）ffir=5：②5函

【詳解】（1）證明:在優(yōu)弧所上任意取一點(diǎn)G,連接GE,GF,

?四邊形EDCG是圓內(nèi)接四邊形,

/.Z￡DF+ZG=180o，