專題52統(tǒng)計案例

專題52統(tǒng)計案例

【題型歸納目錄】

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

題型二：線性回歸

題型三：非線性回歸

題型四：獨立性檢驗

題型五：誤差分析

【考點預(yù)測】

知識點一、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于

相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收

集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，

而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

2、散點圖

將樣本中的〃個數(shù)據(jù)點（毛,凹.）（，=1,2,…描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點圖.根據(jù)散點圖

中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關(guān)系.

（1）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)：對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它

稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；

（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)：對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它

稱為負相關(guān)，如圖（2）所示.

（I）（2）

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量X的取值W，變量），的觀測值為丫.（Iqy〃），則變晟.，與y的相關(guān)系數(shù)

〃__n_

Z（E-x）（y-y）-〃抄

/?=「=一,通常用，?來衡量k與y之間的線性關(guān)系的強弱，r

的范圍為TW/W1.

（1）當廠＞0時，表示兩個變量正相關(guān)：當尸v0時，表示兩個變量負相關(guān).

（2）卜|越接近i,表示兩個變審的線性相關(guān)性越強；卜|越接近o,表示兩個變量間幾乎不存在線性相

關(guān)關(guān)系.當|”=1時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上.

（3）通常當川＞0.75時，認為兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

知識點二、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（制，“），（念，以），…，（?%”）3，其回歸方程），=/?+〃的

求法為

〃__〃__

Z（x,-X）（y.-y）^X,y^nxy

b=J---------——...........—

￡（七7）2次

i=l/=l

a=y-bx

其中，x="!?￡%.,y=-Xy,?（x,y）稱為樣本點的口心.

〃/=i

2、殘差分析

對于預(yù)報變量y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值￡，通過回歸方程得到的），稱為預(yù)測值，觀測值減

去預(yù)測值等于殘差，自稱為相應(yīng)于點（七,￡）的殘差，即有自=￥「1??殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對

殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差

分析.

（1）殘差圖

通過殘差分析，殘差點（冷日）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這

樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過殘差平方和。=￡（M-力）2分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；

/=1

反之，不合適.

（3）相關(guān)指數(shù)

￡（X_”2

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：?=]_?」’.

Z（z--y）2

r=l

戶越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

知識點三、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線

性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原

后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預(yù)報預(yù)測，注意計算要細心，避免計算錯誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預(yù)報變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、號函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型：

（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則殮查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

知識點四、獨立性檢驗

I、分類變量和列聯(lián)表

<1）分類變量：

變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

（2）列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為｛川，戈2｝和｛），1,），2）,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱

為2x2列聯(lián)表）為

>1為總計

aba+b

工2Cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

從2x2列表中，依據(jù)，—與二—的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系.

a±bc+d

2、等高條形圖

（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示

列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.

（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)，-與工相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨立性檢驗

（1）定義：利用獨立性假設(shè)、隨機變量Y來確定是否有定把握認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法

稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

⑵公式：…一屋鬻露…,其中…+F+”為樣本容量.

（3）獨立性檢驗的具體步驟如下：

①計算隨機變量K2的觀測值3查下表確定臨界值勺：

尸（片次）0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果上2々0,就推斷“X與V有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過〃（六2&）；否則，就認為在犯

錯誤的概率不超過〃（尺22片）的前提下不能推斷“X與丫有關(guān)系”.

（2）兩個分類變量x和y是否有關(guān)系的判斷標準：

統(tǒng)計學(xué)研究表明：

當K2K3.841時，認為X與y無關(guān)；

當六＞3.841時，有95/的把握說X與y有關(guān)；

當六＞6.635時\有99/的把握說X與V有關(guān)；

當犬＞10.828時，有99.9/的把握說X與V有關(guān).

【方法技巧與總結(jié)】

常見的非線性回歸模型

（1）指數(shù)函數(shù)型y=c優(yōu)（。＞0且1,c＞0）

兩邊取自然對數(shù)，lny=ln（cav）,即Iny=lnc+xlna,

令P'7"，原方程變?yōu)閥，=lnc、+flna,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

x=x

（2）對數(shù)函數(shù)型），=Z?lnx+a

令=：，原方程變?yōu)閥'=〃x'+。，然后按線性回歸模型求出〃，〃.

x=Inx

（3）尋函數(shù)型）、=辦"

兩邊取常用對數(shù)，lgy=lg（ar"）,即Igy=〃lgx+lga,

令，原方程變?yōu)镻'=/*+lg。，然后按線性回歸模型求出〃，Iga.

X=IgA：

（4）二次函數(shù)型），=＞「+〃

令卜：=5，原方程變?yōu)椋?=法'+。，然后按線性回歸模型求出力，a.

x=

（5）反比例函數(shù)型），=〃+2型

x

y,=y

令，1，原方程變?yōu)椋?=區(qū)'+。，然后按線性回歸模型求出力，a.

x=—

X

【題型歸納目錄】

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

題型二；線性回歸

題型三：非線性回歸

題型四：獨立性檢驗

題型五：誤差分析

【典例例題】

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

例1.（2022?上海嘉定?高三階段練習）通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利

店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，甲認為這是巧合，兩者其實沒有關(guān)系：乙認為冷飲的某種攝入成分導(dǎo)

致了疾?。罕J為病人對冷飲會有特別需求：丁認為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但不能視為因果，請判斷

哪位成員的意見最可能成立（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】當?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，但相關(guān)關(guān)系

是一種非確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系，丁的意見最可能成立.

故選：D.

例2.（2022.四川.成都七中高三階段練習（理））某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的

散點圖.

35

3530

3025

2520

2015

15I0

105

50

0

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為，2

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

0

5101520253035

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為々

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）

A.r,</;</;<B.r2<r4<r]<r3C.r2<rA<r3<rxD.r4<r2<r3<rt

【答案】C

【解析】由圖可知：々/所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)正相關(guān)，而且5對應(yīng)的相關(guān)性比G對應(yīng)的相關(guān)性要強，

故0<4<*aG所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)負相關(guān)，且根據(jù)散點的分布情況可知4<。，因此

4<G”4，

故選:C

例3.（2022?上海交大附中高三階段練習）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有

所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽

樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（4y）（i=l,2,,20）,其中巧和H分別表示第，個樣區(qū)的

2020

植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量（單位：頭），并計算得￡玉=60,Z）'i=1200,

i=Ir=l

2020_220__

2卜7）=80,￡（M—.V）=9000,—y）=800.

r=li=l

⑴估計該地區(qū)這種野生動物的數(shù)最；

⑵求樣本（4y）（i=l，2,,20）的相關(guān)系數(shù).（精確到）

120I

y=—yyr.=—x1200=600

【解析】（1）由已知得樣本平均數(shù)20鵬20,

從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為20x600=12000.

Z177）--802L（>7->-）2-90002卜;-K）（y-y）-800

（2）由I,*->,*->,

可得樣本（七,.%）"=12,20）的相關(guān)系數(shù)為

20

Z（x,7）（y—F）

8008002&…

—_________—______-____、（）94

2020-780x9000-60072~3

一寸

i=l；=l

變式1.（2022.陜西?寶雞市陳倉高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））對兩個變量x,y進行線性相關(guān)檢驗，得線性

相關(guān)系數(shù)門=，對兩個變量〃，-進行線性相關(guān)檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)/2=-，則下列判斷正確的是（）

A.變量x與），正相關(guān)，變量〃與I，負相關(guān)，變量工與），的線性相關(guān)性較強

B.變量x與），負相關(guān)，變量〃與】，正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強

C.變量x與），正相關(guān)，變量〃與U負相關(guān)，變量〃與u的線性相關(guān)性較強

D.變量x與），負相關(guān)，變量〃與u正相關(guān)，變量〃與u的線性相關(guān)性較強

【答案】C

【解析】依題意:[=0.8995歷=-0.9568,

所以x，y正相關(guān)，〃?負相關(guān),

間＜用＜1，所以〃力的線性相關(guān)性較強.

故選：C

變式2.（2022?全國?高三專題練習）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對尤丁兩變量的線性相關(guān)性做試驗，分別求

得樣本相關(guān)系數(shù)小如下表：

甲乙丙T

/?0.20-0.95-0.120.85

則試驗結(jié)果中元），兩變量有更強線性相關(guān)性的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【解析】由已知，乙的相關(guān)系數(shù)的絕對值為|r|=“95,是四人中最大的，因此乙同學(xué)有更強的相關(guān)性.

故選:B.

變式3.（2022?江蘇?南京市第一中學(xué)高三階段練習）某網(wǎng)絡(luò)電視劇已開播一段時間，其每口播放量有如下統(tǒng)

計表：

開播天數(shù)工（單

12345

位：天）

當天播放量），

（單位：百萬335910

次）

（1）請用線性回歸模型擬合），與工的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）假設(shè)開播后的兩周內(nèi)（除前5天），當天播放量），與開播天數(shù)x服從（I）中的線性關(guān)系.若每百萬播放量

可為制作方帶來萬元的收益，且每開播一天需支出1萬元的廣告費，估計制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得的

利潤.

方（內(nèi)-可（凹-田°汽住-三）（另一刃，

r，=，

參考公式；=In------------------上J--------------；—，a=y-bx.

心（為-，）2曲-丫

555____

參考數(shù)據(jù)：^xiyi=110,2X=55,=224,Vi~i0-10.5.

1=1r-l/=!

注：①一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對值在以上（含）認為線性相關(guān)性較強；否則，線性相關(guān)性較弱.②利潤=

收益一廣告費.

-|-1

x=-（l+2+3+4+5）=3,y=-（3+3+5+9+10）=6

【解析】（1）由題得5?5

￡（—）（一）

6+3+3+8

所以〃二------------

￡（%一可2(1-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(5-3)2

所以力=》一位=6—2x3=0.

所以線性回歸方程為y=2r.

￡（%-可（另一到

20_10、10

相關(guān)系數(shù)”式許?0.952>0.95

x/10xx/44-x/Ho10.5

所以每日的播放量和開播天數(shù)線性相關(guān)性較強.

（2）設(shè)利潤為〃，則〃=[30+2（6+7+8+9+10+11+12+13+14）卜0.7-14=133

所以估計制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得的利潤為133萬元..

答：估計制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得的利潤為133萬元..

題型二；線性回歸

例4.（2022?重慶南開中學(xué)高三階段練習）重慶位于北半球亞熱帶內(nèi)陸地區(qū)，其氣候特征恰如幾句俗諺：春

早氣溫不穩(wěn)定，夏長酷熱多伏旱，秋涼綿綿陰雨天，冬暖少雪云霧多.尤其是10月份，晝夜溫差很大，某

數(shù)學(xué)興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了2021

年10月某六天的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：

日期第一日第三日第五日第四日第二日第六日

晝夜溫差X（℃）47891214

就診人數(shù)〉（個）X%>14兒

其中：yeN*,』，2,3,4,5,6,參考數(shù)據(jù)：￡>7=2658,￡(另一丁=258,7258?16.

⑴根據(jù)散點圖可以認為x與）'之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)系數(shù)，?==,請用最小二乘法求出線性回歸

方程y=+a（a,用分數(shù)表示）；

（2）分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：第六日就診人數(shù)%=30,第一日就診患者中有3個小孩，其他患者全是大人，現(xiàn)隨機的

Q

從第一日所有就診患者中選出2人，若2人中至少有一個小孩的概率為會；

①求M的值；

②若％<%<”<%，求%，為，筋，乃的值（只寫結(jié)果，不要求過程）.

Z（y-J=258

【解析】（1）因為"，

2

所以靖+%2+…+y6-2（x+%+…+乂）y+6.F=258，

6_

因為=2658,y+%+…+）k=6）3

21

所以2658—129+6^=258，得不=20，

-1

因為x=-x（4+7+8+9+12+14）=9,

6

所以之（毛=（4-9）2+（9-9）2+L+（14_9y=64,

127八2。-二9=也

所以〃手,

6464

即線性回歸方程上瑞力胃

⑵①由題意可得：2人中至少有一個小孩的概率為％15,得：4才-49,+90=0

9

所以y=10或y=*（舍）

②由⑴得亍=20,

因為M-10,y6-30,

所以10+%+，3+尤+）'5+3。=120,得必+），3+居+為=8（）.

因為Z.V；=2658,

/-I

所以100+必2+W+H+W+900=2658,

所以W+W+y；+>52=1658,

因為必，必，乂，兌€N",y2<y3<y4<y5,

所以X=15,）3=18，j4=22,y5=25.

例S.（2022?全國?高三專題練習）已知X,丁的取值如表:

X0134

ya

若x，具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為3=0.95X+2.6,貝心=.

【答案】2.2

【解析】將X=——-——=Zy=---------------=---代入回歸方程為y=0.95x+2.6,可得

444

空泗=4.5=4=22,應(yīng)填答案2.2.

例6.（2022?河北衡水?高三階段練習）已知一組樣本數(shù)據(jù)（為，乂），（為均，…，（玉，%）（〃22,芯，演，…，

互不相等），若這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為-1,則在這組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，所有樣本點（￡,y）（；=1,

2,…，〃）所在的曲線可能是（）

A.y=-2x+3B.y=x+3C.y=-x2+3D.y=?+3

【答案】A

【解析】樣本相關(guān)系數(shù)「的絕對值越接近于1,樣本數(shù)據(jù)的散點圖越接近于?條直線.因為該組數(shù)據(jù)的樣本

相關(guān)系數(shù)〃=-1，故樣本數(shù)據(jù)呈負相關(guān)，所以所有樣本點（七,y）（i=l,2,…，〃）所在的曲線可能在直線

y=-2x+3上，

故選：A.

變式4.（2022.仝國.高三專題練習（文））給出下列說法：①回歸直線§，=八+右恒過樣本點的中心正5）,

且至少過一個樣本點；②兩個變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)1川就越接近1;③將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加

一個相同的常數(shù)后，方差不變；④在回歸直線方程亍=2-0.5%中，當解釋變量1增加一個單位時，預(yù)報變量

》平均減少個單位.其中說法正確的是（）

A.①②?B.②??C.①③④D.②④

【答案】B

【解析】對于①中，回歸直線$，=最+4恒過樣本點的中心丘,?。灰欢ㄟ^一個樣本點，所以不正確；

對于②中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，可得兩個變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)就越接近1,所以是正確的；

對于③中，根據(jù)方差的計算公式，可得將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，方差是不變的，所

以是正確的：

對于④中，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得在回歸直線方程3=2-0.5X中，當解釋變量x增加一人單位時，預(yù)

報變量貧平均減少個單位，所以是正確的.

故選:B.

變式工（2022.全國?高三專題練習）對于數(shù)據(jù)組（七,），,.）?=1,2,3，…,〃），如果由線性回歸方程得到的對應(yīng)于自

變量者的估計值是先，那么將y-y.稱為相應(yīng)于點（七,￡）的殘差.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與

所需某種原材料了噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組灼應(yīng)數(shù)據(jù)（尤力如下表所示：

X3456

y34ni

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出）關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7x+a，據(jù)此計算出樣本點（4,3）處的殘差為一，則

表中加的值為（）

A.B.C.5D.

【答案】B

【解析】由題意可知，在樣本（4,3）處的殘差一，則y=3.15,即3.15=0.71+〃，

解得〃=0.35，即y=0.7x+0.35,

-3+4+5+6

又”=：=4.5,且線性方程過樣本中心點（工，于），

4

mi—八,門1―2?5+3+4+"z今「

貝ljv=（）.7X4.5+（）.35=3.5,則y=--------------------=3.5,

4

解得〃?=45

故答案為：B

變式6.（2022?全國?高三專題練月）已知兩個變量％和N之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù),

X34567

y

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得同歸方程?=幾+6,則下列說法正確的是（）

A.?>0,Z?>0B.?>0,/?<0

C.?<0,b>0D.a<0,b<0

【答案】B

【解析】由已知數(shù)據(jù)，可知》隨著工的增大而減小，

則變量工和變量y之間存在負相關(guān)的關(guān)系，二〃<o,

當”=0時，則a=y>3.5>0，

即：a>0,b<0.

故選:B.

變式7.（2022?全國?高三專題練習）為研究某種細菌在特定環(huán)境下，隨時間變化的繁殖情況，得到如下實驗

數(shù)據(jù)：

天數(shù)X（天）3456

繁殖個數(shù)）’（千個）34

由最小二乘法得V與x的線性回歸方程為a=0.7x+2,則當x=7時，繁殖個數(shù)V的預(yù)測值為（）

A.B.

C.D.

【答案】B

-3+4+54-69-25+3+4+457

【解析】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得X；

9779

即樣本中心為弓,5）,代入回歸直線方程?=0.7x+/BP^=0.7x|+?,

解得a=0.35,BP回歸直線的方程為>'=0.7x+0.35,

當工=7時，>-=0.7x7+0.35=5.25,故選B.

變式8.（2022?北京師大附中高三階段練習（文））為了規(guī)定工時定額，需要確定加工某種零件所需的時間，

為此進行了5次試驗，得到5組數(shù)據(jù)：（內(nèi)/）,小,%），（七，）’3），（4”），（0％），由最小二乘法求得回歸直線

方程為），=0.67x+54.9?若已知玉十期+$+~+%=150,則y十%十）3+X+K=

A.75B.155.4C.375D.466.2

【答案】C

一150

【解析】由題意，可得x=（=30,代入回歸直線的方程，可得?=0.67x30+54.9=75,

所以y+義+、3+尤+*=5X$，=375,故選C.

變式9.（2022?廣東?順德-中高三階段練習）據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（不'）,（乙，為），…，（天，”），求得經(jīng)驗回歸

方程為S，=1.5x+0.5,且；=3.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點（122.2）和（4.8,7.8）誤差較大，去除后

重新求得的經(jīng)驗回歸直線/的斜率為，則（）

A.去除兩個誤差較大的樣本點后，）'的估計值增加速度變快

B.去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程一定過點（3,4）

C.去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程為5=L2x+1.4

D.去除兩個誤差較大的樣本點后，相應(yīng)于樣本點（2,3.75）的殘差為

【答案】C

【解析】對A,因為1.5>1.2,所以去除兩個誤差較大的樣本點后y的估計值增加速度變慢，放A錯誤；

對B,當7=3時，7=3XL5+O.5=5,設(shè)去掉兩個誤差較大的樣本點后，橫坐標的平均值為■縱坐標的

平均值為7，

則7=%+*+…+/-6=口=3,y=yl+y2+-+X,-10=5H-10=5>故B錯誤；

fi-2n-2n-2n-2

對C,因為去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得回歸直線/的斜率為，

所以5=3x12+。,解得5=1.4,

所以去除兩個誤差較大的樣本點后的經(jīng)驗回歸方程為S，=12r+L4,故C正確；

對D,因為§，=L2x2+1.4=3.8,所以）」?=3.75—3.8=-0.05,故D錯誤.

故選:C.

變式10.（2022?全國?高三專題練習）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要

貢獻.某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益），（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

產(chǎn)品收益y（億元）3791011

（1）計算x,），的相關(guān)系數(shù)〃并判析是否可以認為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若

O.36KO.75,則線性相關(guān)程度一股，若I小0.75,則線性相關(guān)程度較高）

（2）求出），關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時產(chǎn)品的收益.

參考數(shù)據(jù):力（—）2=10,￡（M-刃、40,次仁-可（必-刃=19.

i=lc-1M

-可（V-同之（z-可（￡-百

附：相關(guān)系數(shù)公式：,=―------------------，回歸直線方程的斜率方=-------------,截距

￡（再-“

1-1

A

a=y-bx.

2a-可2=io￡(%-y)2=40E(a-x)(v..-y)=i9

【解析】⑴V

期EE=-=22=0,5>0,75,

710x5/4020

???該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入x與產(chǎn)品收益），具有較高的線性相關(guān)程度.

A2(*一)5-方19

b=—―7-----------=—=1.9

ZU-X)210

(2),/E

x=-（l+2+3+4+5）=3,y=-（34-7+9+10+ll）=8,

=8—1.9x3=2.3.

?4關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.9A+2.3，

將工=20代入線性回歸方程可得，y=1.9x20+2.3=40.3，

，預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時產(chǎn)品的收益為（億元）.

變式U.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））2020年，國慶“遇上”中秋,中國人把這個“超長黃金周''過出了年味.

假期期間，全國各大旅游景點、車站、機場人頭攢動的景象也吸引了世界的目光.外國媒體、專家和網(wǎng)友“實

名羨慕“，這一派熱鬧景象證明了抗疫的成功，也展示了中國經(jīng)濟復(fù)蘇的勁頭.抗疫的成功離不開國家強大的

醫(yī)療衛(wèi)生體系，下表是某省2013年至2019年醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)），（單位：萬個）：

年份2013201420152016201720182019

年份代號，1234567

醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)）’

（1）求了關(guān)于/的線性回歸方程）、=百+4（4,B保留兩位小數(shù)）;

（2）規(guī)定若某年的實際醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)與估計值的差的絕對值不超過500個，則稱該年是“吻合”年.利用（1）

的結(jié)果，假設(shè)2020年該省醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)的估計值為實際值，現(xiàn)從2013年至2020年這8年中任選3年,

其中，，吻合”年的個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：±*=132.2,晨4.6.

1-1

參考公式：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=m---------,

熱可

a=y-bt.

【解析】（1）由題意得7=4，=（-3）2+（-2）2+（-1）2+0+12+22+32=28,

1=1

打“…）（￡”=自/一7%]32.2—7、4、4.6=織、0/2

￡"丫￡"）'2828

1=11=1

貝必="而會4.6-0.12x4=4.12,

所以）'關(guān)于，的線性回歸方程為y=0.12/+4.12.

（2）2013年至2019年這7年該省醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)的估計值與實際值（單位：萬個）如下表所示：

年份2013201420152016201720182019

實際值

估計值

則2013年至2020年這8年中“吻合”年有2013年,2015年,2018年，2020年，共4年,

故X的所有可能取值為0,123,

且P(X=k)=^^~,A:=0,1,2.3,

J

故X的分布列為

X0123

1331

P

147714

133

巨斤以E(X)=0x—+lx3+2x3+3x—=3.

'J1477142

變式12.（2022?全國?高三專題練習）在我國抗疫期間，素有“南抖音，北快手”之說的小視頻除了給人們帶

來生活中的快樂外，更在于傳遞了一種正能量，為抗疫起到了積極的作用，但一個優(yōu)秀的作品除了需要有

很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，某同學(xué)學(xué)習利用“快影”軟件將己拍攝的素材進行制作，每次制作

分三個環(huán)節(jié)來進行，其中每個環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為；3，4?彳，只有當每個環(huán)節(jié)制作都合格才認為一

453

次成功制作，該小視頻視為合格作品.

（1）求該同學(xué)進行3次制作，恰有一次合格作品的概率；

（2）若該同學(xué)制作10次，其中合格作品數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望與方差；

（3）該同學(xué)掌握技術(shù)后制作的小視頻被某廣告公司看中，聘其為公司做廣告宣傳，決定試用一段時間，每

天制作小視頻（注：每天可提供素材制作個數(shù)至多40個），其中前7天制作合格作品數(shù)》與時間/如下表：（第

/天用數(shù)字/表示）

時間（，）1234567

合格作品數(shù)（）'）343468

其中合格作品數(shù)（）'）與時間（1）具有線性相關(guān)關(guān)系，求）'關(guān)于，的線性回歸方程（精確到0.01）,并估算第14天

能制作多少個合格作品（四舍五入收整）？

之內(nèi)一兒盯'￡（工7心一）'）

（參考公式〃=月--------=---------；—，》=3-猿，參考數(shù)據(jù)：1?/=163.）

/=1r=l

3422

【解析】⑴由題意知：制作一次視頻成功的概率為

3丫54

所以該同學(xué)進行3次制作，恰有一次合格作品的概率C；xx

S5)125

（2）根據(jù)題意可得：x

2、2312

所以E(X)=/?〃=10xg=4,0(X)=H/?(1-/?v)=10x—x—=—,

(3)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可計算出：

I+2+3+4+5+6+73+4+34-4+7+6+8

=4,y5,

77

163-7x4x5233?

所以方=耳一-----------=一?0.821,

-2140-7x1628

-nx

r=l

所以§=］切=50.821x4=1.72，

所以）'關(guān)于/的線性回歸方程為5=0.82，+1.72,

令1=14,得§，=0.82xl4+1.72=13.2al3,

即估計第14天能制作13個合格作品.

題型三：非線性回歸

例7.（2022?廣東?順德一中高三階段練習）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)的政策下，我國新隹源汽車的產(chǎn)

銷量高速增長.已知某地區(qū)2014年底到2021年底新能源汽車保有量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：

年份（年）20142015201620172018201920202021

年份代碼X12345678

保有量W千輛

參考數(shù)據(jù)：9=12.1了=2.1，Z%；=204,ZX/=613.7.ZM=924,其中

r=1c=1r=l

。=In)】,lg2h(),30/g3x0.48Jg^=0.43.

⑴根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖（如圖），請判斷a=/；x+d與哪一個更適合作為y關(guān)于X的經(jīng)驗

1可歸方程（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果建立），關(guān)于x的經(jīng)驗【可歸方程：

（2）假設(shè)每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相

同.若2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為500千輛，預(yù)計到2026年底傳統(tǒng)能源汽車保有星將下降10%.

試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量.

參考公式：而于一組數(shù)據(jù)（%,v/）,（%,匕），…，（〃”,匕），其經(jīng)驗回歸直線0=￡〃+々的斜率和截距的最小

Z（w（-萬）（4-v）Z-V

二乘估計公式分別為------------------------,&=9-流;;

-"）2名”疝2

/=1r=l

【解析】（1）根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長趨勢知，應(yīng)選擇的函數(shù)模型是y=e"“，令，=lny,則

A

I=cx+d

因為工=4.5,￡x；=204,Zx/.=92.4,t=2.1,

8

Vx/.-8x-7

92.4-8x4.5x2.116.8

所以，￡二9---------=0.4,

204-8x4.5?42

1=1

J=7-^=2.1-0.4x4.5=03,所以丁=e°4"+"3

（2）設(shè)傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比為八依題意得，500（l-r）$=500（1-10%）,解得1--=0.9

y=500（1-rX=5000.於

IZr,設(shè)從2021

設(shè)從2021年底起經(jīng)過x年后的傳統(tǒng)能源汽車保有量為｝，千輛，則有

年底起經(jīng)過x年后新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車，則有

嚴川）+0.3>50（）o.於,所以（0.4x+3.5）lge>3-lg2+0.2M21g3-l）,

解得x>：二片一生警=6.64,故從2021年底起經(jīng)過7年后，即2028年底新能源汽車的數(shù)量將超過

0.2+0.4Ige-0.4lg3

傳統(tǒng)能源汽車.

例8.（2022?全國?高三專題練習）2020年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，全國各地房價“跳水”嚴重，但某地

二手房交易卻“逆市”而行.下圖是該地某小區(qū)2019年11月至2020年11月間，當月在售二手房均價（單位：

萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1至13分別對應(yīng)2019年11月至2020年11月）（）

A當月在手二手房

1?°4-均價1，....

1.02-????

1.00-??

0.98-?.

0.96-

?

0.94■

°12345678910111213月份代碼；v

根據(jù)散點圖選擇〉，=。+〃△和y=c+，〃nx兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到的兩個回歸方程分別為

y=0.9369+0.02856和），=0.9554+0.0306Inx,并得至U以下一些統(tǒng)計量的值：

),=0.9369+0.0285Ay=0.9554+0.0306Inx

R2

注："是樣本數(shù)據(jù)中X的平均數(shù)，亍是樣本數(shù)據(jù)中y的平均數(shù)，則于列說法不一定成立的是（）

A.當月在售二手房均價）與月份代碼工呈正相關(guān)關(guān)系

B.根據(jù)），=0.9369+0.0285人可以預(yù)測2021年2月在售二手房均價約為萬元/平方米

C.曲線尸0.9369+0.0285&與y=0.9554