小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決（吳正憲）

1、問題解決：從解題到建模 （吳正憲工作室）過去在小學(xué)教學(xué)中，教師們非常重視“應(yīng)用題”的教學(xué)，目的是要通過培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題的能力。新課程改革以來，雖然應(yīng)用題不再成為獨立單元，反而是對解決問題能力的加強。 新的數(shù)學(xué)課程標準將問題解決作為一個重要目標，這是課程改革和發(fā)展的需要。 （一）問題解決與傳統(tǒng)“應(yīng)用題”的區(qū)別 1. 重視過程的教學(xué)：應(yīng)用題更多的強調(diào)盡快獲得答案；而問題解決是強調(diào)一個過程，就是尋求解決問題方式方法的過程。重視問題解決的過程，尋求問題解決的方法和策略比獲得一個結(jié)論本身來的更重要。 2不僅僅依附一個知識點：應(yīng)用題往往是結(jié)合某一個具體的知識點，例如今天講加法， 就是加法

2、應(yīng)用題，明天學(xué)乘法是乘法應(yīng)用題，原來的應(yīng)用題常常是依附在某一個知識點的背景下；而問題解決是強調(diào)針對具體的一個真實的情景，它更多的強調(diào)綜合解決問題的過程。例如今天講完加法后，問題解決的情景它可能不局限于用加法，也不局限于用減法，它要調(diào)動學(xué)生已有的知識來解決問題。它是不僅僅依附于某一個知識點的。 3具體問題具體分析：應(yīng)用題教學(xué)把應(yīng)用題歸成類，集中一類問題進行思考，強調(diào)速度和技巧；而問題解決強調(diào)的是具體問題具體分析，換句話說就是在一種新的情境中如何運用所學(xué)知識解決問題，使問題更具挑戰(zhàn)性，可能一個問題跟著一個問題。它更具有挑戰(zhàn)性，更具有新意。 4問題的開放性和多元性：應(yīng)用問題強調(diào)廣泛性，即從生活中來、

3、從兒童已有的經(jīng)驗出發(fā)、從現(xiàn)在的科技、社會發(fā)展的過程中發(fā)現(xiàn)問題和提煉問題。問題本身的開放性和多元性也是其很重要一個特征。 （二）解決生活情景具體與數(shù)量關(guān)系抽象之間的矛盾 數(shù)學(xué)問題解決，指的是按照一定的思維對策進行的一個思維過程，一步一步地接近目標，最終達到目標。也就是說，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的解決問題，不只是關(guān)心問題的結(jié)果，更重要的是關(guān)心求得結(jié)果的過程探索、思考解決數(shù)學(xué)問題的過程，一般說來，是一個較為復(fù)雜。艱苦的歷程。學(xué)生除需要運用抽象、歸納、類比。演繹等邏輯形式外，還需要運用直覺、靈感或頓悟等非邏輯形式。 要能夠把握“問題解決”的問題，要準確迅速地把握問題的關(guān)鍵，揭示問題的本質(zhì)屬性，搞清問題的求解目標和

4、已知條件、未知條件，是問題解決的第一步。 問題解決的第二步是設(shè)計求解計劃，這要求大量的分析綜合，嘗試與猜測、類比與聯(lián)想，問題解決的最后一步，就是對所得結(jié)果作檢驗和回顧。 小結(jié)：理解題意 ( 分析數(shù)量關(guān)系 )- 求解作答檢驗反思 在日常教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)有些孩子自己獨立讀題就不會做，老師或家長給讀完題后，就能順利解題了。我感覺學(xué)生在做應(yīng)用問題時最大的困難是讀不懂題意。對于解決問題，學(xué)生的困難，一是讀懂題，二是分析數(shù)量關(guān)系。 1. 如何讀懂題意 怎樣是讀題，我們可以采用如下方法： 一遍讀，搞清楚是什么事；盤點數(shù)學(xué)信息，從題中獲得哪些數(shù)學(xué)信息？（力求不遺漏） 二遍讀，進行篩選，捕捉有用的數(shù)學(xué)信息，

5、誰和誰有關(guān)系，有什么關(guān)系。（力求無偏差） 三遍讀，告訴我們解決什么問題。讓學(xué)生梳理“有用信息”及“目標問題”，進一步明確解題指向。這樣只有我們讀懂了題，才能更好地進行解決問題。 怎樣幫助學(xué)生讀懂題 ·手勢理解。 ·情景再現(xiàn)。 ·邊讀題邊記錄。畫批的方法，給思維以方向，給思維以范圍。 ·抽象出問題的骨架，可以是畫出圖表示關(guān)系。 ·從數(shù)學(xué)的角度觀察、思考，提取數(shù)量關(guān)系，提出并解答數(shù)學(xué)問題。 2. 分析數(shù)量關(guān)系 我們要重視對運算意義的教學(xué)。加、減、乘、除運算的意義是核心概念，要讓學(xué)生積累原型，在什么時候用加、減、乘、除運算。 積累數(shù)學(xué)原型 加法可以作

6、為合并、移入、增加、繼續(xù)往前數(shù)等的模型； 減法可以作為剩余、比較、往回數(shù)、減少或加法逆運算等的模型； 乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計算、倍數(shù)、組合等的模型； 除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運算等的模型。 除此之外，還要 在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價 = 單價×數(shù)量、路程 = 速度×時間，并能解決簡單的實際問題。 注重對數(shù)量關(guān)系的分析。 在解決具體問題時，教師要鼓勵學(xué)生通過實際操作、思考討論，尋找問題中所隱含的數(shù)量關(guān)系，強調(diào)對問題實際意義和數(shù)學(xué)意義的真正理解。例如，教師要鼓勵學(xué)生首先看懂問題情境，用自己的語言或者熟悉的符號表達問題情境和需要解決的問題；根據(jù)所求

7、的問題和情境中的條件，運用圖、表格等多種形式分析數(shù)量關(guān)系；回憶所學(xué)運算及其他內(nèi)容的數(shù)學(xué)意義，將數(shù)量關(guān)系表達出來，這就是 關(guān)注題目的大邏輯 ： 如：三年級植樹 20 棵，六年級植樹的棵樹是三年級的 3 倍，三年級和六年級一共植樹多少棵？ 此題的大邏輯：三年級種的棵樹六年級種的棵樹 = 總數(shù) 小桶裝水 8 千克，大桶裝水的質(zhì)量比小桶多 5 千克， 4 個大桶可以裝水多少千克？ 此題的大邏輯：一個大桶的質(zhì)量× 4= 總質(zhì)量 還可以讓學(xué)生畫枝形圖：從條件入手畫枝形圖，表示題中的數(shù)量關(guān)系，這就是用綜合法來分析題中的信息。 也可以從結(jié)論入手畫枝形圖，表示題中的數(shù)量關(guān)系，這就是用分析法來詮釋題中的

8、數(shù)量之間的關(guān)系。 看來分析數(shù)量關(guān)系的方法：從條件入手、從問題入手這些分析方法該告訴學(xué)生還得告訴學(xué)生，那什么從問題解決情景中逐步抽象出模型呢？ 從眾多情景中抽象出模型 建立數(shù)學(xué)模型；向別人解釋自己所列模型的實際意義。在學(xué)習(xí)了一段時間后，教師還可以鼓勵學(xué)生自己總結(jié)一些數(shù)學(xué)模型的典型實例。 一輛客車 3 小時行 270 千米，照這樣計算， 6 小時行多少千米？ 3 瓶飲料花 27 元， 5 瓶這樣的飲料花多少元？ 王師傅 2 小時生成 18 個機器零件，照這樣計算， 9 小時可以生產(chǎn)多少個機器零件？ 這三道題全部是歸一問題，傳統(tǒng)的基于題型的訓(xùn)練也是建模；為什么這樣說呢？ 一是從眾多例證中抽取共性的東

9、西：都是先求單一量，這一步是中間問題，也是解決問題的關(guān)鍵所在；二是在選取素材時選取了基本的數(shù)量關(guān)系：如速度×時間 = 路程；單價×數(shù)量 = 總價；補充了工作效率×工作時間 = 工作總量。這就是建立模型的過程。 教學(xué)中也有一些老師經(jīng)常問這樣的問題：實際問題解決之后，用不用給學(xué)生總結(jié)歸納基本的數(shù)量關(guān)系：每份數(shù)×份數(shù) = 總數(shù)，單價×數(shù)量 = 總價似乎老師給總結(jié)了就有灌輸?shù)南右伞?其實，這些基本的數(shù)量關(guān)系在學(xué)生充分感悟的基礎(chǔ)上，需要教師總結(jié)提煉，這也是抽象概括的過程。學(xué)生可以運用這幾個基本的數(shù)量關(guān)系去解決其它類似的問題。當然不要過早地揭示，更不能強加

10、給學(xué)生。 從模型出發(fā)引發(fā)新的問題情景 像“植樹問題”在新課標教材中，不論哪個版本都有涉及。植樹問題分三種情況： 第一種是兩端種樹，第二種是一端種樹，第三種是兩端都不種。 在四年級的一次調(diào)研測試時，有幾道題目從不同角度詮釋了植樹問題： （ 1 ）小明早晨去學(xué)校時，氣溫是零下 3 ， 中午休息時，氣溫是 5 。那么氣溫上升了 ( ) 。 這是屬于一端種樹的問題，學(xué)生可以根據(jù)直觀圖數(shù)段數(shù)，也可以進行計算。 (2) 從 20 數(shù)到 50 ，兩個兩個地數(shù)，一共數(shù)（ ）次。 這是一年級學(xué)過的 100 以內(nèi)數(shù)的數(shù)數(shù)問題，到了四年級呈現(xiàn)此題時，目的時讓學(xué)生不斷把學(xué)過的知識進行分類、歸類和建構(gòu)。這道題就是四年級

11、學(xué)過的植樹問題，兩端都種的情況。 換成解決問題的題目：一條 30 米長的路，每 2 米栽 1 棵月季花，從頭到尾一共栽多少棵？這就是模型思想。需要教學(xué)中經(jīng)常變化情景，做到變中抓不變。 什么是“好”的問題？ 對于教材編寫和教學(xué)，一個首要的方面是提出“好”的問題。對于“好”的標準也許并不統(tǒng)一，這里只是談一談我們的思考?！昂谩钡膯栴}絕不等同于簡單的練習(xí)，解決問題也決不能簡單地理解為在一般的公式中對某個參數(shù)賦以具體的數(shù)值，也不能僅僅理解為會解決一些“人造”的問題。當然，知識的簡單應(yīng)用是必要的，但不能僅僅停留于此，而是應(yīng)努力使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中“抽取”數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)化過程，以及把數(shù)學(xué)模型放到現(xiàn)實中加以

12、使用的過程。 在內(nèi)容上，它的內(nèi)容更具有現(xiàn)實性，更貼近孩子生活實際，從形式方面新穎活潑，從單一的文字形式到了圖文并茂的形式； 從思維價值上看更具有挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生在解決這個問題的過程當中就獲得了思維的發(fā)展，換一句話說就是要用數(shù)學(xué)本身的魅力來吸引學(xué)生； 從趣味性層面看要能夠激發(fā)孩子的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望。 概括起來說，一個好問題具有以下四個特點： （1）具有較強的探究性（或創(chuàng)造精神） （2）具有一定的啟發(fā)性和發(fā)展空間 （3）具有一定的開放性 （4）具有給定信息的現(xiàn)實性和簡易性 四、教學(xué)中凸顯問題解決的策略 問題解決活動的價值不只是獲得具體問題的解，更多的是學(xué)生在問題解決過程中獲得的發(fā)展。其中重要的

13、一點在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些問題解決的基本策略，體驗問題解決策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的某些策略。 下面我們就來介紹幾種常用的解題問題的策略。 1畫圖的策略。 把畫圖作為一種解決問題的策略。由于孩子年齡的局限，他們對符號、運算性質(zhì)的推理可能會發(fā)生一些困難，如果適時的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學(xué)生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關(guān)鍵。因此我們認為，畫圖應(yīng)該是孩子們掌握的一種基本的解決問題的策略。為什么說畫圖很重要呢？主要是比較直觀，通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，把一些復(fù)雜的問題簡單化。下面我們來介紹幾種常用的畫圖的方法。 畫圖包括畫線段圖、 樹圖 、

14、集合圖 、 示意圖 除了剛才介紹的幾種圖以外，孩子們有的時候是沒有任何框框的，他們根據(jù)自己的經(jīng)驗，自己的思維的特點，可能畫出一些讓我們老師意想不到的、他所明白的一些圖。就是孩子們在解決問題的過程中，自己畫的圖。因此我們特別提出來，作為教師要尊重孩子們，特別是當孩子們的示意圖畫出來的時候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我們要很好地、認真地去挖掘他的思維價值，保護孩子們創(chuàng)造的積極性。 多樣化方法的呈現(xiàn)，讓學(xué)生的交流成為可能，實現(xiàn)了 “經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法?！?這樣的課程目標。 鼓勵學(xué)生畫圖分析問題和解決問題，發(fā)展學(xué)生的畫圖意識。尤其是學(xué)生自己畫的富有個性的

15、示意圖，是學(xué)生認知風(fēng)格的具體體現(xiàn)。 畫圖，不僅讓學(xué)生思維外顯，而且讓教師了解學(xué)生的思維水平，為學(xué)生間的相互交流提供了有力的支撐；畫圖在具體形象和抽象數(shù)量關(guān)系之間架起了橋梁。 2列表嘗試 列表的策略，有時候我們也叫列舉信息的策略。在解決問題的過程當中，我們將問題的條件信息用表格的形式把它列舉出來，往往能對表征問題和尋求問題解決的方法，起到事半功倍的效果。 嘗試的策略，簡單的說就是不知道該從哪開始的時候，可以先猜一猜來進行嘗試。但是猜測的結(jié)果，應(yīng)該是比較合理的，并且要把猜測的結(jié)果，放到問題中去進行調(diào)整。 多數(shù)情況下這兩種策略同時使用。雞兔同籠問題也是運用列表的方法，在嘗試與調(diào)整中逐步逼近正確答案。

16、 問題與策略之間不應(yīng)該是一一對應(yīng)的，解決同一個問題應(yīng)該有多種策略，一種策略也應(yīng)該能解決多種問題。 3模擬操作。 模擬操作是通過探索性的動手操作活動，來模擬問題情境，從而獲得問題解決的一種策略。學(xué)生是通過自己探索的過程，將需要解決的問題，轉(zhuǎn)化為一個已知的問題來進行推導(dǎo)性的研究。通過這種開發(fā)性的操作的策略的訓(xùn)練，不僅能夠使學(xué)生獲得問題的解決，而且在這個過程當中，也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。 如：甲乙兩地相距 360千米 客車和貨車同時從甲開出?？蛙嚸啃r行 60千米 ，貨車每小時行 40千米 ，客車到達甲地后立刻返回，幾小時與乙相遇？ 用手勢進行模擬；或動作模擬。學(xué)生明白做的路程是2個 360千米 ； 4. 逆推 逆推也叫還原，就是說從反面去思考，從問題的結(jié)果一步一步地反面去思考。在解決某一個問題的過程當中，當你從正面進行思考遇到了阻礙，碰到困難的時候，可以換個思路從相反的方向，即從問題的結(jié)果一步一步的往前推。 小結(jié)解決問題的策略： “列表”； “ 假設(shè)” ；“猜想嘗試”； “模擬操作”；“畫圖”； “逆推”；“簡化”等都是學(xué)生常用的解決問題的策略。 問題解決的建議： 1理解運算意義的基礎(chǔ)上，學(xué)會分析數(shù)量關(guān)系。 2注重恰當選擇解決問題的策略。 3鼓勵學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題提出問題的意識，提高學(xué)生問題解決的能力。 4反思問題解決的過程及策略，逐步形成評價