專題123 全等三角形的九大經(jīng)典模型（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題12.3全等三角形的九大經(jīng)典模型【九大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1平移模型】.............................................................................1

【題型2軸對稱模型】...........................................................................5

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】.............................................................................II

【題型4一線三等角模型】.....................................................................19

【題型5倍長中線模型】........................................................................26

【題型6截長補(bǔ)短模型1........................................................................................................34

【題型7手拉手模型】..........................................................................43

【題型8角平分線模型】........................................................................51

【題型9半角全等模型】........................................................................57

，舉一反三

【知識點(diǎn)1平移模型】

【模型解讀】把a(bǔ)ABC沿著某一條直線1平行移動，所得到4DEF與aABC稱為平移型全等三角形，圖①,

圖②是常見的平移蟄全等三角線.

圖①

【常見模型】

【例1】（2023春映西咸陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿BC方向平移得到ADEF,使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)E恰

好落在邊8c的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)?在BC的延長線上，連接力D,AC.DE交于點(diǎn)0.下列結(jié)論一定正確的

是（）

A.LB=LFB.ACLDEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

【答案】D

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到/，BE=CF=CE=AD,AD//BC,DF=AC,由于只有當(dāng)/84C=90。時,

ACIDE；只有當(dāng)AC=24。時，DF=AC=BE,則可對4、B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；4。交。石于。點(diǎn)，如圖，

證明△/1。。4△。。石得至|JOO=OE,OA=OC,則可對。選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：???△A4C沿3C方向平移得到△￡>￡凡使點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)￡恰好落在邊4c的中點(diǎn)上，

/.ZB=ZDEF,BE=CF=CE=AD,AD//BC,DF=AC,

只有當(dāng)NZMC=90。時，ACrDEx

只有當(dāng)80%。時，DF=AC=BE,所以A、B、。選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；

VAD//BC,

???Z0AD=ZOCE,ZODA=ZOEC,

而AD=CE,

：,^AOD^/\COE（ASA）,

：.0D=0E,OA=OC

即AC、QE互相平分，所以。選項(xiàng)的結(jié)論正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原

圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對

應(yīng)點(diǎn).連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）.且相等.

【變式1-1]（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊4C與△CQE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C

為AE的中點(diǎn)，AB=CD,BC=DE.

DE

(I)求證：△A5cg△(7￡)￡：；

(2)洛△A4C沿射線AC方向平移得到△48'C',邊BC與邊CD的交點(diǎn)、為F,連接ER若即將CDE分

為面積相等的兩部分，且A8=4,則CF=_

【答案】(1)見解析

(2)2

【分析】(1)首先由點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)得出4C=CE,再根據(jù)SS5證明△八月。且/\。?！辏杭纯桑?/p>

(2)根據(jù)平移的性質(zhì)得4夕=G)="=4,再由Er將CQE分為面積相等的兩部分得“=DF=^CD=2

【詳解】(1)證明：???點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，

：.AC=CE

在A/\8。和4CQE中，

(AB=CD

8c=DE

\AC=CE

：,LABC^ACDE

(2)解：將△ABC沿射線AC方向平移得到A/TBC,且人8=4,

^A'B1=CD=AB=4,

???邊B(，與邊CD的交點(diǎn)、為F,連接￡尸將。。七分為面積相等的兩部分，如圖

：.CF=DF=^CD=2,

故答案為：2

【點(diǎn)晴】本題主要考查了全等三角形的判定以及平移的性質(zhì)，根據(jù)SSS證明△ABC也△(?￡)￡是解答本題的關(guān)

鍵.

至!UDE尸.如圖,連接80、AF,則80AF（填或”=”），并證明.

【分析】由AABC沿8C方向平移得至以。￡尸，得到4C=。尸，^DFB=^ACB=Z-ABF,即可證明；

【詳解】解：BD=AF.

證明：由△4BC沿BC方向平移得到△/）￡＞「，AB=AC,

得=DF=AB?乙DFB=Z.ACB=乙ABF.

AB=DF

在公力8尸和中，（Z.ABF=/.DFB,

BF=FB

/.AABF三△DFB（SHS）,

；?BD=AF.

故答案是一

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵.

【知識點(diǎn)2軸對稱模型】

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見模型】

【題型2軸對稱模型】

【例2】（2023春?河北邯鄲?八年級?？计谀┤鐖D，在長方形ABC。中，點(diǎn)M為CD中點(diǎn)，將△M8C沿8M翻

折至aMBE,若N4ME=a,乙4BE=0,則a與0之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.a4-3/?=180°B.-a=20°C.a+/?=80°D,3s—2a=90。

【答案】D

【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合翻折變換的性質(zhì)得出△ADM^ABCM(SAS),進(jìn)而利用直角三角形的性

質(zhì)得出答案.

【詳解】TM為CD中點(diǎn)，

.*.DM=CM,

在AADM和^BCM中

AD-BC

,/乙D=AC,

DM=CM

.,.△ADM^ABCM(SAS),

AZAMD=ZBMC,AM=BM

AZMAB=ZMBA

???將點(diǎn)C繞著BM翻折到點(diǎn)E處，

/.ZEBM=ZCBM,ZBME=ZBMC=ZAMD

AZDME=ZAMB

:.ZEBM=ZCBM=^(90o-p)

???ZMBA=^(90o-p)+p=i(90o+p)

:.ZMAB=ZMBA=^(90o+P)

AZDME=ZAMB=180o-ZMAB-ZMBA=90°-p

???長方形ABCD中，

ACD/7AB

:.ZDMA=ZMAB=^(90°+p)

/.NDME+NAME=NABE+/MBE

VZAME=a,ZABE=P，

.\90o-p+a=p-4（90o-p）

/.3p-2a=90°

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用全等三角形對應(yīng)角相等即可求解.

【變式2-1］（2023?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，將RSABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F分別為DC,

BC邊上的點(diǎn)，且NEAF二;NDAB.試猜想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【詳解】試題分析：通過延長CF,將DE和BF放在一起，便于尋找等量關(guān)系，通過兩次三角形全等證明,

得出結(jié)論.

猜想：DE+BF=EF.證明：延長CF,作N4=N1,如圖：

;將RSABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且NEAF=NDAB,

AZ1+Z2=Z3+Z5,Z2+Z3=zl+Z5,

Z4=Z1,

，N2+N3=N4+N5,

AZGAF=ZFAE,

24二N1

<AB=AD

在△AGB和^AED中，NABG二NADE,

AAAGB^AAED(ASA),

AG=AE,BG=DE,

'AG二AE

<ZGAF=ZEAF

在AAGF和^AEF中，AF=AF,

/.△AGF^AAEF（SAS）,

；?GF=EF,

ADE+BF=EF.

【變式2-2]（2023春?山東青島?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt/MBC中,“=90°,將沿48向下翻折

后，再繞點(diǎn)4按順時針旋轉(zhuǎn)a度（a<Z48C）.得到RCA40E,其中斜邊4E交8C于點(diǎn)兒直角邊。E分別48、BC

于點(diǎn)G,“

（1）請根據(jù)題意用實(shí)線補(bǔ)全圖形；（不得用鉛筆作圖）.

（2）求證：AAFB=AAGE

【答案】（1）作圖見詳解；（2）證明見詳解.

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，注意折疊與旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)關(guān)系；

（2）由題意易得△ABC^^AED,即可得ABnAE,ZABC=ZE,然后利用ASA的判定方法，即可證得

△AFB^AAGE.

【詳解】解：（1）畫圖，如下圖；

證明：由題意得：△ABC04AED.

AAB=AE,NABC二NE.

在AAFB和^AGE中,

‘乙ABC=cE

<AB=AE

、ca=￡.a

/.△AFB^AAGE（ASA）.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及注意

折疊與旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)關(guān)系.

【變式2-3]（2023春?山西臨汾?八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答下列問題

如圖I,以AB為軸，把^ABC翻折180°,可以變換到△ABD的位置；

如圖2,把△ABC沿射線AC平移，可以變換到ADEF的位置.像這樣，其中的一個三角形是另一個三角

形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換.班

里學(xué)習(xí)小組針對三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論

（1）請你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），.

（2）如圖2,前進(jìn)小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF,若平移的距離為2,且AC=5,則DC=.

（3）如圖3,圓夢小組展開了探索活動，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A，的

位置，且得出一個結(jié)論：2NA，=/1+N2.請你對這個結(jié)論給出證明.

（4）如圖4,奮進(jìn)小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A，的位置

此時與Nl、N2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明.

圖1圖2圖3圖4

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)；（2）3；（3）見解析；（4）不成立，正確結(jié)論：Z2-Z1=2ZA',見解析

【分析】（I）由題意根據(jù)三種全等變換翻折、平移、旋轉(zhuǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）根據(jù)平移的距離的定義可知AD=2,則DC=AC-AD進(jìn)行求解即可；

（3）根據(jù)軸對稱及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可得出結(jié)論；

（4）由題意根據(jù)軸對稱及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行分析即可得出結(jié)論.

【詳解】解:（1）除翻折、平移外全等變換的方法還有旋轉(zhuǎn)；

故答案為：旋轉(zhuǎn).

(2)VAD=2,AC=5,

ADC=AC-AD=5-2=3：

故答案為：3.

(3),??把△ADE沿DE翻折，得到△ADE,

AAADE^AA'DE,

AZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

在ADEA，中，ZA'=180°-(NA'DE+NA'ED)；

由平角定義知，Z2=1800-ZA,DA=I8O°-2ZA'DE,

Zl=1800-ZA'EA=1800-2NA'ED,

AZl+Z2=180°-2ZA'DE+180c-2ZA'ED=2(180°-ZA'ED-ZA'DE),

，2NA，=N1+N2.

(4)Z2-Z1=2ZA',

理由如下：

???把△ADE沿DE翻折，得到△ADE,

/.△ADE^AA'DE,

.?.ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

在ADEA，中，ZA'=180°-(ZA*DE+ZA,ED),

由平角定義知，Z2=180°-ZA,DA=I80°-2ZA'DE,Z1=2ZA'ED-180°,

AZ2-Zl=(1800-2ZA,DE)-(2ZA,ED-180°)=180°-(ZA,DE+ZA,ED),

/.Z2-Z1=2ZA'.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，綜合考查平移的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)

等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解答本題的關(guān)鍵.

【知識點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)模型】

【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋

轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加(減)公共角的條件.

【常見模型】

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】

【例3】（2023春?全國?八年級期末）（I）問題引入：如圖1,點(diǎn)尸是正方形A3c。邊CO上一點(diǎn)，連接A凡

將AADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。與MBG重合（。與8重合，”與G重合，此時點(diǎn)G,B,。在一條直線上），

NG4戶的平分線交BC于點(diǎn)E,連接EF,判斷線段E廠與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）知識遷移：如圖2,在四邊形4BCO中，ZADC+ZB=180°,AB=AD,E,尸分別是邊BC,CO延長

線上的點(diǎn)，連接AE,AF,且NBAD=2NEAF,試寫出線段BE,EF,。/7之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3,在四邊形ABC。中，NA8C=90。，AC平分ND48,點(diǎn)E在人4上，連接CE,

且NOA8=NOCE=6（）。，若DE=a,AD=hfAE=c,求BE的長.（用含小方，c的式子表示）

【答案】（1）EF=GE,理由見詳解；（2）BE-DF=EF,理由見詳解；（3）8￡=絲產(chǎn)，理由見詳解

【分析】（1）根據(jù)S4S直接可證△△曲后即得GE=KE

（2）在6七上取4G=。尸，連接AG,由NAOC+N4=180。，ZADF+ZADC=180°,得NB=NADF,從

而SAS證△A6G0△AQF,再通過SAS證△GAE0Z\E4E,得GE=EF,從而解決問題；

（3）CFA.AD,交A。的延長線于F,取FG=BE,連接CG,由（2）同理可兩次全等證明出。E=G。即

可.

【詳解】解：（1）EF=GE,理由如下：

???AADF繞點(diǎn)、A順時針旋轉(zhuǎn)90。與^A8G重合，

：.AG=AF,

??YE平分NGAF,

：.￡GAE=4FAE,

在A/%￡中，

AG=AF

Z.GAE=Z-FAE,

AE=AE

???△GAE9△必E(SAS),

:.GE=EF；

(2)BE-DF=EF,理由如下：

如圖2,在BE上取BG=DF,連接AG,

VZADC+Z^=180°,ZADF+ZADC=180°,

：,ZB=ZADF,

在AA8G和△A。尸中，

BG=DF

乙B=Z.ADF,

AB=AD

：.^ABG^^ADF(SAS'),

：.ZBAG=ZMD,AG=AF,

ZBAD=2ZEAF,

???NGA尸=2NEAR

：.ZGAE=ZEAF,

在AGAE^L物E中

(AG=AF

ZMF=Z-FAE,

(AE=AE

/.△GAE^AME(SAS),

：.GE=EF,

:?BE-DF=EF；

(3)如圖，作_LA。，交AO的延長線于F,MXFG=BE,連接CG,

G

?.FC平分NBA。，CFLAF,CBLAB,

:.CF=CB,/EBC=NGFC,

?：BE=GF,

:.△CBEmACFG(SAS),

:"BCE=/FCG,CG=CE,

VZD^=60°,

Q

：,ZFCB=\20t

ZDCE=60°,

ZDCF+ZZ?CE=60°.

r.ZDCG=60°,

又,：CG=CE,

/.△ECD^AGCD(SAS),

：,GD=DE,

?:RmACF"RtXACB(HL),

：.AF=AB,

；?b+a-BE=c+BE,

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合問題引入，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

［變式3-11(2023春?八年級課時練習(xí))如圖，等邊△A8C中，乙408=115。,，B0C=125°,則以線段。力,0B,0C

為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為.

B

【分析】通過旋轉(zhuǎn)△40B至△CD&可得△8。。是等邊三角形，將04。8,0。放在一個三角形中，進(jìn)而求

出各角大小。

【詳解】解：將△4。8逆時針旋轉(zhuǎn)60。,得到ACDB,

?:公AOB經(jīng)?CDB,△48C是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則。8=DB,4080=60°

，ABOD是等邊三角形.則OB=DB=OD

又T&AOBW&CDB：,^AOB=LCDB=115°OA=DC

故以線段。4OB,OC三邊構(gòu)成的三角形為△OCD

所以AODC=Z.CDB-Z.ODB=115°-60°=55°

ACOD=ABOC-/.BOD=125°-60°=65。

匕OCD=180°-Z.ODC-COD=180°-65°-55°=60°

故答案為：55。,60。,65。.

【點(diǎn)睛】此題旨在考查圖形旋轉(zhuǎn)的特性和實(shí)際應(yīng)用，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用是

解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）已知，如圖I,四邊形4BCD是正方形，E,尸分別在邊BC、CD

上，且NEA尸=45°.

B

mi圖2

(1)在圖I中，連接EF,為了證明結(jié)論=+”，小亮將410尸繞點(diǎn)71順時針旋轉(zhuǎn)90。后解答了這個

問題，請按小亮的思路寫出證明過程；

(2)如圖2,當(dāng)“"繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與。F、施之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【答案】(1)見解析

(2)EF=DF-BE.

【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明A4GE蘭A4E/即可.

(2)把A48E繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)90、使力8與CO重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對應(yīng)到40,證明A4EF三AAG/即可

求得EH=DF-BE.

由旋轉(zhuǎn)可得GB=DF,AF=AGXBAG=（DAF

???四邊形力BCO為正方形

A2.BAD=2.ADF=AABC=90°

:.LABC+Z-ABG=180°

：?G、B、C三點(diǎn)在一條直線上

???LEAF=45°

:.LBAE+Z-DAF=45°

???LBAG+^.BAE=45°=Z.EAF

在SAGE和△AbE中

AG=AF

￡.GAE=^EAF

,AE=AE

:.LAGE會LAFE{SAS）

：?GE=EF

???GE=GB+BE=BE+DF

：?EF=BE+DF

理由：如圖2,把AABE繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)90。，使力B與力。重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對應(yīng)，同(1)可證得AAEF三

△力GF(S4S)

:.EF=GF，且DG=BE

AEF=DF-DG=DF-BE

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用

旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形.

【變式3-3](2023春?江蘇?八年級專題練習(xí))如圖，在銳角A48C中，44二60。，點(diǎn)。，E分別是邊上

一動點(diǎn)，連接BE交直線CO于點(diǎn)“

(1)如圖I,^AB>AC,W.BD=CE,Z-BCD=Z-CBE,求NC尸臼的1支數(shù)；

(2)如圖2,若加=4C,且BD=4E,在平面內(nèi)將線段4C繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段CM,連接MF,

點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)D,E運(yùn)動過程中，猜想線段BF￡F,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的猜想.

【答案】(1)60。

⑵8F+CF2CN,理由見解析

【分析】(1)如圖1中，在射線。。上取一點(diǎn)K,使得CK=8E,證明ABCEMACBKGAS),推出

BK=CE,乙BEC=￡BKD,再證明々4D"+ZL4EF=180。，可得結(jié)論：

(2)結(jié)論：BF+CF=2CN.首先證明，BFC=120。.如圖2中，延長CN到Q,使得NQ=CN,連接FQ,證明

△CNMZAQN尸(SAS),推出只?=。時=8。，延長Cr到P,使得PF=8凡則APB"是等邊三角形，再證明

APFQ*PBC(SAS),推出PQ=PC,NCPB=NQPF=60。，推出APCQ是等邊三角形，可得結(jié)論

【詳解】(1)解：如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K使得CK=BE,

在A8CE和AC8K中,

BC=CB

LBCE=￡.CBE,

BE=CK

??"BCEMACBK(SAS),

???BK=CE,/.BEC=Z-BKD,

,/CE=BD,

:.BD=BK,

??.乙BKD=^BDK=^ADC=^CEB，

???/8EC+4AEF=180。，

???，?1DF+44EF=180。，

：.AA+Z-EFD=180°,

??Z=60。，

??./￡7遼)=120。，

.*.zCFF=180°-120°=60°.

(2)結(jié)論：BF+CF=2CN.

理由:如圖2中,VAB=ACt^A=60°,

???△ABC是等邊三角形，

：.AB=CB,Z.A=/.CBD=60°t

*：AE=BD,

??.乙4BE言A8C0(SAS),

：.^BCF=^ABE,

??"BC+iBCr=60。，

.\Z5FC=12O°,

如圖2中，延長CN到Q,使得NQ=CN,連接FQ,

圖2

,:NM=NF,乙CNM=LFNQ,CN=NQ,

??.△CNMMAQNF(SAS),

：.FQ=CM=AC=BC,乙M=￡NFQ,

：.FQ||CM.

工乙PFQ=LFCM.

延長CF到尸，使得Pr=8F,

Vz5FP=180°-120°=60%

??"P8F是等邊三角形，

：.APBC+Z-PCB=Z-PCB+AFCM=120°,

：.LPFQ=Z-FCM=Z.PBC,

":PB=PF,

???△PFQMAPBC(SAS),

；?PQ=PC,^CPB=^QPF=6。。,

??"PCQ是等邊三角形，

：?BF+CF=PF+CF=PC=PQ=QC=2CN.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確

尋找全等三角形解決問題.

【知識點(diǎn)4一線三等角模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD_LDE,AB_LAC,CE±DE,那么一定有/B=/CAE.

【題型4一線三等角模型】

【例4】（2023春?山東荷澤?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1,在△ABC中，N8AC=90。，AB=AC,

直線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)4,直線〃2,。七，直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)。、E.求證：AABD注ACAE；

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在AABC中，AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線〃?上，并且有N8D4

=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論△是否成立？如成立，請給出證

明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線〃?上的兩動點(diǎn)（Q,A,E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)尸

為NB4C平分線上的一點(diǎn)，且A4B尸和△AC尸均為等邊三角形，連接8D,CE,若NBDA=NAEC=N8AC,

求證：尸是等邊三角形.

【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解

【分析】（1）根據(jù)8D1直線m,?！?1直線771得28/）力=〃^力=90。，而上84c=90。，根據(jù)等角的余角相等

得/C4E="BD,然后根據(jù)“4AT可判斷A4DB三ACE4

（2）利用ZB/X4=4B4C=a,+Z.BAD=Z.BAD+Z.CAE=180°-a,得出4G4E=4力80,然后

問題可求證;

（3）由題意易得B尸=42=/18=4。,4/18尸=48/1>=乙凡4。=60°,由（1）（2）易證A/W8三ACE4

則有力E=BD,然后可得4尸8。二乙凡4E,進(jìn)而可證AD8F三AEAF,最后問題可得證.

【詳解】（1）證明：?.?BD1直線n,CE1直線m,

Z.BDA=Z.CEA=90°,

vLBAC=90°,

:./.BAD+LCAE=90°,

v/.BAD+乙ABD=90°,

???Z.CAE=乙ABD,

???在AADB和ACEA中，

NABD=乙CAE

Z-BDA=Z.CEA?

.AB=AC

:.LADB=^CEA(AAS)；

解：(2)成立，理由如下：

vZ.BDA—Z.BAC=a,

乙DBA十Z.BAD=乙BAD+Z.CAE=180°-a,

???Z.CAE=乙ABD，

???在AADB和ACEA中，

NABD=/-CAE

LBDA=Z.CEA,

AB=AC

:.A4OB三^CEA(AAS)；

(3)證明：???△"/和△Ab均為等邊三角形，

:?BF=AF=AB=AC,Z.ABF=LBAF=乙FAC=60°,

???ZBDA=ZAEC=ZBAC=\20\

?"DBA+Z.BAD=乙BAD+￡.CAE=180°-120°,

：.LCAE=乙ABD,

DDB三^CEA(AAS),

'.AE=BD,

■:乙FBD="BA+匕ABD,4FAE=乙FAC+Z.CAE,

?"FBD=LFAE,

：.LDBF三AEM(SAS),

：.FD=FE/BFD=LAFE,

：.LBFA=Z-BFD+/-DFA=^AFE+上。尸力=4DFE=60°,

??.△OF石是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023?浙江,八年級假期作業(yè)）如圖，在AABC中，A8=AC=9,點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線

交8C于點(diǎn)O,若/ADE=NB,CD=3BD,則CE等于（）

99

A.3B.2C.-D.-

42

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NC,推出N84O=NCQE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到4。

=ED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CO=AB=9,BD=CE,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???4B=4C=9,

???NB=NC,

V^ADE=ZI3,N6AO=I80。-NB-NADB,ZCDE=）80°-NADE-NADB,

:?/BAD=NCDE,

??YE的中垂線交BC于點(diǎn)、D,

：,AD=ED,

在A48￡）與仆DCE中，

/.BAD=乙CDE

乙B=乙C>

AD=ED

:.△ABDgADCECAAS）,

:?CD=AB=9,BD=CE,

?:CD=3BD,

：.CE=BD=3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4-2]（2023春?上海?八年級專題練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí),

解決下列問題:

圖1圖2圖3

［模型呈現(xiàn)］如圖I,/-BAD=90°,AB=AD,過點(diǎn)8作BC14C于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作OE14c于點(diǎn)E.求證：

BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,力且=3。_1。。且8。=。0,請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,Z-BAD=^CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接8C,DE,且8cl力廣于點(diǎn)立DE與

直線AF交于點(diǎn)G.若BC=21,AF=12,則△力DG的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見解析；［模型應(yīng)用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BC=4E；

［模型應(yīng)用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根據(jù)梯

形的面積公式計算，得到答案；

［深入探究］過點(diǎn)。作OP14G于P,過點(diǎn)七作EQ14G交力G的延長線于Q,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=

AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明AOPG三ZkEQC,得到PG=GQ.,進(jìn)而求出4G,根據(jù)三

角形的面積公式計算即可.

【詳解】［模型呈現(xiàn)］證明：?."BAD=90。，

J./.BAC+WAE=90°,

\'BC1AC,DE1AC,

：.AACB=乙DEA=90。，

：.^BAC+AABC=90°f

：.LABC=匕DAE,

在ZM8C和△ZME中，

(Z.ABC=乙DAE

\^ACB=Z.DAE,

(BA=AD

：,LABC三△ZX4E(AAS),

：.BC=AEx

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，AAEP三ABAGACBG三ADCH,

：,AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

則5實(shí)線圍成的圖形=1(4+6)x(3+64-4+3)—|x3x6—1x3x6—1x3x4—1x3x4=50,

故答案為：50；

［深入探究］過點(diǎn)。作DP1AG于P,過點(diǎn)E作EQ14G交AG的延長線于Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，△AFBSADPA^AFC-△EQA,

：.DP=AF=12,EQ=AF=12,,4P=BF,AQ=CF,

在AEQG中，

(乙DPG=Z.EQG

ZDGP=乙EGQ,

(DP=EQ

：.LDPG^AFQG(AAS),

：.PG=GQ,

?:BC=21,

：,AQ+AP=21,

：.AP+AP+PG+PG=21,

：.AG=AP+PG=10.5,

?'?S^ADQ=1x10.5x12=63,

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，熟記三角形確定的判定定理是解題的

關(guān)鍵.

【變式4-3］(2023春?八年級課時練習(xí))(1)課本習(xí)題回放："如圖①，LACB=90°,AC=BC,AD1CEf

8E_I.CE,垂足分別為0,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：8E的長為

（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)8,C在NM/N的邊力M、/1N上，AB=AC,點(diǎn)、E,F在/M/1N內(nèi)部的射線40上，

RZLBED=LCFD=Z.BAC.求證：A/18E三AC4F.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在△力8c中，AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上,CD=280,點(diǎn)￡、尸在線段4。上,

乙BED=AFD=△BAC.若A48C的面積為15,則2L4CF與ABDE的面積之和為.（直接填寫結(jié)果,

不需要寫解答過程）

【答案】⑴0.8c/??：(2)見解析⑶5

【分析】(1)利用A4s定理證明么CEB之△AOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)由條件可得/BEA=NAR7,N4=NABE,根據(jù)A4S可證明△ABEgZSCAB

(3)先證明△ABEg/XCAF,得至！A/CF與ABDE的面積之和為△A8Q的面積，再根據(jù)CD=28D故可求解.

【詳解】解：(1)VBE1CE,AD1CE,

：.Z￡=ZADC=9()<3,

：.ZEI3C+ZI3CE=9()0.

???N8CE+N4CO=90°,

：./EBC=/DCA.

Z-E=乙ADC

在ACEB和△AOC中，｛4￡8C=4。C4

BC=AC

：.^CEB^^ADC(AAS),

:,BE=DC,CE=AD=2.5cm.

*：DC=CE-DE,DE=1.7皿

/.DC=2.5-1.7=0.8c/??,

:.BE=0.Scm

故答案為:0.8cm；

(2)證明：VZI=Z2,

：.ZBEA=ZAFC,

???Nl=N48E+/3,N3+N4=N8AC,Z\=ZBAC,

.??NBAC=NA8E+N3,

???N4=NABE.

VZ：AEB=ZAFC,NABE=N4,AB=AC,

A^ABE^/\CAF(/US).

(3),:乙BED=cCFD=ABAC

???^ABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

A^ABE=ZCAF,ZBAE=ZACF

又48=AC

：.'ABE^XCAF,

?"△48E=^hCAF

???2MCF與ABDE的面積之和等于2L48E與ABDE的面積之和，即為△ABD的面積,

■:CD=2BD,△A3D與△AC。的高相同

則SMBD=《SAABC=5

故2L4CF與A8DE的面積之和為5

故答案為：5.

A

B

BD

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

【知識點(diǎn)5倍長中線模型模型】

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之「在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加

輔助線.所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形

的有關(guān)知識來解決問題的方法.

【常見模型】

【例5】(2023春?甘肅慶陽?八年級校考期末)小明遇到這樣一個問題，如圖1,△ABC中，AB=7,IC=5,

點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍.小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線

法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題

的方法，他的做法是：如圖2,延長40到E,使OE=4。，連接BE,構(gòu)造△8E0&40,經(jīng)過推理和計

算使問題得到解決.請回答：

(I)小明證明^BED=△。4。用到的判定定理是：_(用字母表示)；

(2),10的取值范圍是」

(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.參考小明思考

問題的方法，解決問題：如圖3,在a/lBC中，4。為BC邊上的中線，且人。平分454C,求證：AB=AC.

【答案】⑴SAS

(2)1<AD<6

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)SAS定理解答：

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算，得到答案;

(3)仿照(1)的作法，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：在△BE"和△CAD中，

(BD=CD

UBDE=LCDA

(DE=DA

:ABED三△G4O(S4S),

???小明證明^BEDC4D用到的判定定理是SAS,

故答案為：SAS：

(2)???△BEDCAD,

???BE=AC,

在AABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

.-.AB-AC<2AD<AB+AC,

：.1<AD<6；

(3)證明：延長AO到點(diǎn)石，使DE=40,連接BE,

(DE=DA

IAEDB=iADC,

(DB=DC

:ABED三△&4D(S4S),

???Z.DAC=乙DEB,AC=BE,

???4)平分4ZMC,

???Z.DAC=Z.DAB,

Z.DAB=乙DEB,

???AB=BE,

:.AB=AC.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系，掌握三角形

全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，MBC中，點(diǎn)。在4c上“D=

3.AB+AC=10,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接WOCD=.

【答案】:

【分析】如圖，延長CE至F,使得EF=CE,交AB于點(diǎn)G,通過邊角邊”證明△BE/三△DEC,則=

乙DCE,BF=DC,根據(jù)題意與三角形的外角性質(zhì)可得N/GC=NDCE,進(jìn)而可得4G=4C,8尸=8G=CD,

設(shè)8尸=BG=。。=，根據(jù)題意得到關(guān)于x的方程，然后求解方程即可.

【詳解】解：如圖，延長CE至尸，使得EF=CE,交力8于點(diǎn)G,

???點(diǎn)E是8D的中點(diǎn),

：.BE=DE,

在A8EF與△OEC中，

(BE=DE

(EF=EC

ABEF=△DEC,

?0F=LDCE,BF=DC,

Vz/ICB=乙48c4-2乙BCE,

：,LDCE=^ACB-乙BCE=乙ABC+乙BCE,

*：LAGC=/.ABC+/-BCE.

：.LAGC=^DCE,

???，尸=乙DCE=LAGC=LBGF,AG=AC,

：.BF=BG=CD,

設(shè)8尸=BG=CD=x,

*：AD=3,AB+AC=10,

?10-X

..--------3=x,

2

解得％=j

?5

即CD=

J

故答案為：g

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在

于熟練掌握其知識點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)作出適當(dāng)?shù)妮o助線.

【變式5-2](2023春?全國?八年級階段練習(xí))如圖，AB=AE,ABLAE,AO=4C,4。_L4C,點(diǎn)M為BC的

【分析】延長/M至M使MN=4M,連接BN,證明△4MC三△NMB(SAS),推出AC=BN,zC=^NBM,

求出NE4O=乙48N,再證明△EAD三△4BN即可.

【詳解】證明：延長AM至N,使WN=4M,連接BN,

D

??,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),

：.CM=BM,

(AM=NM

在AAMC和aNMB中，Z/1MC=Z.NMB,

(CM=BM

：?AAMC三ANMB(SAS),

：.AC=BN,乙C=^NBM,

：.AD=BN,

'：ABLAE,AD1AC,

：.LEAB=/.DAC=90°,

：./.EAD+ABAC=180°,

?LABN=乙ABC+乙NBM=Z.ABC+Z,C=180°-Z.BAC=LEAD,

AE=AB

在AE4D和A/IBN中，Z.EAD=乙ABN,

,AD=BN

???AABN"EAD(SAS),

???DE=RN=2AM=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的準(zhǔn)理能力，延長至M使MN=4M,再

證＜N=OE即可，這就是“倍長中線”，實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短法”.

【變式5-3](2023?江蘇?八年級假期作業(yè))【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△/:。中，AB=1,AC=5,點(diǎn)、D為BC

的中點(diǎn)，求A。的取值范圍.

小明的解法如下：延長AO到點(diǎn)￡使。E=AO,連接C￡.

(BD=DC

在乙與^ECD中］匕/108=Z.EDC

\AD=DE

AA/WD=AECD(SAS')

:?AB=.

又「在△A￡C中EC?ACVAEVEC+AC,而A3=EC=7,AC=5,

/.<AE<.

又???AE=2A。.

J<AD<.

【探索應(yīng)用】如圖②,A8IICQ,AB=25,CD=8,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，NDFE=NBAE,求。尸的長為.(直

接寫答案)

【應(yīng)用拓展】如圖③，NB4C=60。，NCOE=I20。，AB=AC,DC=DE,連接BE,P為8E的中點(diǎn)，求證：

APA.DP.

【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC,2,12,1,6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見解析

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SA夕可證△可得A3=EC,由三角形的三邊關(guān)系可求解；

探索應(yīng)用：FtTSAS，可證可得A8=C”=25,即可求解；

應(yīng)用拓展：由'54歹可證△8以空可得AB=FE,ZPBA=ZPEF,由“SAS'可證△ACO%可

得A。二FD,由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)

解：如圖①，延長A。到點(diǎn)E,使。E=A。，連接CE,

在△人區(qū)。與4ECQ中,

(BD=DC

\AADB=乙EDC,

(AD=DE

??.△"￡＞且△ECO(SAS),

：.AB=EC,

在ZMEC中，EC-AC<AE<EC+AC,WAB=EC=1,AC=5,

：.2<AE<\2.

又；AE=2A。，

：,\<AD<6,

故答案為：EC,2,12,1,6；

探索應(yīng)用

解：如圖2,延長AE,CD交于H,

A

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),

：?BE=CE,

?:CD"RB,

：?/ABE=NECH,NH=NBAE,

:.△ABEWXHCE(4AS),

：?AB=CH=25,

：,DH=CH-CD=[7,

???ZDFE=ZBAE,

：?4H=4DFE,

:.DF=DH=\1,

故答案為：17；

應(yīng)用拓展

證明：如圖2,延長人P到點(diǎn)尸，使P/H4P,連接/力7,EF,AD,

在A8%與^EP/7中,

(PF=AP

l￡EPF=^.BPA，

(PE=PB

:.2BPA迫4EPF(SAS)，

；?AB=FE,NPBA=NPEF,

\*AC=BC,

：.AC=FE,

在四邊形8AOE中，ZBAD+ZADE+ZDEB+ZEBA=360°,

VZBAC=60°,ZCDE=120°,

，ZCAD+ZADC+ZDEB+ZEBA=180°.

\*ZCAD+ZADC+ZACD=180°,

/.NACD=NDEB+NEBA,

：.ZACD=ZFED.

在△4。。與4FED中,

(AC=FE

1/.ACD=乙FED,

(CD=DE

AAACD^AFED(SAS),

：.AD=FD,

\'AP=FP,

：.APA.DP,

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線,

證得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵.

【知識點(diǎn)6截長補(bǔ)短模型】

【模型解讀】截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長：指在長線段中截取一段等于已知線

段:補(bǔ)短:指將短線段延長，延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等服三角形、角平分線等關(guān)鍵詞

句,可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程,截長補(bǔ)短法(往往需證2次全等)。

【模型圖示】

(1)截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例：如圖，求證BE+DC=AD；

方法:①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AFnBE

(2)補(bǔ)短:將短線段延長，證與長線段相等

【題型6截長補(bǔ)短模型】

【例6】(2023?浙江?八年級假期作業(yè))如圖①,△ABC^^8DC是等腰三角形,且AB=AC,BD=CD,乙BAC=

80%Z.BDC=100°,以。為頂點(diǎn)作一個50。角，角的兩邊分別交邊4B,4C于點(diǎn)E、F,連接EE

(1)探究BE、EF,尸。之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)若點(diǎn)E、尸分別在八8、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則BE、EF,尸。之間存在什么樣的

關(guān)系？并說明理由.

【答案】(1)EF=BE+FC：(2)EF=FC-BE.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)，解得