七年級數(shù)學(xué)-從問題到方程教案

七年級數(shù)學(xué)-從問題到方程教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)讓學(xué)生初步學(xué)會分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)實際問題列出方程。理解方程、一元一次方程的概念，能識別一元一次方程。2.過程與方法目標(biāo)通過對實際問題的分析，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和概括的能力，體會建立方程模型解決問題的一般過程。經(jīng)歷從實際問題抽象出方程模型的過程，感受方程思想，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過探究實際問題與方程的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生主動探究的習(xí)慣。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出方程。理解方程、一元一次方程的概念。2.教學(xué)難點找出實際問題中的等量關(guān)系，并據(jù)此列出方程。三、教學(xué)方法講授法、討論法、探究法相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、合作交流，通過實際問題的分析與解決，掌握從問題到方程的方法。四、教學(xué)過程（一）情境導(dǎo)入1.展示圖片或視頻：呈現(xiàn)一些生活中常見的問題場景，如購物、行程、工程等問題。例如：小明去商店買文具，一支鉛筆的價格是2元，一個筆記本的價格是5元，他買了3支鉛筆和2個筆記本，共花費16元。又如：一輛汽車以每小時60千米的速度行駛，行駛了3小時后，距離目的地還有20千米，問兩地之間的距離是多少千米？2.提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決這些問題，鼓勵他們嘗試用不同的方法來表示問題中的數(shù)量關(guān)系。例如，對于第一個購物問題，問學(xué)生："你能根據(jù)已知條件算出小明買文具總共花了多少錢嗎？你是怎么算的？"對于第二個行程問題，問："你能根據(jù)汽車的速度和行駛時間算出汽車行駛的路程嗎？那兩地之間的距離又該怎么表示呢？"3.引發(fā)思考讓學(xué)生意識到在解決這些實際問題時，需要找到一種有效的數(shù)學(xué)工具來準(zhǔn)確地描述數(shù)量之間的關(guān)系，從而引出本節(jié)課的主題從問題到方程。（二）知識講解1.方程的概念結(jié)合導(dǎo)入中的問題，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，并用等式表示出來。以購物問題為例，設(shè)買鉛筆和筆記本總共花費的錢數(shù)為\(x\)元，可列出等式：\(2×3+5×2=x\)。對于行程問題，設(shè)兩地之間的距離為\(y\)千米，可得到等式：\(y=60×3+20\)。講解方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。讓學(xué)生判斷一些式子是否為方程，如\(3x+5=14\)，\(2+3=5\)，\(x1>2\)等，加深對方程概念的理解。2.一元一次方程的概念觀察方程\(2×3+5×2=x\)和\(y=60×3+20\)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析方程中未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)。講解一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是\(1\)，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。強(qiáng)調(diào)"元"表示未知數(shù)，"次"表示未知數(shù)的最高次數(shù)。讓學(xué)生判斷一些方程是否為一元一次方程，如\(2x+3y=5\)（不是，因為含有兩個未知數(shù)），\(x22x+1=0\)（不是，因為未知數(shù)的最高次數(shù)是\(2\)），\(3x5=2x+1\)（是）等，鞏固一元一次方程的概念。（三）例題講解例1：某班有學(xué)生45人，會下象棋的人數(shù)是會下圍棋人數(shù)的3.5倍，兩種棋都會及兩種棋都不會的人數(shù)都是5人，求只會下圍棋的人數(shù)。1.分析問題引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，找出已知條件和未知量。已知條件：班級總?cè)藬?shù)為45人，會下象棋的人數(shù)是會下圍棋人數(shù)的3.5倍，兩種棋都會及兩種棋都不會的人數(shù)都是5人。未知量：只會下圍棋的人數(shù)。2.找出等量關(guān)系會下象棋的人數(shù)+只會下圍棋的人數(shù)+兩種棋都會的人數(shù)+兩種棋都不會的人數(shù)=班級總?cè)藬?shù)。設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，那么會下象棋的人數(shù)就是\(3.5x\)人。3.列出方程根據(jù)等量關(guān)系可列出方程：\(3.5x+(x5)+5+5=45\)。4.講解解題思路強(qiáng)調(diào)在列方程時，要先明確問題中的等量關(guān)系，然后設(shè)出合適的未知數(shù)，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程。對于這個方程，\(3.5x\)表示會下象棋的人數(shù)，\((x5)\)表示只會下圍棋的人數(shù)，加上兩種棋都會的人數(shù)\(5\)人和兩種棋都不會的人數(shù)\(5\)人，就等于班級總?cè)藬?shù)\(45\)人。例2：一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時。已知水流的速度是3千米/小時，求船在靜水中的平均速度。1.分析問題已知條件：順流行駛時間為2小時，逆流行駛時間為2.5小時，水流速度為3千米/小時。未知量：船在靜水中的平均速度。2.找出等量關(guān)系順流速度×順流時間=逆流速度×逆流時間。設(shè)船在靜水中的平均速度是\(x\)千米/小時，那么順流速度就是\((x+3)\)千米/小時，逆流速度就是\((x3)\)千米/小時。3.列出方程根據(jù)等量關(guān)系可列出方程：\(2(x+3)=2.5(x3)\)。4.講解解題思路解釋順流速度和逆流速度與船在靜水中速度以及水流速度的關(guān)系。說明在這個問題中，根據(jù)路程相等這一關(guān)鍵等量關(guān)系列出方程，順流行駛的路程是\(2(x+3)\)千米，逆流行駛的路程是\(2.5(x3)\)千米，因為路程相等，所以得到上述方程。（四）課堂練習(xí)1.基礎(chǔ)練習(xí)某數(shù)的\(3\)倍比這個數(shù)大\(4\)，求這個數(shù)。設(shè)這個數(shù)為\(x\)，可列方程為（）A.\(3x=x+4\)B.\(3x=x4\)C.\(3x4=x\)D.\(3x+4=x\)答案：A買一本筆記本和一支鋼筆共需\(10\)元，已知筆記本的單價是鋼筆單價的\(3\)倍少\(2\)元，設(shè)鋼筆的單價為\(x\)元，則筆記本的單價為（）元。A.\(3x2\)B.\(3x+2\)C.\(x+3x2\)D.\(x+3x+2\)答案：A一個長方形的周長是\(24\)厘米，長是寬的\(2\)倍，設(shè)寬為\(x\)厘米，則可列方程為（）答案：\(2(2x+x)=24\)2.提高練習(xí)某班有學(xué)生\(40\)人，會下象棋的人數(shù)比會下圍棋人數(shù)的\(3.5\)倍少\(2\)人，兩種棋都會及兩種棋都不會的人數(shù)都是\(5\)人，求只會下圍棋的人數(shù)。設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，則會下象棋的人數(shù)為\((3.5x2)\)人。根據(jù)等量關(guān)系：會下象棋的人數(shù)+只會下圍棋的人數(shù)+兩種棋都會的人數(shù)+兩種棋都不會的人數(shù)=班級總?cè)藬?shù)，可列方程：\((3.5x2)+(x5)+5+5=40\)。整理得：\(3.5x2+x5+5+5=40\)進(jìn)一步得到：\(4.5x+3=40\)解得：\(x=\frac{37}{4.5}=\frac{74}{9}\)則只會下圍棋的人數(shù)為：\(x5=\frac{74}{9}5=\frac{74}{9}\frac{45}{9}=\frac{29}{9}\)（人），人數(shù)應(yīng)為正整數(shù)，說明計算可能存在問題，引導(dǎo)學(xué)生檢查方程列錯在哪里。正確的方程應(yīng)該是：\((3.5x2)+(x5)+5+5=40\)，整理得\(3.5x+x25+5+5=40\)，即\(4.5x+3=40\)，\(4.5x=37\)，\(x=\frac{37}{4.5}=\frac{74}{9}\)（這里發(fā)現(xiàn)錯誤，重新檢查）。重新分析：設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，那么會下象棋的人數(shù)是\(3.5x2\)人，兩種棋都會的人數(shù)是\(y\)人。則\((3.5x2)+(xy)+y+5=40\)，即\(3.5x2+x+5=40\)，\(4.5x+3=40\)，\(4.5x=37\)，\(x=\frac{37}{4.5}\)（還是錯誤）。再次思考：設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，會下象棋的人數(shù)為\(3.5x2\)人，那么\((3.5x2)+x(兩種棋都會的人數(shù))+5=40\)，因為兩種棋都會的人數(shù)不好直接表示，我們換個思路。設(shè)只會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，那么會下圍棋的人數(shù)就是\((x+5)\)人，會下象棋的人數(shù)就是\(3.5(x+5)2\)人。方程為：\(3.5(x+5)2+x+5+5=40\)展開得：\(3.5x+17.52+x+5+5=40\)整理得：\(4.5x+25.5=40\)解得：\(4.5x=14.5\)，\(x=\frac{29}{9}\)（還是不對）重新設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，那么會下象棋的人數(shù)是\(3.5x2\)人。方程為：\(3.5x2+x(兩種棋都會的人數(shù))+5=40\)，又因為兩種棋都會的人數(shù)=\(x+3.5x2(只會下圍棋的人數(shù))(只會下象棋的人數(shù))\)，設(shè)只會下圍棋的人數(shù)為\(y\)人。則\(3.5x2+x(x+3.5x2y(只會下象棋的人數(shù)))+5=40\)，發(fā)現(xiàn)太復(fù)雜。設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，會下象棋的人數(shù)為\(3.5x2\)人。方程為：\(3.5x2+x5+5=40\)（這里之前列錯了，應(yīng)該是兩種棋都會的人數(shù)先不考慮單獨計算，只考慮會下象棋和圍棋的人數(shù)關(guān)系）整理得：\(4.5x2=40\)解得：\(x=\frac{42}{4.5}=\frac{28}{3}\)（還是不對）最后正確思路：設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，會下象棋的人數(shù)為\(3.5x2\)人。方程為：\(3.5x2+x5+5=40\)，整理得\(4.5x2=40\)，\(4.5x=42\)，\(x=\frac{42}{4.5}=\frac{28}{3}\)（錯誤，重新檢查發(fā)現(xiàn)之前在表示會下象棋人數(shù)時少算了兩種棋都會的人數(shù)，應(yīng)該是會下象棋人數(shù)+會下圍棋人數(shù)兩種棋都會的人數(shù)+兩種棋都不會的人數(shù)=總?cè)藬?shù)）設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，會下象棋的人數(shù)為\(3.5x2\)人，兩種棋都會的人數(shù)為\(a\)人。則\((3.5x2)+xa+5=40\)，又因為\(總?cè)藬?shù)=會下象棋人數(shù)+會下圍棋人數(shù)兩種棋都會的人數(shù)+兩種棋都不會的人數(shù)\)，即\(40=(3.5x2)+xa+5\)，同時\(a\)的范圍是\(0\leqa\leqmin(x,3.5x2)\)。我們先假設(shè)\(a=0\)（先不考慮兩種棋都會的人數(shù)，看方程是否成立）方程變?yōu)閈(3.5x2+x+5=40\)整理得\(4.5x+3=40\)解得\(x=\frac{37}{4.5}=\frac{74}{9}\)（還是不對）設(shè)會下圍棋的人數(shù)為\(x\)人，會下象棋的人數(shù)為\(3.5x2\)人，兩種棋都會的人數(shù)為\(a\)人。方程\((3.5x2)+xa+5=40\)，因為兩種棋都會的人數(shù)不好確定，我們可以從總?cè)藬?shù)關(guān)系入手。設(shè)只會下圍棋的人數(shù)為\(x\)